Spontant symmetribrott

Spontan symmetribrytning är en metod för att bryta symmetrin i ett fysiskt system , där det initiala tillståndet och rörelseekvationerna för systemet är invarianta med avseende på vissa symmetritransformationer, men i evolutionsprocessen övergår systemet till ett tillstånd för vilken invarians med avseende på vissa (inklusive alla) transformationer av den initiala symmetrin bryts. Spontant symmetribrott är alltid förknippat med degenerationen av det minimala energitillståndet som kallas vakuum . Uppsättningen av alla dammsugare har en initial symmetri, men varje dammsugare separat har inte det. Till exempel rullar en boll i ett tråg med två brunnar från ett instabilt symmetriskt tillstånd till ett stabilt tillstånd med minimal energi antingen till vänster eller höger, vilket förstör symmetrin med avseende på ändring från vänster till höger (inversionsoperation).

Spontant symmetribrott inträffar (pseudo) slumpmässigt och drivs av fluktuationer . Detta fenomen är extremt vanligt i naturen. Många olika exempel på spontant symmetribrott kan ges inom klassisk mekanik . Men om spontant symmetribrott inom mekaniken snarare har en beskrivande betydelse, är det i kvantfältteorin huvudprincipen som säkerställer genereringen av mätbara bosonmassor . Dessutom, i kvantfältteorin, genom att konstruera effektiva Lagrangians , kan vissa mesoner identifieras med motsvarande Goldstone-boson ( pseudo-Goldstone-boson ). Nedan, som ett exempel, betraktas π -mesonen som en Goldstone-boson i strid med viss symmetri av kvantkromodynamiken med masslösa kvarkar . Ett ämne i en viss termodynamisk fas kan också betraktas som ett kvantfält med motsvarande symmetri. Då representeras spontant symmetribrott som en fasövergång .

Förekomsten av fyra grundläggande interaktioner i naturen kan också vara en konsekvens av symmetribrott. Hypotetiskt, vid tillräckligt höga energier (~100 GeV ), kombineras elektromagnetiska och svaga kärnkrafter till en elektrosvag växelverkan , och vid ännu högre energier (~10 14 GeV), kombineras den elektrosvaga och starka kärnväxelverkan till en elektronukleär växelverkan . av Grand Unified Theory .

Mekanismen för spontant symmetribrott är avgörande för möjligheten av förekomsten av supersymmetri . Oavbruten supersymmetri förutsäger existensen av en superpartner med samma massa för varje känd partikel, vilket inte observeras i experiment. Man tror att på grund av kränkningen av supersymmetri förvärvar superpartners av partiklar stora massor som är ouppnåeliga för moderna acceleratorer

Dammsugare kan ha en ganska intressant struktur. Kvantfältteorin tillåter förekomsten av fältvakuumkonfigurationer med spontant brutna vakuum som förändras från punkt till punkt. Sådana tillstånd är till exempel magnetiska monopoler , kosmiska strängar , domänväggar . Tillstånd av denna typ observeras i den kondenserade materiens fysik, till exempel väggar mellan ferromagnetiska domäner. För komplexa potentiella konfigurationer med många minima finns det flera vakuum. Det verkliga vakuumet är dock bara tillståndet med lägst energi. Alla andra vakuum är metastabila och passerar in i det nuvarande genom kvanttunnel .

Spontant symmetribrott kan också spela en stor roll i gravitationen. Man tror att kosmologisk inflation orsakas av övergången från ett falskt vakuum till ett sant under spontan kränkning av symmetrin i den stora enandet . Dessutom antas spontant brytande av supersymmetri ( super-Higgs-mekanism ) i teorier om massiv gravitation . Modeller av gravitationsfältet för den metriska tensorn utvecklas också som ett Higgs-Goldstone-fält med någon bruten symmetri .

Således är spontan symmetribrott ett extremt vanligt fenomen inom alla områden av fysiken, från klassisk mekanik till kvantgravitation .

Enkla exempel på spontan symmetribrytning

I klassisk mekanik

Ekvationerna som beskriver rörelsen av atomer i en icke-symmetrisk fysisk kropp, till exempel en stol, är invarianta med avseende på tredimensionella rotationer, men lösningen av dessa ekvationer - en riktig stol - har en viss orientering i rymden [ 3] .

En boll som ligger i mitten mellan groparna i en tvådelad tråg, förr eller senare, under påverkan av störningar, kommer att rulla in i en av dem och bryter symmetrin med avseende på ersättningen . En potential av detta slag realiseras till exempel i problemet med en vulst på en ring som roterar runt en vertikal axel (se figur). Lagrange-funktionen för detta problem har formen $x\rightarrow -x$

L=T-V_{eff}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}} mW^{2}R^{2}\sin ^{2}\phi -mgR(1-\cos \phi )

där R är ringens radie, m är pärlans massa, g är gravitationsaccelerationen och W är rotationsvinkelhastigheten. Potentialen har minima vid punkter som skiljer sig från symmetricentrum vid en rotationshastighet på . Den centrala punkten blir en punkt med instabil jämvikt, och endast fluktuationer i de initiala parametrarna sätter en ny jämviktsposition [1] . $W^{2}>g/R$

En penna placerad på bordets ände har inte någon föredragen riktning i bordets plan, men under påverkan av störningar kommer den att falla och välja någon pseudo-slumpmässig (beroende på fluktuationer) riktning [4] .

En rund metallstav, klämd mellan pressens plattor , kommer att böjas under tillräcklig belastning, och böjningsriktningen är godtycklig och beror på fluktuationer. Stavens initiala axiella symmetri bryts spontant [5] .

När resåren sträcks ökar dess längd och tjockleken minskar. Vid ett visst värde på dragkraften kommer gummibandet att gå sönder på en viss plats, även om för ett idealiskt elastiskt band alla brottpunkter är lika sannolika. Anledningen till "kränkningen" av symmetri är fluktuationer i tjockleken på tandköttet: det går sönder där tandköttsmaterialet är svagare. Ett idealiskt gummiband skulle sträcka sig in i en kedja av N - atomer och gå sönder (på en ospecificerad plats) när dragkraftens energi blev lika med atomernas totala bindningsenergi . $E=N\varepsilon$

I den kondenserade materiens fysik

Under kristalliseringen av en vätska, som kännetecknas av den högsta - isotropiska - symmetrin, bildas en kristall , i vilken det finns några distingerade riktningar i förhållande till de kristallografiska axlarna. Orienteringen av de kristallografiska axlarna är i allmänhet slumpmässig eller på grund av svaga yttre faktorer eller fluktuationer. I detta fall reduceras symmetrin med avseende på translationer till en godtycklig vektor till translationssymmetri till en vektor, som är en linjär kombination av vektorerna i kristallgittret .

När vätskan kyls under kristallisationstemperaturen förvandlas den till en kristall. En ren vätska kan emellertid kylas under kristallisationstemperaturen. Denna situation uppnås på grund av frånvaron av kristallisationscentra - det finns inga kärnor på vilka kristaller kan bildas, och en metastabil fas av en underkyld vätska uppträder . Ur symmetrisynvinkel bör vätskans isotropa och translationella symmetri minska till kristallgittrets symmetri , men det finns inga fluktuationer (kristallisationscentra) i vätskan som bryter mot denna symmetri.

En liknande situation uppstår i en övermättad ånga eller överhettad vätska . Sådana metastabila tillstånd används till exempel i bubbelkammare och molnkammare .

Ferromagneter , uppvärmda över Curie-temperaturen , är i ett paramagnetiskt tillstånd där det inte finns någon föredragen magnetiseringsriktning ; men när den kyls under Curie-temperaturen sker en fasövergång i ferromagneten och spontan magnetisering uppstår , vars riktning i frånvaro av ett externt magnetfält är slumpmässig och beror på fluktuationer [6] . Spontant symmetribrott sker i nästan alla fasövergångar (se nedan).

I kvantmekaniken

Dubbelslitsexperiment

När en kvantpartikel passerar genom en skärm med två tätt belägna slitsar [7] , bakom var och en av vilka en detektor är placerad, avfyras endast en av detektorerna. Symmetrin bryts av misstag. Detta exempel skiljer sig väsentligt från exemplen som nämnts ovan genom att, baserat på moderna begrepp (se Bells sats [8] ), är närvaron av fluktuationer för spontan symmetribrott inte ett nödvändigt villkor, och naturen implementerar passagen av en partikel genom en av de möjliga slitsarna på ett helt slumpmässigt sätt. .

Mätningar i kvantmekanik

Det är möjligt att direkt generalisera det föregående exemplet till en godtycklig tillståndsmätning inom kvantmekanik . I kvantteorin, enligt mätpostulatet , består mätning i reduktionen (momentan övergång) av ett kvanttillstånd till ett av de möjliga egentillstånden för operatorn av den uppmätta fysiska storheten . I detta fall övergår det initiala tillståndet slumpmässigt (med sannolikhet ) till ett tillstånd med bruten initial symmetri. $|\psi\rangle$ $|a_{n}\rangle$ $\widehat {A}$ ${A}$ ${\displaystyle |\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2))$

Dekoherens

Ett annat exempel på spontant symmetribrott i kvantmekaniken, men redan förknippat med närvaron av fluktuationer, är dekoherens . På grund av närvaron av externa fluktuationer förvandlas systemets rena tillstånd till ett blandat med brott mot de initiala symmetrierna. Matematiskt motsvarar detta det faktum att dekoherens gör att de off-diagonala elementen i densitetsmatrisen försvinner [8] .

Som ett exempel, betrakta en atom i ett exciterat tillstånd . En atom avger spontant en foton och går till en lägre energinivå. Om en atom befinner sig i ett sfäriskt symmetriskt s -tillstånd, så avger den en foton i en godtycklig riktning och går själv in i ett icke-isotropiskt l - tillstånd med spontant bruten symmetri med avseende på rotationer. Orsaken till symmetribrott är närvaron av omgivande partiklar, såväl som slumpmässiga fluktuationer i det fysiska vakuumet .

För att illustrera dekoherens kan vi betrakta en ensemble av identiska kvanttillstånd. System på grund av närvaron av externa fluktuationer kommer efter en tid att vara i olika tillstånd [8] .

Det är förstörelsen av off-diagonala element som är ansvarig för att den spontana symmetrin bryts i det första exemplet i denna sektion för fåtöljen [3] .

Spontant brytning av mätarsymmetri

Global gauge symmetri breaking

Inom fältteorin betraktar man vanligtvis dynamiken i fältet i närheten av vakuumtillståndet (minsta potentiell energi), med tanke på att själva fälten är små [9] . I praktiken leder detta till expansionen av Lagrange-funktionen för motsvarande fält i en Taylor-serie i närheten av det potentiella energiminimum, följt av att man försummar termerna för högre krafter. I det här fallet kan valet av vakuum vara tvetydigt (se figuren "Linjär sigmamodell": möjliga vakuumtillstånd visas i grått).

Tänk till exempel Lagrangian för det komplexa (laddade) Klein-Gordon-fältet där är verkliga fält: $\varphi =\varphi ^{1}+i\varphi ^{2},$ ${\displaystyle \varphi ^{1},\;\varphi ^{2))$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial _{\mu}\varphi -V(\varphi ^{ *}\varphi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{1}\partial _{\mu}\varphi ^{1}+{\frac {1}{ 2}}\partial ^{\mu }\varphi ^{2}\partial _{\mu}\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\höger)

var finns interaktionspotentialen; index betecknade med grekiska bokstäver sträcker sig överallt från 0 till 3. Denna Lagrangian är invariant under globala gauge-transformationer [10] $V$

\varphi \rightarrow e^{i\alpha}\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end {array}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end {array}}\right|\right|\left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{array}}\right|\right |

var är en verklig konstant. För en given modell är vakuumet inte invariant under sådana mättransformationer om funktionen har ett minimum vid en annan punkt än noll. Om den har ett minimum på noll, motsvarar vakuumpunkten unikt ångan . En helt annan situation uppstår när . Potentialens minimum motsvarar inte en punkt, utan ett kontinuum av punkter $\alfa$ $V(x)$ $V(x)$ $\varphi ^{1}=0,\;\varphi ^{2}=0$ $x_{min}=a^{2}\neq 0$

{\displaystyle (\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}=a^{2))

Genom motsvarande rotation av koordinatsystemet för laddningsutrymmets frihetsgrader för Klein-Gordon-fältet kan vakuumet alltid reduceras till formen

{\displaystyle \varphi _{0}=\left|\left|0,a\right|\right|^{T))

Det är lätt att se att även om Lagrangian (i synnerhet den ungefärliga) är invariant under mättransformationer, så är vakuumet inte det. Systemet går in i ett slumpmässigt valt (faktiskt beroende på fluktuationer) tillstånd. Detta är det spontana brytandet av den globala mätarsymmetrin.

