Stationär fasmetod

Den stationära fasmetoden är en metod som används för att approximera integraler av formen . $\int \limits _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}\Phi (x)\,dx$

Grunderna

Huvudidén med den stationära fasmetoden är att minska sinusoider med snabbt föränderlig fas. Om många sinusoider har samma faser, läggs de ihop och förstärker varandra. Men om samma sinusoider har faser som ändras snabbt med frekvensen, kommer de att läggas ihop, antingen stärka eller försvaga varandra.

Exempel

Tänk på funktionen

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i{\big (}k(\omega )x-\omega t{\big )}}\,d\omega .

Fastermen i denna funktion är "stationär" när $\phi =k(\omega )x-\omega t$

{\frac {d}{d\omega }}{\big (}k\left(\omega \right)x-\omega t{\big )}\approx 0

eller på motsvarande sätt

{\frac {d\omega }{dk))\approx {\frac {x}{t)).

Roten till denna ekvation ger den dominanta frekvensen för givna och . Om vi expanderar φ i en Taylor-serie nära och försummar termerna av högre ordning med avseende på , då $\omega _{\text{dom}}(x,t)$ $x$ $t$ $\omega _{\text{dom}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{\text{dom)))^{2))$

\phi \sim k(\omega _{\text{dom)))x-\omega _{\text{dom}}t+{\frac {x}{2}}{\frac {d^{ 2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}})^{2}.

När x är stort kommer även en liten skillnad att orsaka snabba svängningar i integranden, vilket resulterar i en sammandragning. Således kan vi förlänga integrationsgränserna bortom Taylors expansionsgräns. För att ta hänsyn till negativa frekvenser måste den verkliga delen fördubblas: $\omega -\omega _{\text{dom}}$

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}2\operatörsnamn {Re} \left\{\exp {\big (}i[k(\omega _{\text{ dom)))x-\omega _{\text{dom}}t]{\big )}|F(\omega _{\text{dom}})|\int _{\mathbb {R} }\exp \left(i{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}}) ^{2}\right)\,d\omega \right\}.

Efter integration har vi

f(x,t)\sim {\frac {|F(\omega _{\text{dom)))|}{\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\ vänster|{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}\right|}}}\cos \left(k(\omega _{\text{dom}})x-\ omega _{\text{dom}}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right).

Böcker

Fedoryuk M. V. Passmetoden . - 1977. - S. 366.
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Asymptotiska metoder och specialfunktioner. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveshnikov, A. N. Tikhonov. Funktionsteori för en komplex variabel. - 5:e upplagan - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Stationär fasmetod

Grunderna

Exempel

Böcker

Se även