Yang-Mills teori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Yang-Mills- teorin är en mätteori med en icke- abelisk mätgrupp . Mätfält i denna teori kallas Yang-Mills-fält . Sådana teorier föreslogs 1954 av Zhenying Yang och Robert Mills [1] , och till en början betraktades de bara som matematiska sökningar som inte hade något med verkligheten att göra [2] . På 1960- och 1970-talen, baserade på Yang-Mills teorier, skapades dock två hörnstensteorier för standardmodellen inom partikelfysik : kvantkromodynamik (teorin om starka interaktioner ) baserade på SU (3) -gruppen och teorin om elektrosvaga interaktioner baserade på SU (2 ) × U(1) .

Egenskaper

Det faktum att gruppen är icke-abelian betyder att Yang-Mills interaktionsbärarfält kan interagera med sig själva och med varandra. Detta innebär att ekvationerna som beskriver utvecklingen av Yang-Mills-fälten är icke-linjära (i motsats till de linjära Maxwell-ekvationerna som motsvarar den Abelska teorin). Man kan också säga att superpositionsprincipen inte gäller för Yang-Mills fält .

Kvantorna för Yang-Mills-fälten är vektorpartiklar (det vill säga bosoner med spin 1) och har noll massa. Men med hjälp av mekanismen för spontan symmetribrytning kan fysiska Yang-Mills-fält få en massa som inte är noll.

Icke-linjäriteten i Yang-Mills ekvationer gör dem mycket svåra att lösa. I läget för en liten kopplingskonstant kan dessa ekvationer lösas ungefär i form av en serie störningsteorier , men hur man löser dessa ekvationer i det starka kopplingsläget är fortfarande okänt. Det är också okänt hur exakt denna olinjäritet leder till den instängdhet som observeras i vår värld i starka interaktioner. Problemet med att lösa Yang-Mills ekvationer är i allmänhet ett av sju matematiska " millennieproblem ", för lösningen av vilka som helst kommer Clay Mathematical Institute [3] att ge ett pris på 1 miljon US-dollar.

Matematik

Yang-Mills teorier är ett särskilt exempel på en mätfältsteori med en icke- abelian mätarsymmetrigrupp. Yang-Mills fria fält Lagrangian av sådana teorier har en viss form

\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatörsnamn {Tr} \left(F^{2}\right)=-{ \frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},

var är 2-formen av Yang-Mills fältstyrka, som förblir oföränderlig när mätgruppen verkar på tensorpotentialen: $F$ $A^a_\mu$

\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,

varvid förstås den kovarianta derivatan i rum-tid, i Minkowski-rymden i galileiska koordinater, vilket reducerar till den vanliga partiella derivatan. $\partial_\mu$

De genererande Lie-algebrorna i mätgruppen uppfyller förhållandet $T^a$

{\displaystyle \ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c))

där kallas gruppens strukturkonstanter . $f^{abc}$

De kovarianta (ibland kallade långsträckta) derivatorna av fälten som interagerar genom Yang-Mills-fälten i en given teori definieras som:

\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu

var är identitetsoperatören och är interaktionskonstanten . I fyrdimensionell rumtid är interaktionskonstanten en dimensionslös storhet. För grupper . $jag$ $g$ $g$ $SU(N)$ $a,b,c=1\ldots N^{2}-1$

Ovanstående definition kan härledas från kommutatorn: $F_{\mu \nu}^a$

{\displaystyle \ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a))

Yang-Mills-fältet i sig visar sig vara självverkande, och de resulterande rörelseekvationerna:

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0

kallas halvlinjära. I fallet med en liten kopplingskonstant är störningsteori tillämplig i denna teori . $g<1$

Övergången mellan de "övre" ("kontravarianta") och "nedre" ("kovarianta") vektor- eller tensorkomponenterna är trivial för grupplatinska index (till exempel introduceras den euklidiska metriken i grupputrymmet), men icke-trivial för rum-tid grekiska index, som jonglerar med rum-tidsmåttet , i det enklaste fallet, det vanliga Minkowski-måttet . ${\displaystyle f^{abc}=f_{abc))$ $\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)$

Med introduktionen av rörelseekvationen kan rörelseekvationen skrivas om enligt följande: $F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}$

(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.

Eftersom det är en 2-form, håller Bianchi-identiteten : $F$

\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{ \kappa \mu })^{a}=0

Källan anger rörelseekvationerna som: $J_\mu^a$

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\ nu }^{a}

(Strömmar måste också ändras korrekt under kalibreringstransformationer.)

I rum-tidsdimensioner skalas fältet som och därför måste interaktionen ha dimension . Detta betyder att Yang-Mills teorier inte är renormaliserbara för rumtidsdimensioner större än fyra (se även den antropiska principen ). Dessutom, för kopplingskonstanten är dimensionslös, och fältet och kvadraten av interaktionskonstanten har samma dimensioner som fältet och interaktionskonstanten för teorin om ett skalärt masslöst fält med självverkan . Således har dessa teorier samma skalinvarians på klassisk nivå. $D$ $[A]=\left[L^{\frac {2-D}{2}}\right]$ $\left[g^{2}\right]={\Big [}L^{D-4}{\Big ]}$ $D=4$ $\phi^4$

Anteckningar

↑ C.N. Yang , R. Mills . Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance (engelska) // Physical Review : journal. - 1954. - Vol. 96 , nr. 1 . - S. 191-195 . - doi : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Se förordet i boken Devitt B. S. Dynamical Theory of Groups and Fields: Per. från engelska. / Ed. G. A. Vilkovysky. - M . : Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. belyst. - 1987. - 288 sid.
nyutgivning: Cherepovets: Mercury-press, 2000. ISBN 5-11-480064-7 .
↑ Clay Mathematics Institute . Tillträdesdatum: 22 maj 2004. Arkiverad från originalet 29 oktober 2017. (obestämd)

Litteratur

Yang, Ch ., Mills R. Bevarande av isotopisk spinn och isotopisk mätinvarians // Elementära partiklar och kompenserande fält / ed. D. Ivanenko . - M.: Mir, 1964. - S. 28-38.
Slavnov, A. A. , Faddeev L. D. Introduktion till kvantteorin för mätfält. - M .: Nauka, 1978. - S. 240.

Länkar

Det fysiska "millenniets problem" ansågs olösligt

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)