Exempel 1. Symmetriöverträdelse med avseende på teckeninversion av ett verkligt Klein-Gordon-fält

Betrakta ett enkelt exempel på spontant symmetribrott för ett riktigt Klein-Gordon-fält, som ges av Lagrangian

{\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu}\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac { 1}{2}}\lambda \varphi ^{4}\right)

var , . Denna Lagrangian är invariant under förändringen [11] . Fältet i detta fall har två vakuum, vilket motsvarar närvaron av två minima i den potentiella energin vid ; dock är inget av vakuumet invariant under den initiala symmetrin av fältteckenomkastningen. Detta är det spontana brytandet av symmetri [12] : här är inversionen inte en mättransformation. På grund av lagrangians symmetri med avseende på inversionen av fälttecknet (paritet), kan vilket som helst tecken på vakuumet väljas. Utan förlust av allmänhet kan man välja " ". Om man expanderar fältet i närheten av vakuumtillståndet och antar att det är litet, kan Lagrangian skrivas [13] som $\lambda >0$ $\mu ^{2}<0$ $\varphi \rightarrow -\varphi$ $\varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda ))$ $+$ $\varphi =a+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L))'=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu}\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal { O))(\phi ^{3})=\partial ^{\mu}\phi \partial _{\mu}\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O)) (\phi ^{3})

var . Det finns ytterligare en viktig detalj att lyfta fram i detta exempel. Lagrangian beskriver ett masslöst fält med en interaktionspotential . Fältet är masslöst, eftersom tecknet sammanfaller med tecknet för den kinetiska energin, och därför inte kan vara ansvarigt för massan. Lagrangianen beskriver dock redan det fria Klein-Gordon-fältet med massa . Således kan spontan symmetribrytning generera ett massfält. Vidare kommer detta fenomen att studeras mer i detalj. ${\displaystyle m={\sqrt {2\lambda a^{2))}={\sqrt {-2\mu ^{2))))$ $\mathcal{L}$ $\varphi$ $V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}$ $\varphi$ $\mu ^{2}<0$ ${\mathcal {L}}'$ ${\displaystyle m={\sqrt {-2\mu ^{2))))$

Mättransformationerna bildar en Lie-grupp , och en kompakt sådan . Tänk på Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu}\varphi ^{i}-V( \varphi _{i})

var finns N verkliga skalära fält. Anta att Lagrangian är invariant under gauge- grupptransformationer : $\varphi _{i}$ ${\displaystyle \omega _{i}^{j))$ $G$

{\displaystyle \varphi _{i}=\omega _{i}^{j}\varphi _{j))

. Fallet med ett invariant vakuum

Om potentialen har ett minimum vid punkten , så kan det visas att vakuumet är invariant under alla gauge-transformationer, nämligen: verkan av någon matris på nollvektorn omvandlar den till nollvektorn. I det här fallet kan potentialen utökas i en Taylor-serie i närheten av noll. Om vi antar att , och med hänsyn till att förstaderivatorna vid extrempunkten är lika med noll, och matrisen för andraderivatorna vid minimipunkten är positiva definitiva , får vi $V$ $\varphi _{i}=0$ $V(0)=0$ $(m^{2})^{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}(0)$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3})

Med en lämplig ortogonal transformation kan massmatrisen reduceras till en diagonal form. Lagrangianen som erhålls på detta sätt beskriver verkliga skalära fält med massor som bestäms av matrisens egenvärden . ${\displaystyle \varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j))$ $m^{2}$ $N$ $m^{2}$

Fallet med ett icke-invariant vakuum

En helt annan situation uppstår när potentialen har ett minimum som inte är noll. I detta fall finns det alltid godtycke i valet av vakuumtillstånd. Vakuumet kommer att vara invariant endast med avseende på en viss undergrupp av mätargruppen (gruppen kallas den lilla gruppen). Det finns ett brott mot mätgruppens lokala symmetri . Låt oss betrakta ett exempel på global symmetribrytning, som ges av mätgruppen av tredimensionella rotationer SO(3) , i en linjär sigmamodell. $V$ $H$ $G$ $H\subset G$ $G$

Exempel 2. Brytande av den globala mätarens symmetri SO(3)

Tänk på Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}

där det finns tre verkliga skalära fält . Denna Lagrangian kallas den linjära sigmamodellen, som är invariant under grupptransformationer (ortogonala matriser med enhetsdeterminant). Gruppelement verkar på vektorn som 3D-rotationsmatriser. Vakuumet i detta fält är degenererat och ligger på en punkt på sfären $\varphi _{i}$ $SO(3)$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T))$

{\displaystyle \varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2))

Genom lämpliga transformationer av koordinatsystemet kan man alltid representera vakuumet i formen

{\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T))

Det är uppenbart att vakuumet inte är invariant med avseende på , men det är invariant med avseende på gruppen av rotationer runt axeln . Låt oss utöka området i närheten av vakuum , med tanke på att det är en liten mängd. I det här fallet är lagrangianen representerad i formen $SO(3)$ $SO(2)\subset SO(3)$ $\varphi _{3}$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi (x)$ $\phi(x)$

{\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2 }}(\partial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2 }-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

vilket motsvarar två masslösa skalära fält , och ett fält med massa . Som vi kan se kan kränkningen av den globala mätarsymmetrin generera en fältmassa. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $\phi _{3}$ $m=2{\sqrt {\lambda }}a$

I allmänhet kan man visa att följande sats gäller:

Goldstones teorem [14] [15] . När global gaugesymmetri spontant bryts uppstår masslösa skalära fält och massiva skalära fält . Här är dimensionen för den valda representationen (i själva verket är detta det initiala antalet verkliga skalära fält). $\dim G-\dim H$ $\phi_i$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\tilde {\phi }}_{i}$ $N$ $G$

I det här fallet kallas masslösa fält som uppstår under spontan kränkning av global gaugesymmetri Goldstone-bosoner . Vi betonar än en gång att deras antal är lika med antalet brutna symmetrier.

Exempel 3. Bryta den globala mätarsymmetrin SO(N)

Betrakta, som i föregående exempel, formens lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},

där det redan finns riktiga skalära fält . Denna modell är invariant under grupptransformationer . $N$ $\varphi _{i}$ $SO(N)$

Om symmetrin bryts kommer vakuumet att vara invariant med avseende på gruppen . Gruppens dimension är . Därför är antalet Goldstone-bosoner som produceras vid spontant brott av lokal symmetri . Sedan ger det spontana brytandet av global symmetri upphov till Goldstone-bosoner och en massiv boson. $SO(N-1)\subset SO(N)$ $SO(N)$ $\dim SO(N)=N(N-1)/2$ $\dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1$ $SO(N)$ $N-1$

I fallet med Goldstone-satsen får vi två Goldstone-bosoner och ett massivt fält, vilket verifierades direkt i föregående exempel. $N=3$

Bevis på Goldstones teorem

För den fundamentala representationen av en grupp betecknar vi den lilla gruppens generatorer som , och för vilken annan representation som helst , som . Sedan följer det av vakuuminvariansvillkoret att . När vi expanderar exponenten i en Taylor-serie får vi att verkan av generatorerna i den lilla (obrutna) gruppen på vakuumet förstör vakuumet: $G$ $t_{H,a}$ ${\displaystyle T_{H,a))$ ${\displaystyle \exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0))$

T_{H,a}\varphi _{0}=0

Detta tillstånd är ett viktigt kriterium för obruten symmetri.

De återstående generatorerna i gruppen kommer att betecknas som (eller ). Deras verkan på vakuumet ger inte noll, annars skulle de transformationer som genereras av dem lämna vakuumet invariant och skulle tillhöra en liten grupp. Låt oss introducera vektorer . Deras antal är lika . De är linjärt oberoende och utgör en bas i underrummet av Goldstone-bosoner (brutna symmetrier). $G$ ${\displaystyle t_{G/H,a))$ $T_{G/H,a}$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $\dim G-\dim H$

I hela rymden är det bekvämt att införa en ortonormal bas , där vektorerna är orterna för Goldstone-underrummet, sammansatta av linjära kombinationer av vektorerna , och vektorerna utgör grunden för underrummet som kompletterar Goldstone-underrummet till originalet Plats. Då kan de skalära fälten utökas i en sådan grund $\{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}$ $e_{k}$ $E_k$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\widetilde {e}}_{k}$

\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}

och Lagrangian i kvadratisk approximation tar formen

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu}\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}(\phi _ {k}e^{k}+{\widetilde {\phi}}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+ {\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

som inte visar den explicita uppfyllelsen av Goldstone-satsen. Men från tillståndet för mätinvariansen av potentialens minimum (inte att förväxla med vakuumet, vi talar om invariansen av potentialens värde och dess derivator)

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{j))}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0 \Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0

För obruten symmetri är likheten sann , men för brutna symmetrier är relationen sann och med tanke på att vi får basen från linjära kombinationer följer den. Därför representerar vi Lagrangian i formen $T_{H,a}\varphi _{0}=0$ $-iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0$ $E_{a}$ $e_{a}$ $e_{i}^{a}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))} =0.$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu}\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi}}_{l}+{\mathcal {O}} (\phi ^{3})

var är massorna . Denna slutsats bevisar Goldstone-satsen. I själva verket är detta ett övervägande av spontant symmetribrott i det allmänna fallet, vilket dock enkelt kan utföras i fallet med en specifik symmetri, som i exemplen ovan. ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Brott mot lokal mätsymmetri

Goldstone-satsen [14] [15] som betraktas ovan säger att när mätsymmetri bryts uppstår masslösa spinnlösa bosoner. På grund av frånvaron av sådana partiklar i naturen har Goldstones teorem setts som ett motargument mot brutna symmetrier. Det visade sig dock att om den lokala snarare än den globala gaugesymmetrin kränks, så finns det inga masslösa Goldstone-bosoner, och istället får mätvektorfälten massa [16] [17] . Spontant brytning av lokal spårviddssymmetri är ett viktigt fenomen inom fältteorin, eftersom det leder till insamling av massor av mätfält (kom ihåg att masstermerna för mätfältet själva inte är mätinvarianta, så de saknas i lagrangian av en fält med obruten symmetri). En sådan mekanism kallas Higgs massgenereringsmekanism .

Lokala transformationer skiljer sig från globala transformationer genom närvaron av ett koordinatberoende . Detta beroende leder till uppkomsten av mätfält i Lagrangian (när det gäller ett laddat Klein–Gordon- fält, ett elektromagnetiskt fält med symmetrigruppen , och när man betraktar en trekomponentvektor av skalära fält med en symmetrigrupp , en mätare fält som kan identifieras med färggluonfältet för den starka nukleära interaktionen , och etc.). $\alpha =\alpha (x)$ $U(1)$ $SU(3)$

Tänk på Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

där är en uppsättning skalära fält, är tensorn för motsvarande mätfält och är den kovarianta derivatan av . Vektorpotentialen är i allmänhet en matris som verkar på en vektorkolonn . Indexet sträcker sig från 1 till och räknar upp komponenterna i expansionen av potentialen över symmetrigruppens generatorer . Denna Lagrangian är oföränderlig under lokala gaugetransformationer som bildar gruppen . Fälten under spårviddstransformationer transformeras enligt följande: $\varphi _{i}$ $N$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu}A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu }^{a}+\ vänster[A_{\mu },A_{\nu}\höger]^{a))$ ${\mathcal {D}}_{\mu }\varphi _{i}=\partial _{\mu}\varphi _{i}+(A_{\mu })_{i}^{j }\varphi_{j}$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T))$ $a$ $\dim G$ $\omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),$ $G$

{\displaystyle \varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu }\rightarrow \omega A_{\mu }\omega ^{-1 }+\omega \partial _{\mu }\omega ^{-1))

. Fallet med ett invariant vakuum

Om minimum realiseras vid , kan i detta fall Lagrangian expanderas i en Taylor-serie i närheten av vakuum och Lagrangian kan erhållas i kvadratisk approximation $V$ $\varphi _{i}=0$

{\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi _{i}\partial _{\mu }\varphi ^{i}-{\ frac {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu } A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O))(\varphi ^{3},\varphi ^ {2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}

som beskriver massiva skalära fält och masslösa mätare vektorfält . Låt oss beräkna antalet fältfrihetsgrader för uppsättningen av dessa fält. Eftersom ett skalärt fält har en frihetsgrad och ett masslöst vektorfält har två, är det totala antalet frihetsgrader . $N$ $\dim G$ $A_{\mu }^{a}$ $N+2\dim G$

Fallet med ett icke-invariant vakuum

Den största skillnaden mellan en lokal och global symmetri är att mätkonstanten beror på koordinaterna . Detta koordinatberoende gör det möjligt, med hjälp av ett lämpligt val, att försvinna fälten för alla masslösa Goldstone-bosoner i hela utrymmet. En sådan mätare kallas enhetlig (det kan visas att i fallet med kompakta spårviddsgrupper finns den alltid [18] ). Emellertid leder denna mätare till uppkomsten i Lagrangian av masstermer av typen , som ändå är mätinvarianta. Under en enhetlig spårvidd uppstår masstermerna exakt för spårviddsfälten. Eftersom den enhetliga gauge förintar Goldstone-bosonerna och ger upphov till massiva gauge-bosoner, sägs det ofta att vektorfälten "äter upp" Goldstone-bosonerna och förvärvar massor. Det enhetliga gauge-tillståndet skrivs i termer av "matriselementen" för generatorerna av bruten symmetri i formen $\alfa$ $x^{\mu}$ $\alfa(x)$ $\varphi _{i}$ $\dim G-\dim H$ ${\displaystyle a^{2}A^{\mu }A_{\mu ))$ $\dim G-\dim H$

\varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0

Denna formel betyder att fältet är ortogonalt mot alla vektorer i utrymmet för brutna symmetrier. Spontant symmetribrytning producerar också massiva skalära fält som kallas Higgs bosoner. Antalet fält som härrör från spontan brytning av lokal gaugesymmetri bestäms av Higgs sats. $\varphi$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $N-(\dim G-\dim H)$

Higgs teorem [16] . Med spontan brytning av lokal mätarsymmetri finns det massiva skalära fält (Higgs-bosoner), masslösa vektorfält och massiva vektorfält (antalet massiva gauge-bosoner är lika med antalet brutna symmetrier). $N-(\dim G-\dim H)$ $\dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H$ $\dim G-\dim H$

Låt oss nu hitta antalet fältvariabler i detta system. Med hänsyn till att det massiva fältet har tre frihetsgrader är det totala antalet fältfrihetsgrader , vilket sammanfaller med resultatet för det invarianta vakuumet. $N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G$

Exempel 4. Brott mot lokal mätares symmetri SO (3)

Tänk på Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\ frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

där indexet sträcker sig från 1 till 3. Vi väljer vakuumtillståndet i formuläret . På samma sätt som de tidigare exemplen utökar vi fältfunktionerna i närheten av vakuum . I den kvadratiska fältapproximationen skrivs Lagrangian om i formen $i$ ${\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T))$ $\varphi =\varphi _{0}+\phi$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}( \phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu}^{a}-\partial _{\nu}A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{1}-eaA_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi _{2}+eaA_{\mu }^{1}\right)^ {2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3})

Den resulterande Lagrangian är diagonaliserbar med hjälp av förändringen av variabler

{\displaystyle B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea))\partial _{\mu }\phi _{2},\qquad B_ {\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea))\partial _{\mu }\phi _{1))

Då har den diagonaliserade Lagrangian formen

{\mathcal {L}}\approx {\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2} (\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu}^{3}-\partial _{\nu} A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4))\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{1}-\partial _ {\nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1} )^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu }^{2}-\partial _{\nu}B_{\mu}^{ 2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}

Som vi kan se beskriver Lagrangian erhållen som ett resultat av spontan symmetribrytning ett skalärt fält med massa , ett masslöst vektorfält och två massiva vektorfält med massor , vilket är i full överensstämmelse med de allmänna övervägandena ovan. $\phi _{3}$ $m_{\phi }=2a{\sqrt {\lambda ))$ $A^{3}$ ${\displaystyle B^{2},\;B^{3))$ $m_{B}=ea$

Det är värt att notera att den enhetliga mätaren lämnar en viss symmetri i Lagrangian. Gruppen av denna symmetri är den lilla gruppen . I fallet med symmetribrott (exempel ovan), är den lilla gruppen gruppen av rotationer kring axeln . Observera att gruppen är isomorf till mätsymmetrigruppen för det elektromagnetiska fältet. $H$ $SO(3)$ $SO(2)$ $\phi _{3}$ $SO(2)$ $U(1)$

Bevis för Higgs sats

För att bevisa Higgs-satsen, analogt med beviset för Goldstone-satsen, expanderar vi skalärfältet . Vi bryter även ner mätarfältet med mätgruppsgeneratorer : . I den kvadratiska approximationen har expansionen för skalära fält samma form som i beviset för Goldstone-satsen, kvadraten på fälttensorn och den kovarianta derivatan i den första approximationen (eftersom en linjär approximation i avvikelser från vakuum är tillräcklig för att få en lagrangisk kvadratisk avvikelse) skrivs som form $\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}$ $G$ $A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a} )$ ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu}=-{\frac {1}{4}}\vänster (\partial _{\mu }A_{\nu}^{a}-\partial _{\nu}A_{\mu }^{a}\right)^{2))$

{\mathcal {D))_{\mu }\varphi \approx \partial _{\mu }\varphi +A_{\mu }\varphi _{0}=\partial _{\mu }\varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\partial _{\mu }\phi _{k}+{\ widetilde {e}}^{k}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}

Genom att ersätta dessa uttryck med den resulterande Lagrangian får Lagrangian i approximationen kvadratisk i fälten

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu}A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{k}-eA_{G/H,\mu } ^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\partial _{\mu } {\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde { \phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

var . Matrisen är icke degenererad, eftersom den i själva verket är en övergångsmatris mellan baser . Marginaler kan införas (motsvarande enhetlig gauge); då kan den slutliga Lagrangian skrivas i formen $K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i}$ ${\displaystyle K_{ak))$ $E_{a}=K_{ak}e^{k}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\partial _{\mu }\phi _{k} (K^{-1})^{ka}$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }A_{H,\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\mu }B_{\nu}^{a}- \partial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a }B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi}}_{k}{\widetilde {\phi } }_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

där , , vilket bevisar Higgs sats. ${\displaystyle (M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Spontant brott mot ungefärlig symmetri

I de föregående avsnitten övervägde vi situationen när den ursprungliga lagrangianen har en viss gruppsymmetri , och denna symmetri bryts spontant. Tänk nu på fallet när små termer läggs till Lagrangian med symmetri, som förstör symmetrin (ibland kallas närvaron av små icke-symmetriska termer, i motsats till spontan symmetribrytning, mjuk symmetribrytning). Spontan kränkning av ungefärlig symmetri ger upphov till spinnlösa fält med liten massa, kallade pseudo-Goldstone-bosoner [19] . $G$

Låt den potentiella energin ta formen , där termen uppfyller villkoret för invarians med avseende på grupptransformationer : , är en störning som förstör symmetri, är en liten parameter. Termen förskjuter vakuumtillståndet till punkten . Då kan minimivillkoret skrivas som $V(\varphi )=V_{0}(\varphi )+\lambda V_{1}(\varphi )$ $V_{0}(\varphi )$ $G$ $(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0$ $V_{1}(\varphi )$ $\lambda$ $V_{1}(\varphi )$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)))$

{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{i))}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= 0\Högerpil {\frac {\partial V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}+\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}( \varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{ i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.

Om vi multiplicerar den sista ekvationen med och tar hänsyn till att den andra termen ger (villkoret för att vakuumvärdet ska vara invariant under mätgruppstransformationer, se beviset för Goldstone-satsen), får vi ${\displaystyle (T_{a}\varphi _{0})_{i))$ $0$

(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\partial V_{1}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i))}= 0.

Den resulterande ekvationen kallas vakuumjusteringsvillkoret [20] . Om detta villkor inte är uppfyllt, leder även en liten störning till så stora förändringar att expansionsvillkoren i grannskapet inte är små korrigeringar. Men om det är en kompakt Lie-grupp är detta villkor uppfyllt [3] . I analogi med expansionen i en Taylor-serie i stycket "Proof of the Goldstone theorem", kan man få massmatrisen av pseudo-Goldstone-bosoner ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\overline {\varphi }}_{0}$ ${\varphi }_{0}$ $G$

(m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\partial ^{2 }V}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= \lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\partial ^{2}V_{1}(\varphi _{ 0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j))}+{\frac {\partial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\partial \varphi _{j}\partial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right]

vilket är positivt definitivt [3] [19] .

Symmetribrytning av kvantfältet

I kvantteorin upphör fältvariabeln att bara vara en reell eller komplex funktion av koordinater, men blir en linjär operator definierad på Hilbert-rummet av fälttillstånd, som i Fock-representationen, eller andra kvantiseringen , har formen [21] [ 22] $\varphi(x)$ ${\widehat {\Phi }}(x)$

|...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod _{\textbf {k }}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,

där är normaliseringskonstanten, är skapelseoperatorn, vilket ökar antalet partiklar med ett visst momentum med 1; till exempel, för bosoner , , är ett vakuumtillstånd där det inte finns några partiklar (excitationer). De observerade kvantiteterna är medelvärden för fältoperatorerna för fältets tillstånd , där det finns någon operator som är polynom i fältoperatorerna. $C$ $b_{\textbf {k}}^{+}$ ${\textbf {k))$ $b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1} }|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle$ $|0\intervall$ $\langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\widehat {A}$

Det kan dock visas att medelvärdet för operatorn på tillstånd kan skrivas om i termer av vakuummedelvärdet för operatorn , som också har en polynomform med avseende på fältoperatorerna. Det är bekvämt att beräkna sådana vakuumförväntningsvärden som funktionella derivator av den så kallade genererande funktionalen, som betecknas som den funktionella integralen $\widehat {A}$ $|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle$ ${\widehat {B}}$

Z=\int [d\varphi ][d\psi ][...]e^{iS[\varphi ,\psi ,...]},

var är den klassiska åtgärden för fält [22] . Den genererande funktionen är amplituden för "vakuum-vakuum"-övergången. $S$ $\varphi ,\psi ,...$

Oftast beräknas den genererande funktionen och dess derivator genom att expandera i närheten av verkan av fria icke-interagerande fält (Lagrangians kvadratisk i fälten). Korrigeringar till en teori utan interaktion beräknas bekvämt med Feynman-diagram .

Liksom i kvantmekaniken med avseende på klassisk mekanik, leder fältets operatörskaraktär till icke-triviala kvanteffekter. Ibland är kvantkorrigeringar obetydliga, men i allmänhet kan de ha ett betydande (potentiellt oändligt) bidrag. För ett kvantfält finns det ofta kvantanomalier - grundläggande kränkningar av vissa symmetrier som är inneboende i klassisk teori i motsvarande kvantsystem. Därför kan den fysiska bilden av symmetribrott för det klassiska fältet som presenterades i föregående avsnitt inte direkt extrapoleras till kvantfallet, och man kan inte a priori hävda att Goldstone- eller Higgs-satserna också kommer att gälla i kvantfallet.

Global gauge symmetri

Goldstones teorem i kvantfallet kan enkelt formuleras med hjälp av den effektiva åtgärden (potential). Detta tillvägagångssätt introducerar ytterligare klassiska strömmar som interagerar med skalära fält . Den genererande funktionen kan skrivas om som $J_{i}(x)$ $\varphi _{i}(x)$

Z[J]=\exp {(iW[J])},

där värdet är summan av alla anslutna vakuumdiagram , och diagram som bildas av varandra genom att permutera hörn anses inte vara olika. Vakuummedelvärden för fältoperatörer vid givna klassiska strömmar skrivs om i termer av variationsderivator av $W[J]$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J))$ $J_{i}(x)$ $W[J]$

\varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)))W[J].

Vi betecknar strömmen för vilken vakuumfältets medelvärde är lika med det förutbestämda fältet . Legendre omvandlingen av leder till kvanteffektiv handling [23] $J_{i}(x)$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}=\varphi ^{i))$ $W[J]$ $\Gamma [\varphi ]$

\Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi}(x)+W[J].

Kvantiteten är summan av alla kopplade enpartikel-irreducerbara diagram i närvaro av en ström . Det kan man visa $\Gamma [\varphi ]$ $J_{i}(x)$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=-J_{i}(x).

I frånvaro av externa strömmar , och värdena för vakuumförväntningsvärdena bestäms som stationära punkter för den funktionella $J_{i}(x)=0$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=0.

Den effektiva åtgärden tar hänsyn till kvantkorrigeringar av alla order, samtidigt som den tillhandahåller en klassisk behandling av området för vakuumförväntningsvärden för fältoperatörer. Om vi antar att vakuumet är invariant under transformationerna av den inhomogena Lorentz-gruppen , så kan vi visa att den effektiva åtgärden skrivs som $\Gamma [\varphi ]$ $\varphi _{i}(x)$

\Gamma [\varphi ]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi ),

var är volymen av rum-tid, och är den vanliga funktionen, som kallas den effektiva potentialen [3] . ${\mathcal {V}}_{4}$ $V(\varphi )$

Enligt Slavnov-Taylor-identiteterna [24] [25] är den effektiva åtgärden oföränderlig under infinitesimala transformationer av vakuumfält (här av vilket fält som helst, inte bara ett skalärt). För en bred klass av så kallade linjära infinitesimala transformationer, som inkluderar gauge-transformationer, ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J))$ $\varphi ^{i}(x)$

F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi ^{j}(x),

där är en konstant matris, är den effektiva handlingen invariant under samma symmetrier som den ursprungliga klassiska handlingen [3] . Således, om en sådan symmetri inte bryts på klassisk nivå, kommer den inte att brytas av kvantkorrigeringar i någon ordning av störningsteori . ${\displaystyle A_{j}^{i))$

Med hjälp av den effektiva potentialen kan beviset för Goldstones teorem i kvantfallet utföras med nästan samma överväganden som för klassiska fält (upp till att ersätta potential med effektiv potential och klassiska fält med vakuumförväntningsvärden för fältoperatörer). I kvantfältteorin bestäms värdet av de kvadrerade bosonmassorna efter symmetribrott av massmatrisens egenvärden . Och eftersom, som nämnts ovan, symmetrin för den effektiva verkan (potentialen) med avseende på mättransformationer är densamma som den för den ursprungliga åtgärden, är antalet nollegenvärden för kvantmassmatrisen detsamma som för den klassiska, och Goldstone-satsen är också giltig i kvantfallet. ${\displaystyle (m^{2})_{ij}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{i}\partial \varphi ^{j))))$

Lokal mätare symmetri

I kvantfältteorin förblir Higgs sats giltig, även om den matematiska behandlingen av problemet av de skäl som anges i början av avsnittet är svår. För att ta bort de "icke-fysiska" Goldstone-lägena när man övervägde kränkningen av den lokala mätarsymmetrin i det klassiska fältet, användes den enhetliga mätaren. Men när man tillämpar en enhetsmätare i kvantfältteori, visar det sig att mätfältspropagatorn har ett asymptotiskt beteende , och därför är det inte möjligt att kontrollera teorin för renormaliserbarhet på ett enkelt sätt (genom att räkna grader). Inom kvantfältteorin används den så kallade -gauge, som beror på en reell parameter, vilket är en generalisering av unitary gauge [26] [27] [28] . Fördelen med familjen av sådana mätare är det asymptotiska beteendet hos mätfältspropagatorn. ${\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})$ $\xi$ ${\displaystyle R_{\xi ))$ ${\mathcal {O}}(k^{-2})$

På ett eller annat sätt ställer valet av kalibrering ytterligare villkor för fältvariablerna som måste beaktas vid kvantisering. I fältteorin beaktas sådana förhållanden inom ramen för Faddeev-Popov-metoden [29] . Tänk på Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi - V(\varphi )-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.

