Funktionell integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Funktionell integral (vägintegral, vägintegral, Feynman-vägintegral, Feynman-integral) är en post eller ett resultat av funktionell integration (vägintegration). Den finner sin största tillämpning inom kvantfysik ( kvantfältteori , strängteori , etc.) och statistisk fysik, såväl som i studiet av ett antal klasser av stokastiska processer i allmänhet.

Funktionell integration betyder formellt beräkningen av integralen för någon funktionell Ф över utrymmet för funktioner x ( t ) eller någon delmängd [1] av ett sådant utrymme:

vilket definieras som gränsen för den (ändligt dimensionella) integralen över utrymmet för vissa ändliga dimensionella approximationer av funktionerna x ( t ) eftersom dimensionen för dessa approximationer tenderar till oändlighet; det vanligaste och enklaste sättet är att betrakta funktionen x på en ändlig uppsättning punkter och sedan definiera den funktionella integralen i det enklaste fallet med en enhetlig partition, som kan begränsas, som

där med menas motsvarande approximation av det funktionella Ф[ x ], medan integration avses separat över från till (vid fasta och över dem är det inte nödvändigt att integrera).

Riktigheten av denna definition är redan ifrågasatt i den meningen att även för många av de fall som är av fysiskt intresse, för att inte tala om en mer allmän formulering av frågan, själva existensen av gränsen (i synnerhet dess enhetlighet när man väljer olika typer av partitioner) har inte bevisats; dessutom i ett antal exempel ger olika typer olika resultat) och i många fall finns det inget sätt att ange tydliga kriterier för att välja "korrekt" typ av partitionering, som leder exakt till det önskade resultatet, vilket innebär att riktigheten av att fastställa integrationsmåttet inte har bevisats ens för många av de fall, som är av fysiskt intresse, åtminstone i vanlig mening.

En allvarlig svårighet är också den exakta beräkningen av sådana integraler (med undantag för det Gaussiska fallet).

Ändå ger även det faktum att åtminstone integraler av Gaussisk typ är exakt beräknade mycket för tillämpningen av metoden för funktionell integration. I synnerhet kan detta resultat tas som definitionen av en funktionell integral för detta fall och bevisa att den, eftersom den är så definierad, verkligen har egenskaperna hos en integral: den tillåter integrering av delar, förändringar av variabler, etc. [2]

Den fysiska betydelsen av den funktionella integralen reduceras vanligtvis till att beräkna summan (superposition) av en viss storhet (vanligtvis är det sannolikheten för klassisk statistisk fysik eller sannolikhetsamplituden för kvantmekanik) över "alla" banor (det vill säga över alla) tillgängliga klassiska partiklar i fallet med Brownsk rörelse och längs allt tänkbart i fallet med kvantmekanik).

Huvudapplikation

Modeller

En vanlig slumpmässig promenad kan, när den omformuleras, generera en vägintegral med en viss handling. Detta är i allmänhet relativt uppenbart i enkla fall.

Det visades att ett liknande sätt att generera en vägintegral med den vanliga handlingen också fungerar i det tvådimensionella fallet - att erhålla en handling för en sträng (ett tvådimensionellt objekt, med hänsyn till tidsdimensionen).

Fysiska analogier

Analogin med vägintegralen för en punktpartikel är partitionsfunktionen (statistisk vikt) för en polymertråd [3] .

Beräkning

Exakt beräkning

Som nämnts ovan, den exakta beräkningen av den funktionella integralen av formuläret

där k kan vara rent imaginärt i kvantfallet eller reellt i fallet med klassisk diffusion, endast om det är av Gaussisk typ, det vill säga när verkan av S är kvadratisk i x ( lagrangian är kvadratisk i x och dess derivator, eller kanske , till och med i några liknande fall: huvudsaken är att S är en kvadratisk form, negativ definitiv i det verkliga fallet).

Metoden handlar om att skriva en diskret version, i enlighet med definitionen i början av artikeln. De (vanliga) integralerna som kommer in i formeln tas sedan exakt (som Gausser ) och man kan då gå till gränsen.

Ungefärlig beräkning

Numeriska metoder

Beräkningsmetoder relaterade till att hitta värdena för vägintegraler med hjälp av en dator, inklusive kvadraturformler som Simpsons formler och andra metoder, har utvecklats ganska omfattande 2010, även om de huvudsakligen endast används av smala specialister och för de flesta del är inte kända för fysiker.

Historik

Det första uppträdandet av vägintegraler hänvisar tydligen till Einsteins och Smoluchowskis arbete[ förtydliga ] om teorin om Brownsk rörelse .

Grunderna för den matematiska teorin om sådana integraler är kopplade till Wieners arbete på 1920 -talet . Men deras rigorösa och tillräckligt fullständiga matematiska teori stöter fortfarande på betydande svårigheter (förknippade med frågan om det korrekta införandet av ett mått på funktionsutrymmet, med problemet att bevisa oberoendet av gränsen för typen av partition i en ganska allmän fall).

1933 ( i sitt arbete "Lagrangian in Quantum Mechanics") föreslog Dirac idén om att använda vägintegralen i kvantmekaniken.

Feynman implementerade detta program i slutet av 1940-talet genom att utveckla vägen integral formalism, som visade sig vara extremt fruktbar inom teoretisk fysik. Detta innebar uppkomsten av en tekniskt ny (som förutom rent tekniska också hade en rad intuitiva fördelar) metod för att konstruera kvantteorier, som senare blev den kanske mest populära bland teoretiker. Feynman själv byggde, på grundval av vägintegralens formalism, en sådan grundläggande teknik för kvantfältteorin som Feynman-diagram .

Genom att använda vägintegralen erhölls sådana grundläggande resultat som till exempel beviset på renormaliserbarheten av Yang-Mills-teorin ( Faddeev och Popov ).

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Det mest typiska exemplet på en integrationsdomän i ett funktionsutrymme är uppsättningen av alla funktioner i ett givet utrymme som uppfyller villkoret att fixera sina värden vid två punkter (i ändarna av ett segment).
  2. ↑ Artikel i Physical Encyclopedia Archival kopia daterad 29 februari 2012 på Wayback Machine (A. A. Slavnov).
  3. ↑ Polyakov, 1999 .

Litteratur