Godkänd metod

Sadelmetoden är en metod som används för att approximera integraler av formen

\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz,

där finns några meromorfa funktioner , är något stort antal, och konturen kan vara oändlig. Denna metod kallas ofta för en generalisering av Laplaces metod . $\Phi (z),\phi (z)$ $\lambda$ $\gamma \in {\mathbb {C}}$

Lösningsalgoritm

Minska integralen till . $I(\lambda )=\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz$
Eftersom när beteendet bestäms av exponenten är det nödvändigt att undersöka funktionen enligt följande : $\lambda \to \infty$ $I(\lambda )$ $\phi (z)$
1. Hitta sadelpunkterna , dvs sådana punkter där relationen håller . $\phi '(z)=0$
2. Konstruera linjer med den brantaste minskningen.
Deformera konturen längs linjerna för den snabbaste minskningen. $\gamma$
Få integralens asymptotik med hjälp av Laplaces metod .

Exempel: Airy function asymptotics

Den luftiga funktionen ges av följande integral:

I(z)=\int \limits _{\gamma }\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp.

Som en kontur kommer vi att använda den som visas i bilden till höger. Låt oss göra ett byte och få: $\gamma$ $p={\sqrt {z}}s$

I(z)={\sqrt {z}}\int \limits _{\gamma }\exp \left[z^{3/2}\left(s-{\frac {s^{3} }{3}}\right)\right]\,ds.

Således har vi fått den nödvändiga formen av integralen med funktionen . Sadelpunkterna är därför lika med: . $\phi (s)=s-{\frac {s^{3}}{3}}$ $s=\pm 1$

Det följer av Cauchy-Riemann-förhållandena att vid sadelpunkterna skär kurvorna för den snabbaste ökningen och den snabbaste minskningen i rät vinkel, och de kan inte skära varandra någonstans förutom sadelpunkterna. Utifrån dessa enkla överväganden kan man entydigt konstruera dem. Kurvorna för den brantaste minskningen visas i figuren (pilarna visar tillväxtriktningen).

För att använda Laplace-metoden för att hitta asymptotikerna för denna integral är det nödvändigt att deformera konturen längs kurvorna för den snabbaste minskningen genom linjära transformationer. Eftersom funktionens globala maximum uppnås på dessa kurvor , kan vi bara överväga ett litet område av det. Därför utökar vi funktionen i en Taylor-serie i närheten av sadelpunkten : $\gamma$ $\phi (s)$ $\phi (s)$

Böcker

Fedoryuk M. V. Passmetoden . - 1977. - S. 366 .
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Asymptotiska metoder och specialfunktioner. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveshnikov, A. N. Tikhonov. Funktionsteori för en komplex variabel. - 5:e upplagan - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Godkänd metod

Lösningsalgoritm

Exempel: Airy function asymptotics

Böcker

Se även