Genom att expandera de skalära fälten i närheten av minimum , kan vi skriva om det som en funktion och : . I det här fallet är mätaren fixerad av villkoret , och matrisen introducerades i föregående avsnitt när man överväger beviset för Higgs sats i det klassiska fallet. Alla sådana förhållanden . Låt oss introducera funktioner som tar hänsyn till kalibreringar. At -gauge passerar in i Landau gauge . Enhetsmätaren erhålls i gränsen . $\varphi (x)=\varphi _{0}+\phi (x)$ $A$ $\phi$ ${\mathcal {L}}(A,\phi )$ $\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi e\phi _{i}(K^{-1})^{ai}=0$ $K^{ai}$ $\dim G-\dim H$ $G^{a}={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi g\phi _{i }(K^{-1})^{ai})$ $\xi \rightarrow 0$ ${\displaystyle R_{\xi ))$ $\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ $\xi \rightarrow \infty$

Teorin kvantiseras med hjälp av den genererande funktionalen

Z=C\int ({\mathcal {D}}A)({\mathcal {D}}\phi )\exp \left[i\int d^{4}x({\mathcal {L} }(A,\phi )-{\frac {1}{2}}G^{2})\right]\det \left({\frac {\delta G}{\delta \alpha }}\right) ,

var är mätparametrarna för brutna symmetrier. Som ett resultat tar den lagrangska kvadratiska i fält formen $\alfa$

{\mathcal {L}}\approx -{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\delta ^{ab}\left[-\eta ^{\ mu \nu }\partial ^{2}+(1-{\frac {1}{\xi }}\partial ^{\mu }\partial ^{\nu})\right]-\eta ^{\mu \nu }(m_{A}^{2})_{ab}\right)A_{\nu }^{b}+{\frac {1}{2))(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{G}^{2})_{ij}\phi _{i}\phi _{j}+{\frac {1}{ 2}}(\partial _{\mu }{\widetilde {\phi }})^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{H}^{2})_{ij}{ \widetilde {\phi }}_{i}{\widetilde {\phi }}_{j},

där matriserna har formen , , . ${\displaystyle (m_{A}^{2})_{ab}=g^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m_{G}^{2})_{ij}=\xi g^{2}K_{ia}K_{ja))$ $(m_{H}^{2})_{ij}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{ j}{\frac {\partial ^{2}V(\varphi _{0})}{\partial \varphi _{i}\varphi _{j))}+\xi g^{2}K_{ia }K_{ja}$

Determinanten under integralen kan tas med i beräkningen genom att lägga till Lagrangian av systemet av Faddeev - Popov spöke Lagrangians :. ${\mathcal {L}}_{gh}={\overline {c}}\left(-\partial ^{2}-\xi m_{A}^{2}{\frac {\phi ( x)}{\varphi _{0}}}\right)c$

Närvaron av massorna av Goldstone-bosonerna (som dock är proportionella mot ) och -beroendet av massorna av Higgs-bosonerna beror på mätaren, vilket betyder att de inte är fysiska. Om de inte beaktas visar de resulterande massmatriserna full överensstämmelse mellan kvantsatsen och den klassiska Higgs-satsen. Massvärdena i sig kan dock ändras något på grund av förekomsten av kvantkorrigeringar. $\sim {\sqrt {\xi ))$ $\xi$

Pi mesons som pseudogoldstones

Som ett exempel på symmetribrott i kvantfältteorin, överväg att bryta den kirala symmetrin för kvantkromodynamiken med masslösa kvarkar . Den fermioniska lagrangianen av masslösa kvarkar har formen $SU(2)\times SU(2)$

{\mathcal {L}}=i{\overline {u}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu}u+i{\overline {d}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }d,

där stapeln över fältet betyder Dirac-konjugation och spinorerna motsvarar - och -kvarkar. Generellt sett bildar kvarkspinorer färgtripletter, men vi kommer inte att skriva dem explicit här. En sådan masslös Lagrangian är invariant under transformationerna av isospin- dubbelgruppen ${\overline {u}}=u^{\dolk }\gamma ^{0}$ $u,\,d$ $u$ $d$ $SU(2)\times SU(2)$

\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|\rightarrow \exp {\left(i\alpha _{V}^ {a}{\frac {\sigma _{a}}{2}}+i\alpha _{A}^{a}\gamma ^{5}{\frac {\sigma _{a}}{2} }\right)}\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|,

var och är Pauli-matriser . Denna symmetri motsvarar vektor- och axialsymmetriströmmarna $t_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}$ $\sigma _{a}$

V_{a}^{\mu }=i{\overline {q))\gamma ^{\mu }t_{a}q,\quad A_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}t_{a}q,

med motsvarande kontinuitetsekvationer , där betecknar isospin-kvarkdubbletten. Motsvarande symmetriladdningar är generatorer av isospin och restsymmetrier. Dessa operatörer verkar på kvarkfält och framkallar transformationer $\partial _{\mu }V_{a}^{\mu }=0,\,\partial _{\mu }A_{a}^{\mu }=0$ ${\displaystyle q=||u,d||^{T))$ ${\widehat {I}}_{a}=\int d^{3}xV_{a}^{0},\;{\widehat {X}}_{a}=\int d^{ 3}xA_{a}^{0}$

[{\widehat {I}}_{a},q]=-t_{a}q,\;[{\widehat {X}}_{a},q]=-\gamma ^{5 }t_{a}q

Om symmetrin inte är bruten, motsvarar varje hadron sin analog med samma kvanttal ( snurr , baryonladdning ), men med motsatt paritet . Emellertid observeras ingen paritetsdegeneration av hadronspektrumet, så det bör antas att den kirala symmetrin med generatorer är bruten. $SU(2)\times SU(2)$ $X_{a}$

Det bör dock noteras att på grund av närvaron av masstermer i Lagrangian är symmetrin ungefärlig. Därför, som visades i föregående avsnitt, uppträder lågmassa-pseudo-Goldstone-bosoner i partikelspektrat. De måste vara spinless, ha noll baryonladdning, isospin lika med 1 och negativ paritet. De lättaste bland alla hadroner är just -mesoner ; dessutom har de de nödvändiga kvanttalen. Det kan visas [3] att kvadraten på -mesonmassmatrisen ger -mesonmassan 140 MeV vid 10 MeV, vilket motsvarar verkligheten. $-m_{u}{\overline {u}}u-m_{d}{\overline {d}}d$ $SU(2)\times SU(2)$ $\pi$ $\pi$ $m_{\pi }^{2}\sim (m_{u}+m_{d})$ $\pi$ $m_{u}+m_{d}\sim$

Higgs-fältet och dynamisk symmetribrytning

Dynamisk symmetribrytning [30] [31] [32] består i symmetribrytning av kvanteffekter av vakuumpolarisering. Sådana polarisationseffekter bryter den ursprungliga klassiska mätarsymmetrin för gruppen och reducerar den till en symmetri med en liten grupp . Vakuumpolarisering kan leda till förvärv av massa av initialt masslösa partiklar [33] . I en sådan ideologi introduceras Higgs-bosonen i teorin enligt följande [34] . Låt det finnas ett system av material och mätfält, som vi för bekvämlighets skull betecknar med en enda bokstav . Låt motsvarande åtgärd vara invariant under transformationer av mätargruppen . Låt oss introducera det klassiska externa Higgs-fältet i systemet , som reducerar mätarsymmetrin till en liten grupp . Låt oss skriva ner handlingen hos ett sådant system . Vi skriver den genererande funktionen i följande form (med integration endast över fälten , förutsatt att fältet är givet): $G$ $H$ $\varphi$ $S[\varphi ]$ $G$ $\sigma$ $H$ $S[\varphi ,\sigma ]$ $\varphi$ $\sigma$

Z_{\sigma }=\int [d\varphi ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]}

Låt oss nu lägga till en "frö"-åtgärd för Higgs-fältet till åtgärden och lägga till integration över fälten i den genererande funktionen : $S[\varphi ,\sigma ]$ ${\displaystyle S_{\sigma ))$ $\sigma$

Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}

Fältintegration genererar några effektiva åtgärder för Higgsfältet: $\varphi$

Z=\int [d\varphi ][d\sigma ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]+iS_{\sigma }}=\int [d\sigma ]e^{iS_{eff} +iS_{\sigma ))

Fördelen med detta tillvägagångssätt är att få ett icke-trivialt bidrag till Higgsfältet, som kommer från det initiala systemet av fält . Genom analoga metoder inom kvantelektrodynamik erhålls icke-linjära korrigeringar till Lagrangian [35] . $\varphi$

Symmetribrott i statistisk fysik

Olika statistiska system kan representeras som några kvantiserade fält. Således är ett system av Bose- partiklar (till exempel 4 He) ett komplext skalärt fält, ett Fermi-system ( 3 He) representeras som ett spinorfält . Men oftast är lagrangier inom kvantstatistisk fysik effektiva och fenomenologiska, och motsvarande fält beskriver vissa excitationer i systemet ( Ginzburg-Landau-teorin [36] , plasmoner , fononer , excitoner , etc.).

Den matematiska apparaten inom kvantfältteorin används för att studera statistiska system för många partiklar. Samtidigt, inom statistisk fysik, har termerna för kvantfältteorin sina analoger. Så till exempel är analogen till den genererande funktionen den statistiska summan , som representeras som en funktionell integral

Z=e^{-\beta F[\varphi ]}=\int ({\mathcal {D))\varphi )\exp {\left(-\beta \int d^{3}x\left [e(x)-\mu (T)\varphi ^{\dolk }\varphi \right]\right)},

var är Helmholtz fria energi , som har betydelsen av en analog till den klassiska verkan i kvantfältteorin, är uppsättningen av modellfält, är den reciproka temperaturen, är energitätheten i närheten av punkten , är den kemiska potentialen . $F$ $\varphi$ $\beta =1/T$ $ex)$ $x$ $\mu$

Det är tydligt att, precis som i fallet med kvantfältteorin, vid kvantisering av ett statistiskt system uppstår kvantkorrigeringar som kan ha vilken effekt som helst på systemet. Men i analogi med föregående avsnitt kan vi introducera en effektiv potential, som är bekväm att använda för att studera systemet. Om detta är tillräckligt är det möjligt att arbeta i medelfältsapproximationen, inom vilken det antas att

F\approx E=\int d^{3}x\left[e(x)-\mu \varphi ^{\dolk }\varphi \right].

Fasövergångar som spontant symmetribrott

När temperaturen ändras förändras både systemets energitäthet (på grund av en förändring i interaktionspotentialen) och den kemiska potentialen; därför kan det hända att vid temperaturer över en viss kritisk temperatur, finns minimienergin i en konfiguration av systemet och under den i en annan. Systemet går från ett tillstånd som inte längre är stabilt vid en given temperatur till ett nytt stabilt tillstånd. Makroskopiskt observeras en fasövergång . $T_{c}$

Fälten för avvikelse från vakuumtillståndet identifieras med termodynamiska fluktuationer. Med spontant symmetribrott i statistisk fysik, förutom massiva skalärer, uppstår alltid masslösa fluktuationslägen, som kallas Goldstone (ofta Nambu-Goldstone) bosoner. Närvaron av masslösa Goldstone-moder leder till ett gapfritt energispektrum för systemet ( Hugenholtz-Pines sats [37] ). Goldstone-läget är också ansvarigt för fluktuationer som är korrelerade i hela systemet (den så kallade off-diagonal långdistansordningen; till exempel, i fallet med en Bose-blandning, ett Bose-kondensat). I den kondenserade materiens fysik kallas massiva vibrationslägen ibland felaktigt till som Higgs-bosoner.

Nästan alla fasövergångar kan tolkas som spontant symmetribrott. Ändå finns det materiatillstånd som inte kan representeras som spontant störda fältkonfigurationer. Sådana tillstånd inkluderar spinnvätskor, såväl som elektrongas i fraktionerad kvant Hall-effekt [38] .

Superfluidity

Som ett exempel på spontant symmetribrott i teorin om fasövergångar betraktas övergången av en vätska till ett superfluid tillstånd. Som nämnts tidigare kan en Bose-vätska beskrivas med ett enda komplext fält . I teorin om en superfluid Bose-vätska, om man antar att vätskans atomer är fasta kulor som endast interagerar i direkta kollisioner ( -interaktion), och det inte finns några långväga interaktioner, kan energitätheten skrivas som [39] $^{4}Han$ $\psi$ $\delta$

e(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2M}}|\nabla \psi |^{2}+{\frac {g}{2}}|\psi |^{ fyra},

där är det komplexa fältet som motsvarar vätskeatomernas vågfunktion, M är vätskeatomernas massa och g är interaktionsparametern. Den kemiska potentialen har formen . Detta uttryck för energitätheten motsvarar Lagrangian i Ginzburg-Landau-teorin [36] utan ett externt magnetfält. Det första kvantfältsövervägandet av superfluiditet utfördes av Pitaevskii [40] . Vid temperaturer över kritiska har energin ett minimum vid . Samtidigt, när temperaturen sjunker under det kritiska värdet, realiseras minimum vid . Grundtillståndet blir oändligt degenererat med avseende på fasen . Den specifika fria energin (det vill säga fri energi per volymenhet) över den kritiska temperaturen är noll: . Men under den kritiska temperaturen (oavsett fasvärde) , där . Värmekapacitet per volymenhet $\psi$ $\mu =-\mu _{0}\left(T/T_{c}-1\right)$ $\psi =0$ $|\psi |=a={\sqrt {-\mu _{0}(T/T_{c}-1)/V))$ ${\displaystyle \phi =\arg {\psi ))$ $f(T>T_{C})=0$ ${\displaystyle f(T<T_{C})=-f_{0}\left(T/T_{c}-1\right)^{2))$ $f_{0}={\frac {\mu _{0}^{2}}{2V}}$

c=-T{\frac {\partial ^{2}f}{\partial T^{2}}}=\left\{{\begin{array}{c}0,\;T>T_ {c};\\{\frac {\mu _{0}^{2}}{V}}{\frac {T}{T_{c}^{2}}},\;T>T_{c }.\end{array}}\right.

Detta beteende hos värmekapaciteten motsvarar en andra ordningens fasövergång . Expandera fälten och i vakuum grannskapet, vi får $|\psi (x)|=a+\rho (x)$ $\phi (x)=\phi _{0}+\gamma (x)$

\epsilon =\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\left((\nabla \rho (x))^{2}+(-2m^{2 })\rho (x)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}a^{2}(\nabla \gamma (x))^{2}\right]

var , . Avvikelse från vakuumet, att vara i jämviktsvärden motsvarar excitationsfälten. Som du kan se finns det två oscillationslägen: det massiva läget och det masslösa Goldstone-läget . Oscillationslägen kännetecknas av en korrelationslängd , som anger den exponentiella dämpningslagen för excitationer med avstånd . Ovanför den kritiska punkten finns det två moder med en korrelationslängd $\epsilon =2ME/\hbar ^{2}$ $m^{2}=-\mu 2M/h^{2}>0$ $\rho$ $\gamma$ $\xi _{\varphi }=1/m_{\varphi }$ ${\displaystyle e^{-|x|/\xi ))$

{\displaystyle \xi _{\psi }={\frac {1}{m}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {T/T_{c}-1))))

Under den kritiska punkten för Goldstone masslösa lägen är korrelationslängden oändlig (detta betyder i själva verket inte exponentiellt, utan effektlagsbeteende för excitationer), vilket motsvarar korrelationen av fasfluktuationer i hela systemet (till exempel, ett Bose-kondensat). För ett massivt läge i superfluid tillstånd har vi temperaturberoendet av korrelationslängden i närheten av den kritiska fasövergångspunkten

\xi _{\rho }={\frac {1}{\sqrt {2|m^{2}|}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0)))){\frac {1}{\sqrt {1-T/T_{c))))

Enhet av grundläggande interaktioner

Glashow-Weinberg-Salam-modellen

Glashow-Weinberg-Salam-modellen [41] [42] [43] beskriver den enhetliga elektrosvaga interaktionen med en mätarsymmetrigrupp och fyra gauge vektorbosoner , där indexet överst indikerar bosonens elektriska laddning. När energin minskar bryts symmetrigruppen ner till elektrodynamikgruppen med en gauge boson , fotonen . Observera att den ostörda gruppen är gruppen av hyperladdningsfältet och inte det elektromagnetiska fältet. Dessutom förekommer ett skalärt fält i teorin, som transformeras enligt den grundläggande representationen av gruppen , så det har formen av en tvåkomponents komplex skalär . Dessutom finns det materialfält i modellen, som vi inte kommer att ta hänsyn till för enkelhets skull. Lagrangian för mätfälten (mer exakt, för bosonisk sektor) har formen ${\displaystyle SU(2)_{L}\ gånger U(1)_{Y))$ $B^{0},\;W^{0},\;W^{+},\;W^{-}$ ${\displaystyle SU(2)_{L}\ gånger U(1)_{Y))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $U(1)_{Y}$ $SU(2)$ ${\displaystyle \varphi =||\varphi _{1},\varphi _{2}||^{T))$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{Y}^{\mu \nu })^{2}-{\frac {1}{4}} (F_{L}^{a,\mu \nu})^{2}+{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi ^{\dolk }{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi -\lambda \left(\varphi ^{\dolk }\varphi -a^{2}\right)^{2},

där den kovarianta derivatan av skrivs som $\varphi$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu }\varphi +{\frac {i}{2}}e_{Y}Z_{U(1)}^ {\mu }\varphi +ie_{L}W_{SU(2)}^{a,\mu }{\frac {\sigma _{a}}{2}}\varphi ,

där och är interaktionskonstanter för motsvarande fält, och är kombinationen av identitetsmatrisen och Pauli- matrisen . Vi väljer vakuumtillståndet i formuläret . Uppenbarligen är vakuumet oföränderligt under verkan av elementen i den lilla gruppen , vars generator är matrisen . Det är denna grupp som motsvarar elektrodynamikens mättransformationer. Det är bekvämt att införa en trippel av matriser , och även skriva om parametrarna och i termer av de nya parametrarna och $e_{Y}$ $e_{L}$ $\sigma _{a}$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \varphi _{0}=||0,a||^{T))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $t_{A}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$ $t_{i}=\sigma _{i}/2$ $e_{Y}$ $e_{L}$ $e$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

e=e_{Y}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}=e_{L}\sin {\mathcal {\theta }}_{W},

dessutom visar sig parametern vara lika med den elementära elektriska laddningen, och parametern kallas Weinberg-vinkeln . I det här fallet kommer den kovarianta derivatan att skrivas i formen $e$ ${\mathcal {\theta }}_{W}$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\partial ^{\mu}\varphi +ie\left(A^{\mu}-{\rm {tg}}{\mathcal { \theta }}_{W}Z^{\mu}\right)t_{A}\varphi +i\left({\frac {e_{2}}{\cos {\mathcal {\theta }}_{ W))}Z^{\mu }t_{3}+e_{2}W_{+}^{\mu }t_{1}+e_{2}W_{-}^{\mu }t_{2} \right)\varphi ,

var , , . ${\begin{pmatrix}A_{\mu }\\Z_{\mu}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W }\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{\mu }\\W_{\mu }^{3}\ slut{pmatrix}}$ ${\displaystyle W_{\mu }^{+}=W_{\mu }^{1))$ ${\displaystyle W_{\mu }^{-}=W_{\mu }^{2))$

I unitary gauge , var är det verkliga skalära fältet som motsvarar Higgs-bosonen , som upptäcktes experimentellt 2012. I den kvadratiska approximationen kan Lagrangian med bruten symmetri skrivas som ${\displaystyle \varphi =||0,a+\phi ||^{T))$ $\phi$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu}-\partial _{\nu}A_{\mu })^ {2}-{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }Z_{\nu}-\partial _{\nu}Z_{\mu })^{2}+m_{Z} ^{2}Z^{2}-\summa _{i=\pm }\left[{\frac {1}{4}}(\partial _{\mu }W_{\nu }^{i}- \partial _{\nu }W_{\mu }^{i})^{2}+m_{W}^{2}(W^{i})^{2}\right]+(\partial _{ \mu }\phi )^{2}-m_{\phi}^{2}\phi ^{2},

var , , . ${\displaystyle m_{W}={\frac {e_{2}a}{\sqrt {2))))$ $m_{Z}={\frac {e_{2}a}{{\sqrt {2}}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}$ $m_{\phi }=2{\sqrt {\lambda }}a$

Det bör tilläggas att kvantkorrigeringar leder till en förändring av bosonmassorna och interaktionskonstanternas energiberoende.

SU(5)-modell av Grand Unified Georgie-Glashow

Vid höga energier (~10 14 GeV) kombineras de elektrosvaga och starka kärnväxelverkan till ett enda fält med någon mätsymmetrigrupp, som vid lägre energier spontant bryts ner till standardmodellgruppen . I det här avsnittet, överväg Georgie -Glashow-modellen] med den minsta mätargruppen som möjliggör storslagen enande ${\displaystyle SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $SU(5)$

I denna teori kombineras alla fermioner till tre generationer av 15-komponentmultipletter , bestående av 5- och 10-komponentmultipletter, som motsvarar de minsta dimensionerna av irreducerbara grupprepresentationer . 5-komponentsektorn av 15-komponentsmultipleten inkluderar den högra färgtripletten av kvarkar av typ (en komponent för varje färg) och den vänstra lepton - isospin - dubletten ( elektron och neutrino ): . 10-komponentsektorn innehåller vänster och höger kvarktriplett , vänster kvarktriplett och höger elektron: . $SU(5)$ $d$ $5=||d_{R};e_{L}^{-},\nu _{L}||$ $u$ $d$ $10=||u;d_{L};e_{R}^{-}||$

Med exakt symmetri innehåller gruppen masslösa gauge bosoner. Det finns tre bosoner som ansvarar för övergångarna i leptonkvintetten och relaterade av gruppen , samt en boson som motsvarar gruppen . Liksom i standardmodellen är fotonen och -bosonen ortogonala superpositioner av fälten och . Det finns också 8 gluoner som gör övergångar mellan tre färgkvarkar och är gruppgeneratorer . De återstående tolv gauge bosonerna är fyra färgtrillingar och . Bosoner och ansvarar för interaktionerna , respektive , . $SU(5)$ $5\times 5-1=24$ $W^{+},Z^{0},W^{-}$ $SU(2)_{L}\subset SU(5)$ ${\displaystyle B^{0))$ $U(1)_{Y}$ $Z^0$ ${\displaystyle W^{0))$ ${\displaystyle B^{0))$ ${\displaystyle SU(3)_{C))$ ${\displaystyle X_{\pm 4/3))$ ${\displaystyle Y_{\pm 4/3))$ $X$ $Y$ ${\displaystyle \nu _{e}-d_{R))$ ${\displaystyle e_{R}^{-}-u_{L))$ ${\displaystyle d_{L}-u_{R))$ ${\displaystyle e_{L}-d_{R))$ $e_{R}-d_{L}$ ${\displaystyle u_{L}-u_{R))$

När energin minskar bryts symmetrin upp till . I det här fallet får mätaren - och -bosonerna massor av 10 14 GeV. $SU(5)$ ${\displaystyle SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $X$ $Y$

Dessutom är det möjligt att introducera massiva högerhänta neutrinos i modellen (som en singel ). Sådana neutriner kan interagera med kvintetten med hjälp av Higgs bosoner, som produceras genom spontan Grand Unified symmetribrott. $SU(5)$ $SU(5)$

Georgi-Glashow-modellen förutsäger en protonlivslängd på ~10 29 år [45] , dock ger moderna experiment vid Super-Kamiokanda en lägre uppskattning för protonlivslängden på 10 32 år, vilket helt eliminerar möjligheten att realisera symmetri i den enklaste versionen av modellen. $SU(5)$

SO(10)-modell och modeller med högre spårviddsgrupper

Nästa minimala gauge-grupp som kan beskriva Grand Unification är gruppen [46] , där fermioner bildar en 16-komponents multiplett: en vänster neutrino läggs till 15 fermioner. Det kan visas att det finns totalt antal gauge bosoner som kan förvärva massa genom spontan symmetribrytning . En sådan modell är också utesluten på grund av frånvaron av protonsönderfall. $SO(10)$ $SU(5)$ $10\times 9/2=45$ $SO(10)$

Men högre grupper och beaktas också (till exempel , etc. ), liksom modeller där mätgruppen är produkten av två eller flera enkla grupper: [47] , etc. Särskild uppmärksamhet ägnas åt kedjan av exceptionella grupper $Sol)$ $SO(n)$ $SU(8)$ $SO(16)$ $SU(4)\times SU(4)$ $SU(3)\times SU(3)\times SU(3)$

E_{4}=SU(5)\subset E_{5}=SO(10)\subset

E6 E8 . _ _

\subset E_{7}\subset

som uppstår i teorier om flerdimensionell gravitation och strängteori . Grupperna E 8 är tillräckligt stora för att ta emot olika generationer av partiklar. $E_7$

Trots det stora antalet fält i grupper av högre ordning är mekanismen för spontan symmetribrott i motsvarande teorier densamma som beskrivits ovan.

Spontant brytning av supersymmetri

Spontant brytning av supersymmetri (i motsats till mjuk och dynamisk) består i att erhålla en icke-supersymmetrisk (explicit) teori i närheten av vakuum med supersymmetri. Supersymmetribrytning är en nödvändig process för att undvika konflikter mellan supersymmetriska modeller och experiment. Faktum är att exakt supersymmetri förutsätter att superpartners (vars antal sammanfaller med antalet vanliga partiklar) har samma massa som sina partners (vanliga partiklar), vilket inte observeras i experimentet. Under supersymmetribrott får superpartnerna en betydande extra massa och blir därmed ouppnåeliga i experiment hittills.

När det gäller excitation av mätsymmetri kan det visas att kvantkorrigeringar inte bryter supersymmetri om den inte bryts på den klassiska nivån [48] . Den väsentliga skillnaden mellan supersymmetribrytning och mätsymmetri är dock påståendet av följande teorem:

Sats [48] . I alla teorier med supersymmetri är antingen alla supersymmetrier brutna, eller så är ingen av dem bruten.

Kriterier för att bryta supersymmetri

Vakuummedelvärden som inte är noll

Supersymmetri bryts om och endast om överladdningar inte förstör vakuumtillståndet: . För vakuummedelvärdet för fältvariationen kan man skriva . Med andra ord, supersymmetri bryts om och endast om vakuumförväntningsvärdet för något fält inte är lika med 0. Detta kräver Lorentz-invariansen för vakuumet. $Q_{a}$ $Q_{a}|0\rangle \neq 0$ $\varphi$ $\langle \delta \varphi \rangle _{0}=\langle \left[\varphi ,Q_{\alpha }\right]\rangle _{0}\neq 0$

Till exempel för Wess-Tsumino-modellen [49]

S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu}A)^{2}-{\frac {1}{2 }}(\partial _{\mu }B)^{2}-{\frac {1}{2}}\chi ^{\dolk }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\chi +{\frac {1}{2}}D^{2}+{\frac {1}{2}}F^{2}\right)

med bosoniska fält och Majorana fermion . Fälten är komplementära och försvinner på massskalet; deras närvaro är nödvändig för jämlikheten mellan de bosoniska och fermioniska frihetsgraderna på massskalet och utanför det. För denna modell, med hänsyn till kravet på Lorentz-invariansen av vakuumet, följer det att , , . Fältvariationens medelvärde som inte är noll har formen . Således bryts supersymmetri om och endast om vakuumförväntningsvärdena för de ytterligare fälten inte är lika med 0. $A,B,D,F$ $\chi$ $D,F$ $\langle \chi _{\alpha }\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }A\rangle =0$ $\langle \partial _{\mu }B\rangle =0$ $\langle \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }\rangle =((\langle F\rangle +i\gamma _{5}\langle D\rangle )\varepsilon )_{\alpha }$

Noll potentiellt värde

Hamiltonian för den supersymmetriska teorin med överladdningar skrivs som $Q_{a}$

H=\sum _{a}(Q_{a}Q_{a}^{\dolk }+Q_{a}^{\dolk }Q_{a})

Och detta leder i sin tur till följande påstående: det supersymmetriska vakuumtillståndet måste ha noll energi; om vakuumenergin är positiv bryts supersymmetrin. Faktum är att vakuumförväntningen Hamiltonian tillfredsställer ojämlikheten

\langle H\rangle =\summa _{a}(||Q_{a}|0\rangle ||^{2}+||Q_{a}^{\dolk }|0\rangle || ^{2})\geqslant 0

Här uppnås jämlikhet endast vid obruten supersymmetri . $Q_{a}|0\rangle =0$

Detta är den grundläggande skillnaden mellan spontant supersymmetribrott och spontant mätsymmetribrott. För den senare är invariansen av potentialens minimum viktig, och för supersymmetri värdet av dess minimum. Således är mätarsymmetribrott i en viss mening oberoende av supersymmetribrott. Om det minsta av det brutna vakuumet med avseende på mätarsymmetrin har noll energi, så bryts inte supersymmetrin.

Goldstino och Higgsino

När supersymmetrin för det kirala superfältet bryts, där , är Grassmann-koordinaterna för superrymden, inträffar den så kallade supersymmetribrytningen när vakuumförväntningsvärdet för den dynamiska skalären och ytterligare fält är . När supersymmetrin för vektorsuperfältet är bruten , och motsvarande supersymmetribrytning sägs vara -typ. $\Phi (x,\theta ,{\overline {\theta )))=\varphi (y)+\theta \chi (y)+\theta \theta F(y),$ $y=xi\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}$ $\theta ,\;{\overline {\theta ))$ $F$ $\langle F\rangle _{0}\neq 0$ $\langle D\rangle _{0}\neq 0$ $D$

I båda typerna av supersymmetribrytning finns det en spinor, som under verkan av supersymmetriska transformationer får en inhomogen term

\delta _{\varepsilon }\lambda _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle D\rangle +o(\varepsilon ),\qquad \delta _{\varepsilon }\chi _{\alpha }=-2\varepsilon _{\alpha }\langle F\rangle +o(\varepsilon ).

En sådan spinor kallas en Goldstone fermion, eller goldstino.

I analogi med Higgs-mekanismen, där vektorbosonen "äter" Goldstone-bosonen och blir massiv, i supergravitation "äter" gravitino goldstino (vektorsupermultipletten "äter" den kirala) och blir massiv. En sådan mekanism kallas super-Higgs-mekanismen [50] [51] .

O'Reiferty-modellen

Överväg supersymmetriöverträdelser genom att använda exemplet med O'Reiferty-modellen [52] med kirala supermultipletter , som ges av Lagrangian $n$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\int d^{2}\theta d^{2}{\overline {\theta }}\sum _{i}{\overline {\Phi}}_{i}\Phi ^{i}+ \int d^{2}\theta W(\Phi )+hc,

där stapeln över fältet betyder Dirac eller komplex konjugation, anger den hermitiska konjugerade termen och superpotentialen $h.c.$

W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}

Nu, genom att variera åtgärden, får vi en ekvation för det ytterligare fältet . Genom att ersätta den erhållna lösningen får vi den potentiella energin ${\overline {F}}_{i}=-{\frac {\partial W}{\partial \varphi ^{i}}}=-(a_{i}+m_{ij}\varphi ^ {j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j}\varphi ^{k})$

V=\sum _{i}{\overline {F}}_{i}F^{i}=\summa _{i}\left|-{\frac {\partial W}{\partial \ varphi ^{i}}}\right|^{2}=\sum _{i}|a_{i}+m_{ij}\varphi ^{j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j} \varphi ^{k}|^{2}.

Supersymmetri i denna modell är bruten om det är omöjligt att hitta en sådan uppsättning som för alla komponenter. $\langle \varphi _{i}\rangle$ $\langle F^{i}\rangle =0$

Icke-invarianta vakuum

När vi överväger kränkningen av kvantfältssymmetrin antog vi att fältets vakuumkonfiguration är invariant under transformationerna av den inhomogena Lorentz-gruppen (rotationer, förstärkningar och översättningar). Detta är en mycket stark oresonerad begränsning av vakuumkonfigurationer, vilket leder till att fältvakuumet är detsamma på alla punkter i rymden. Det visar sig emellertid att icke-triviala koordinatberoende konfigurationer av fältvakuumet verkligen är möjliga. Dessutom kan sådana konfigurationer vara viktiga för att beräkna genereringsfunktionen, eftersom deras inflytande inte är liten (till exempel instanton [53] bidraget i kvantkromodynamik ). Sådana icke-triviala vakuum är också magnetiska monopoler [54] [55] , kosmiska strängar [56] och domänväggar [57] , som i princip kan finnas i universum och behandlas som topologiska defekter av rum-tid med obruten elektrosvag mätare symmetri eller Grand Unification symmetry . Sådana icke-invarianta vakuumtillstånd realiserar det aktionsfunktionella extremumet och är stabila med avseende på excitationer.

Sådana konfigurationer är välkända inom den kondenserade materiens fysik. Till exempel är domänväggar mellan regioner i universum med olika symmetribrott analoga med domänväggar i ferromagneter (därav deras namn), och kosmiska strängar liknar virvellinjer i en supraledare .

Några konfigurationer med icke-invariant vakuum som övervägs av teoretiker ges nedan.

Mekanisk modell av Unruh

Nedan är en enkel mekanisk modell föreslagen av Unruh. Tänk på en uppsättning pennor som placeras ände mot ände på ett bord, och deras vassa ändar är förbundna med varandra med gummiband. Ett sådant system är i ett tillstånd av instabil jämvikt - varje störning kommer att orsaka att pennorna faller och övergår från ett instabilt tillstånd till ett stabilt vakuumtillstånd. Fallriktningen är dock slumpmässig. Bilden av jämviktstillståndet har många olika varianter. Naturligtvis är det möjligt för pennor att falla åt ett håll. Det kan dock också hända att runt en viss penna alla andra pennor faller i motsatta riktningar. Sedan verkar samma spänningskrafter hos de elastiska banden från pennorna som redan har fallit isotropiskt på den centrala pennan från alla sidor. Eftersom spänningskraften verkar jämnt blir det tidigare instabila vakuumtillståndet vid den valda punkten stabilt och pennan faller inte. En punkt uppstår som skiljer sig från de andra punkterna där symmetrin inte bryts.

Vakuumkonfigurationer med lokalt obruten mätsymmetri

När det gäller den mekaniska modellen, om mätarsymmetrin är bruten, är stabila tillstånd med punktvis obruten symmetri möjliga. Sådana lösningar kallas Polyakov-t'Hoft monopoler [54] [55] .

När symmetrin för vissa grupper (till exempel ) bryts till gruppen av elektromagnetisk mätare symmetri , liknar fältet för Polyakov-t'Hoft-monopolen ett magnetfält, därför identifieras det med magnetiska monopoler . I detta fall kan det visas att monopolen har en magnetisk laddning som är en multipel av , där är den elementära elektriska laddningen. Monopolkonfigurationer med en stor magnetisk laddning är också möjliga, men de sönderfaller till monopoler med en elementär magnetisk laddning [58] . Konfigurationen av skalär- och mätfält för Polyakov - t'Hoft-monopolen kan väljas i mätaren i formuläret $G$ $SU(2)$ $U(1)$ $g={\frac {\pm 1}{e}}$ $e$ $g$ $A_{a0}=0$ $\varphi _{i}={\textbf {e}}_{i}\langle \varphi \rangle F(r),$ $A_{ai}={\frac {\varepsilon _{ail}{\textbf {e}}_{l}}{er}}G(r)$ ${\textbf {e}}_{i}={\frac {x_{i}}{r}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $a$ $F(r),\,G(r)$

Fältet för Polyakov-t'Hoft-monopolen i mätaren för skalära fält, där Kronecker -deltatsymbolen är , har formen ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \delta _{i3))$ $\delta _{{ij}}$

B_{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}(\partial _{j}A_{k}^{3}-\partial _{k}A_{j} ^{3})=-{\frac {{\textbf {e}}_{i}}{er^{2}}}.

Antalet monopoler som bör bildas som ett resultat av kränkningen av symmetrin i Grand Unification är en monopol per 10 3 nukleoner, vilket motsäger de observerade uppgifterna. Frånvaron av monopoler förklaras av inflationen . Man tror att de bildades före fasövergången av fältet med den stora förenade symmetrin till symmetrin i standardmodellen , och den uppblåsning som följde med denna övergång ledde till att gasen från monopoler kondenserades [59] . Dessutom anses frånvaron av magnetiska monopoler vara ett av argumenten till stöd för den inflationära teorin om universums utveckling.

Det finns också punktvakuumfältkonfigurationer - dyoner, som har både elektriska och magnetiska laddningar [60] .

Fältkonfigurationer med lokalt obruten mätsymmetri av stora dimensioner är också möjliga - dessa är endimensionella kosmiska strängar [56] och domänväggar [57] .

Instantons

För icke-linjära fältteorier (till exempel kvantkromodynamik ) är icke-triviala fältkonfigurationer i (1 + 3)-rymden möjliga, som kallas instantons [53] . De är en generalisering av en soliton till (1 + 3)-dimensionell rymd. Sådana konfigurationer inser handlingens extremum. De är icke-störande (de kan inte erhållas i någon ordning av störningsteori).

Icke desto mindre är bidraget av instanton och fluktuationer i närheten av instantontillståndet till den genererande funktionen signifikant. Instantons löser problemet med kiral symmetribrott [61] . I teorin om elektrosvaga interaktioner är det instantonkonfigurationerna av det svaga fältet som förklarar kränkningen av baryon- och leptontalen [62] . Instantonstater spelar också en viktig roll i sönderfallet av ett falskt vakuum (se nedan) [63] [64] . $U(1)$ ${\displaystyle SU(2)_{L))$

Skyrmions

Effektiva fältteorier med en linjär sigma-typ Lagrangian beskriver väl lågenergimesonbeteendet . För konsekvens i beräkningen av interaktionsparametrarna för mesoner vid höga energier är det emellertid nödvändigt att komplettera Lagrangian med termer med högre styrkor i fältderivat:

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\sigma }(\varphi )+f_{abcd}{\varphi }\partial _{\mu }\varphi ^{a}\ partiell ^{\mu }\varphi ^{b}\partial _{\nu }\varphi ^{c}\partial ^{\nu}\varphi ^{d}+....

Närvaron av högre grader av derivat kan tillåta en stabil icke-trivial vakuumfältkonfiguration, som kallas skyrmioner [65] .

Skyrmioner kan också uppstå inom statistisk fysik [66] och i dynamisk symmetribrytning.

Diagonaliseringar av den momentana Hamiltonian

För icke-invarianta vakuum finns det ingen klar förståelse för vad som exakt ska betraktas som partiklar och om det överhuvudtaget är möjligt att tala om partiklar vid en godtycklig vakuumkonfiguration. I kvantfältteorin representeras fältoperatorn som en funktion av skapelse- och förintelseoperatorerna , som uppfyller vissa (anti)kommutationsrelationer, vars form beror på lagrangian och fälttypen (fermionisk eller bosonisk). Om motsvarande Hamiltonian i teorin är diagonal med avseende på dessa operatorer, så har begreppet en partikel en enkel tolkning. Vakuumtillståndet bestäms från ekvationen och motsvarar tillståndet med det minsta egenvärdet av Hamiltonian, det vill säga tillståndet utan partiklar. Tillståndet anses vara en partikel med fart . ${\widehat {\Phi ))$ $b_{\textbf {k}}^{+},\,b_{\textbf {k}}$ $b_{\textbf {k}}|0\rangle =0$ ${\textbf {k))$ $|1_{\textbf {k}}\rangle =b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle$

Men i fallet med Hamiltonianens (och följaktligen vakuumet och exciterade tillståndens) beroende av tid, visar det sig att tillståndet, som vid ett givet ögonblick tolkas som en partikel, inte längre kommer att vara en partikel vid efterföljande tidpunkter. Ändå är det möjligt att utveckla en enkel formalism i fallet med ett icke-stationärt vakuum, metoden för diagonalisering av den momentana Hamiltonian [67] . Enligt denna metod antas det att vid någon tidpunkt, till exempel , Hamiltonian diagonaliseras och skapande och förintelseoperatorer hittas ; här betecknar indexet alla kvanttal i fältet. Sökandet efter ett sådant vakuum kan utföras genom att beakta icke-interagerande fält och adiabatiskt inkludera interaktionen (interaktionsparametrar) med hjälp av faktorn . $t_{0}=-\infty$ $b_{A}^{+}(t_{0}),\,b_{A}(t_{0})$ $A$ $t=-\infty$ ${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow +0}e^{\lambda t))$

Operatörerna för födelse och förintelse vid alla efterföljande tidpunkter erhålls med hjälp av Bogolyubov-transformationerna

b_{A}(t)=u_{A}^{B}(t)b_{B}(t_{0})+v_{A}^{B}(t)b_{B}^{ +}(t_{0})

och transformationer erhållna från den givna konjugationen (hermitisk eller komplex). Funktionerna bestäms utifrån villkoret för uppfyllandet av motsvarande kommuteringsrelationer och diagonaliseringen av Hamiltonian vid ett givet ögonblick . I denna formalism, på grund av vakuumets icke-ekvivalens, vid olika tidpunkter under systemets utveckling, kommer födslar och förintelser av partiklar att observeras (analogt med Unruh-effekten ). Antalet partiklar som kommer att födas vid tidpunkten är lika med $u(t),\,v(t)$ $t$ $t$

N_{0}(t)=\sum _{A}\langle t_{0}|a_{A}^{+}(t)a_{A}(t)|t_{0}\rangle .

En sådan korpuskulär tolkning av icke-invarianta vakuum är inte den enda möjliga.

Gravity as a Higgs-Goldstone-fält

För första gången om möjligheten att behandla en graviton som en guldsten[ förtydliga ] Geisenberg och Ivanenko påpekade . Senare utvecklades denna idé ur olika synvinklar [68] [69] [70] [71] [72] [73] . Det här avsnittet ger en kort introduktion till problemet.

Mät gravitation

Enligt moderna åsikter uppstår fälten för grundläggande interaktioner från behovet av invariansen av materiefältets Lagrange-funktion med avseende på lokala gauge-transformationer. Som visats tidigare, för att inkludera interaktionen mellan materiefältet och mätfältet, ersätts den vanliga derivatan av fältet med en kovariansderivata . Dessutom ändras mätfältet på ett visst sätt under verkan av mätartransformationer. Mättransformationer bildar en kompakt Lie-grupp .

Ur en geometrisk synvinkel är mätfält anslutningar i ett fiberformigt utrymme vid interna spårviddssymmetrier - i ett utrymme med en lokalt trivial bunt . Fibrutrymmet generaliserar konceptet med en tangentbunt , och ersätter tangentrymden vid varje punkt i grenröret med ett godtyckligt vektorutrymme - till exempel det komplexa utrymmet i fallet med ett laddat Klein-Gordon-fält eller utrymmet för ett leptonpar ( ). Således är geometrin för teorin om mätfält mycket lik relativitetsteorin . ${\displaystyle e,\,\nu _{e))$

Å andra sidan bör gravitationsfältet betraktas som ett mätfält med en viss symmetrigrupp . Det visar sig dock att det finns två gaugesymmetrier för gravitationsfältet. Den första ges av generella kovarianta transformationer av tensorkvantiteter

{T'}_{\nu _{1}...\nu _{n))^{\mu _{1}...\mu _{m))={\frac {\partial x'^{\mu _{1))}{\partial x^{\alpha _{1))))\cdot ...\cdot {\frac {\partial x'^{\mu _{m} }}{\partial x^{\alpha _{m}}}}{\frac {\partial x^{\beta _{1}}}{\partial x'^{\nu _{1}}}} \cdot ...\cdot {\frac {\partial x^{\beta _{n))}{\partial x'^{\nu _{n)))))T_{\beta _{1}.. .\beta _{n}}^{\alpha _{1}...\alpha _{m}},

som utgör den matematiska återspeglingen av Einsteins allmänna relativitetsprincip . Dessa transformationer bildar en grupp . $GL(4,R)$

Relativitetsprincipen i sig fixar dock inte den (1 + 3)-dimensionella pseudo-euklidiska strukturen av rum-tid på något sätt. Dessutom tar generella kovarianta transformationer inte hänsyn till ytterligare en symmetri i den allmänna relativitetsteorin, nämligen symmetrin under rotationer, förstärkningar och translationer i lokala referensramar (rymd-tidsmanifoldrum). För att ta hänsyn till dessa fakta introduceras den metriska tensorn i teorin . Det är bekvämt att representera den metriska tensorn i tetradformen , där indexen betecknade med latinska bokstäver reflekterar de lokala Lorentz-indexen, tetraderna definierar övergången mellan generella kovarianta och lokala Lorentz-index, och är Minkowski-tensoren. ${\displaystyle g^{\mu \nu ))$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }=\eta ^{ab}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu ))$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu ))$ ${\displaystyle \eta ^{ab}={\rm {diag}}{(1,-1,-1,-1)))$

Mätfältet generell kovarianssymmetri kan lätt identifieras med anslutningen av gravitationsfältet ( Christoffel-symboler ) . Faktum är att uttrycken för den kovarianta derivatan och gauge-transformationerna av anslutningen liknar liknande uttryck för Yang-Mills-fältet ${\displaystyle \Gamma _{\mu \beta }^{\alpha ))$

\nabla _{\mu }A_{\beta }=\partial _{\mu }A_{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }A_{\alpha },

{\Gamma '}_{\mu \beta }^{\alpha }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}\left(\ Gamma _{\nu \sigma }^{\gamma }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x'^{\mu }}}\right){\frac {\partial x^{ \sigma }}{\partial x'^{\beta }}}+{\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}\partial '_{\mu } {\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial x'^{\beta }}}.

Samtidigt finns det inget analogt uttryck för den metriska tensorn (tetradfältet), och dess mätarstatus förblir oklar.

Metrisk som ett Higgs-Goldstone-fält

Denna idé utvecklades i stor utsträckning av Ivanenko och Sardanashvili [72] [74] . I det här avsnittet presenterar vi dess huvudsakliga väsen.

I frånvaro av ett gravitationsfält är rum-tids-manifolden, såväl som verkan av materiella fält, oföränderliga under transformationerna av den inhomogena Lorentz-gruppen . Men när tyngdkraften slås på, bryts systemets Lorentz-invarians. Det finns en symmetribrytning där Higgs-Goldstone-fältet är associerat med metriken . ${\displaystyle g^{\mu \nu ))$

Ändå, som i fallet med brott mot interna mätsymmetrier, kan den Lorentz-invarianta Higgs-komponenten, Minkowski-tensorn, urskiljas i metrisk . Avvikelser från Minkowski-måttet (eller, motsvarande, tetrads ) spelar rollen som Goldstone-komponenter. Men i motsats till Yang-Mills fältsymmetribrytande bild, kan Goldstones gravitationsfält omintetgöras vid varje punkt i rymdtiden med något val av mätare (som sagts, den enhetliga mätaren upphäver Goldstone-lägena endast för kompakta Lie-mätare) . Det geometriska skälet till detta är att lokala transformationer i tangentrum verkar på derivator som på vektorer endast i ett platt rymd, för vilket tangentrummet är detsamma som sig själv. I ett krökt utrymme är vektorerna med avseende på lokala transformationer kvantiteterna . Således leder ett försök att beskriva hela den kurvlinjära rumtiden uteslutande av Minkowski Higgs-metriken endast till en övergång till tetradformalismen [74] . $\eta ^{\mu \nu }$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu}-\eta _{\mu \nu ))$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu ))$ $\partial_\mu$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu }\partial _{\mu ))$

Gravitation som en effekt av vakuumpolarisering

En antydan om att gravitationsfältet kan tolkas på ett sätt som liknar Higgs-bosonen är möjligheten att erhålla Lagrangian för gravitationsfältet med hänsyn till vakuumpolarisation [75] , precis som den effektiva Lagrangian för Higgsfältet erhölls ovan. Betrakta ett system av fält i ett krökt utrymme. Om dessa är skalära icke-interagerande fält, har motsvarande åtgärd formen $\varphi$

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu}\varphi \partial _{ \mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi ^{2}+\xi R\varphi ^{2}\right),

där är bestämningsfaktorn för den metriska tensorn ; _ Om vi introducerar en viss fröterm och lägger till integration över det metriska fältet , och sedan integrerar över skalära fält, så kan vi få en effektiv åtgärd , från vilken vi sedan kan välja en lagrangisk-oberoende form ${\sqrt {-g))$ $R$ $\xi$ $\xi =1/6$ $g$ ${\displaystyle S_{eff))$ $\varphi$

{\mathcal {L}}_{gr}={\sqrt {-g}}\left[-A+BR+CR_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \ mu \nu }+DR_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+E\partial ^{2}R+FR+GC_{\alpha \beta \mu \nu }C^{\alpha \beta \mu \nu }\right],

var finns några konstanter vars värden beror på typen , är Riemann-kurvaturtensorn , är Ricci-tensoren , är Weil-tensoren . När det gäller skalära fält , , , , , uttrycks konstanten i termer av fältspin, konstanterna begränsas inte när regulariseringen av konstanten tas bort, utan de kan renormaliseras och uttryckas i termer av den kosmologiska konstanten och gravitationskonstanten . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $\varphi$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu ))$ $R_{\mu \nu }$ $C_{\alpha \beta \mu \nu }$ $C={\frac {a}{180}}$ $D=-{\frac {a}{180}}$ $E={\frac {a}{5}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)$ $F={\frac {a}{2}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)^{2}$ $G=0$ $a$ $A,\,B$

Det är också intressant att för en viss uppsättning konstanter kan det fria gravitationsfältet ( ) kvantiseras, och motsvarande teori är renormaliserbar [76] . $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G$ $R_{\mu \nu }=0$

Falskt vakuumbrytande

Ofta har den potentiella energin (effektiv potential i kvantfallet) inte ett minimum, utan flera. Olika vakuum motsvarar olika energier. Vakuumet med lägst energi kallas sant, och alla andra kallas falskt (falskt). Om, efter att ha brutit symmetrin och bildat ytterligare vakuum, systemets tillstånd, som var ett verkligt vakuum, blev falskt, kommer systemet inte omedelbart att gå in i ett sant vakuum (till exempel en dubbelbrunnspotential med ett litet hål vid punkten där systemet är placerat). Om brunnen är grund kan tillräckligt intensiva externa fluktuationer överföra systemet till ett närliggande vakuum med mindre energi. Om den potentiella brunnen är tillräckligt djup sker övergången av systemet från ett metastabilt falskt vakuum till ett sant på grund av kvanttunneling . $\varphi=0$

Förfallsdynamiken är som följer. Vid en viss punkt i rymden bildas ett sant vakuum, vilket leder till att samma verkliga vakuum bildas vid alla närliggande punkter - bubblan börjar växa med ljusets hastighet tills den möter expansionsfronten på en annan bubbla. Energitätheten är huvudsakligen koncentrerad till bubblornas gräns, och inuti är de tomma.

Matematiskt, när man beräknar övergångsamplituden, väljs en sådan integrationskontur så att det är möjligt att ta hänsyn till den befintliga instantonkonfigurationen , vilket ger den rådande exponentialfaktorn för övergångsamplituden , där är värdet av åtgärden för instantonen [ 63] . ${\displaystyle \varphi _{inst))$ ${\displaystyle \exp {(-S[\varphi _{inst}]))))$ $S[\varphi _{inst}]>0$

Inflation som kollapsen av ett falskt vakuum

Dussintals faktorer indikerar närvaron i det tidiga skedet av universums utveckling av fasen av exponentiell expansion- inflation . Å andra sidan följer det av Friedmans kosmologiska modell att accelerationen , som kroppen tar emot under inverkan av materiens gravitation, är lika med $a$

a=-{\frac {4}{3}}\pi G(\varepsilon +3P)R,

där är gravitationskonstanten , är materiens energitäthet och tryck i universum, är radien för sfären som innehåller materia (universums radie). Med ekvationen för materiens tillstånd, som relaterar tryck och densitet, kan man beräkna accelerationen. För alla materiens fält är tryck och energi positiva värden, och universum drar ihop sig. $G$ $\varepsilon ,\,P$ $R$ $a<0$

För det fysiska vakuumet, där kontinuerliga processer för att skapa och utplåna virtuella partikel-antipartikelpar inträffar, är trycket negativt och lika i modul med energitätheten: . I det här fallet, i avsaknad av materiefält ${\displaystyle P_{vac}=-\varepsilon _{vac))$

a={\frac {8\pi G\varepsilon _{vac}}{3}}R={\frac {\Lambda }{3}}R.

Det kan sedan visas att , dvs universum expanderar exponentiellt ( de Sitter expansion ). $R(t)=R_{0}\exp {({\sqrt {\Lambda /3}}t)}$

Men under avkylningen av det heta universum under perioden före inflationen fylldes det med kvanta av fälten i den stora enandet (till exempel fältet ) med en densitet av g/cm 3 , det vill säga det var inte tomt alls. Men vid det här ögonblicket hade universum redan svalnat tillräckligt för att detta vakuum skulle vara falskt (se figur) och bubblor av verkligt vakuum ~ 10 −20 cm i storlek började bildas i det, vars radie ökade med ljusets hastighet. Eftersom bubblan är tom inuti, var dess expansion exponentiell. Vid slutet av inflationen var storleken på bubblan 10 32 - 10 40 cm (storleken på det synliga universum nu är 10 28 cm, det vill säga vi lever helt och hållet i en sådan bubbla) [77] [78] . $SU(5)$ ${\displaystyle \varepsilon _{vac}/c^{2}\approx 10^{74))$

Nobelpris för forskning om spontan symmetribrott

Nedan finns en lista över Nobelpristagare vars forskning är relaterad till eller direkt relaterad till spontan symmetribrott (2008, 2013).

1979 - Sheldon Glashow , Steven Weinberg och Abdus Salam - "för deras bidrag till den enhetliga teorin om svaga och elektromagnetiska interaktioner mellan elementarpartiklar, inklusive förutsägelsen av svaga neutrala strömmar" [79] .
1982 - Kenneth Wilson - "för teorin om kritiska fenomen i samband med fasövergångar" [80] .
1999 - Gerard 't Hooft och Martinus Veltman - "för att belysa kvantstrukturen för elektrosvaga interaktioner" [81] .
2008 - Yoichiro Nambu - "för upptäckten av mekanismen för spontan symmetribrott i subatomär fysik "; och Makoto Kobayashi och Toshihide Masukawa "för deras upptäckt av källan till symmetribrott, vilket gjorde det möjligt att förutsäga förekomsten av minst tre generationer kvarkar i naturen" [82] .
2013 - François Engler och Peter Higgs - "för den teoretiska upptäckten av en mekanism som hjälper oss att förstå ursprunget till massan av subatomära partiklar , nyligen bekräftad av upptäckten av den förutsagda elementarpartikeln i ATLAS- och CMS- experimenten vid Large Hadron Collider vid CERN [83] .

Anteckningar

↑ 1 2 Greenberger, Daniel M. Esoteriska elementarpartikelfenomen i grundexamen i fysik—spontan symmetribrott och skalinvarians // American Journal of Physics. - 1978. - T. 46 . - S. 394-398 .
↑ Raviola, Lisandro A och Veliz, Maximiliano E och Salomone, Horacio D och Olivieri, Nestor A och Rodriguez, Eduardo E. Pärlan på en roterande båge återbesökt: en oväntad resonans // European Journal of Physics. - 2016. - T. 38 . - S. 015005 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Weinberg, Steven. Fältens kvantteorin. Volym 2. Moderna tillämpningar (neopr.) . - Cambridge University Press , 1996. - ISBN 0521670543 .
↑ Olga Zakutnyaya. asymmetrisk respons . http://www.itogi.ru/ . Resultat (27 oktober 2008). Hämtad 26 oktober 2019. Arkiverad från originalet 26 oktober 2019. (ryska)
↑ Encyclopedic Dictionary of a Young Physicist / Comp. V. A. Chuyanov .. - M . : Pedagogy, 1984. - S. 257 . — 252 sid.
↑ John Earman. Curieprincipen och spontan symmetribrytning // International Studies in the Philosophy of Science. - 2004. - T. 18 . - S. 173-198 . - doi : 10.1080/0269859042000311299 . Arkiverad från originalet den 14 augusti 2017.
↑ Vakarchuk, I. O. Kvantmekanik (neopr.) . - Lviv: LNU im. jag. Franka, 2012. - S. 35-36. - ISBN 978-966-613-921-7 . Arkiverad 4 juni 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Tkachuk, V.M. Grundläggande problem med kvantmekanik (neopr.) . - Lviv: LNU im. jag. Frank, 2011. - ISBN 978-966-613-850-0 . Arkiverad 20 januari 2021 på Wayback Machine
↑ Cheng T.P., Li L.F. Gauge teorier i partikelfysik . - M . : "Mir", 1987. - 624 sid. - ISBN 978-5-458-27042-7 .
↑ Cheng T.P., Li L.F., 1987 , sid. 156.
↑ Miransky VA, 1994 , sid. 41.
↑ Miransky VA, 1994 , sid. 42.
↑ Miransky VA, 1994 , sid. 43.
↑ 1 2 Goldstone J. Fältteorier med "Superconductor"-lösningar // Nuovo Cimento. - 1961. - T. 19 . - S. 154-164 . - doi : 10.1007/BF02812722 . Arkiverad från originalet den 6 juli 2020.
↑ 1 2 Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Brutna symmetrier // Phys. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 . Arkiverad från originalet den 26 oktober 2019.
↑ 1 2 Higgs, Peter W. Brutna symmetrier och massan av mätare bosoner // Phys. Varv. Lett.. - 1964. - T. 13 . - S. 508-509 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 . Arkiverad 27 maj 2020.
↑ Englert, F. och Brout, R. Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons // Phys. Varv. Lett.. - 1964. - T. 13 . - S. 321-323 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.13.321 . Arkiverad från originalet den 28 oktober 2019.
↑ Steven Weinberg. Allmän teori om brutna lokala symmetrier // Phys. Varv. D. - 1973. - T. 7 . - S. 1068-1082 . - doi : 10.1103/PhysRevD.7.1068 . Arkiverad från originalet den 24 februari 2019.
↑ 12 Steven Weinberg . Ungefärliga symmetrier och pseudo-Goldstone-bosoner // Phys. Varv. Lett.. - 1972. - T. 29 . - S. 1698-1701 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.29.1698 . Arkiverad från originalet den 2 mars 2019.
↑ Roger Dashen. Chiral SU(3)⊗SU(3) som en symmetri av de starka interaktionerna // Phys. Rev.. - 1969. - T. 183 . - S. 1245-1260 . - doi : 10.1103/PhysRev.183.1245 .
↑ Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Quantum fields . - Moskva: "Nauka", 1980.
↑ 1 2 Weinberg, Steven. Fältens kvantteorin. Volym 1. Fundament (neopr.) . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0521550017 .
↑ Goldstone, Jeffrey och Salam, Abdus och Weinberg, Steven. Brutna symmetrier // Phys. Rev.. - 1962. - T. 127 . - S. 965-970 . - doi : 10.1103/PhysRev.127.965 .
↑ A. A. Slavnov. Wards identiteter i mätteorier // TMF. - 1972. - T. 10 . - S. 153-161 . - doi : 10.1007/BF01090719 .
↑ Taylor, JC Avdelningsidentiteter och laddningsrenormalisering av Yang-Mills Field // Nucl. Phys.. - 1971. - T. B33 . - S. 436-444 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90297-5 .
↑ t Hooft, Gerard. Renormaliserbara lagrangier för massiva Yang-Mills-fält // Nucl. Phys.. - 1971. - T. B35 . - S. 167-188 . - doi : 10.1016/0550-3213(71)90139-8 . Arkiverad från originalet den 26 oktober 2019.
↑ Lee, Benjamin W. Renormalizable Massive Vector-Meson Theory-Perturbation Theory of the Higgs Phenomenon // Phys. Varv. D. - 1972. - T. 5 . - S. 823 . - doi : 10.1103/PhysRevD.5.823 .
↑ Fujikawa, K. och Lee, BW och Sanda, AI Generaliserad renormaliserbar gauge-formulering av spontant brutna mätteorier // Phys. Rev.. - 1972. - T. D6 . - S. 2923-2943 . - doi : 10.1103/PhysRevD.6.2923 .
↑ Faddeev, LD och Popov, VN Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field // Phys. Lett.. - 1967. - T. 25B . - S. 29-30 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90067-6 .
↑ Nambu, Yoichiro och Jona-Lasinio, G. Dynamisk modell av elementarpartiklar baserad på en analogi med supraledning. 1 // Fysisk. Rev.. - 1961. - T. 122 . - S. 345-358 . - doi : 10.1103/PhysRev.122.345 .
↑ Nambu, Yoichiro och Jona-Lasinio, G. Dynamisk modell av elementarpartiklar baserad på en analogi med supraledning. 2 // Fysisk. Rev.. - 1961. - T. 124 . - S. 246-254 . - doi : 10.1103/PhysRev.124.246 .
↑ Jackiw, R. och Johnson, K. Dynamisk modell av Spontaneously Broken Gauge Symmetries // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 2386-2398 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.2386 .
↑ Schwinger, Julian S. Gauge invarians och massa // Phys. Rev.. - 1962. - T. 125 . - S. 397-398 . - doi : 10.1103/PhysRev.125.397 .
↑ Haymaker, Richard W. Dynamisk symmetribrytning // Acta Phys. Polon.. - 1982. - T. B13 . - S. 575-605 . Arkiverad från originalet den 26 oktober 2019.
↑ Bjorken, JD A Dynamiskt ursprung för det elektromagnetiska fältet // Annals Phys.. - 1963. - Vol 24 . - S. 174-187 . - doi : 10.1016/0003-4916(63)90069-1 .
↑ 1 2 Ginzburg, V. L. och Landau, L. D. Om teorin om supraledning // JETP . - 1950. - T. 20 . - S. 1064 . (ryska)
↑ Hugenholtz, NM och Pines, D. Marktillståndsenergi och excitationsspektrum av ett system av interagerande bosoner // Phys. Rev.. - 1959. - T. 116 . - S. 489-506 . - doi : 10.1103/PhysRev.116.489 .
↑ Chen, Xie och Gu, Zheng Cheng och Wen, Xiao Gang. Lokal enhetlig transformation, långväga kvantentanglement, vågfunktionsrenormalisering och topologisk ordning // Phys. Varv. B. - 2010. - T. 82 . - S. 155138 . - doi : 10.1103/PhysRevB.82.155138 . - arXiv : 1004.3835 .
↑ Rovenchak, A.A. Fysik hos Bose-systemen (neopr.) . — Lviv: Vydavnichesky center LNU im. I. Franka, 2015.
↑ Pitaevsky, L.P. Vortex filament in a non-ideal Bose gas // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1961. - T. 40 . - S. 646-651 .
↑ Glashow, S.L. Partial Symmetries of Weak Interactions. - 1961. - T. 22 . - S. 579-588 . - doi : 10.1016/0029-5582(61)90469-2 .
↑ Weinberg, Steven. En modell av leptoner. - 1967. - T. 19 . - S. 1264-1266 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1264 .
↑ Salam A. Elementarpartikelteori: Relativistiska grupper och analyticitet / Nils Svartholm. - Almqvist & Wiksell, 1968. - S. 367. - ISBN 978-0-470-83842-6 .
↑ Georgi, H. och Glashow, S.L. Enhet av alla elementära partikelkrafter // Phys. Varv. Lett.. - 1974. - T. 32 . - S. 438-441 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.32.438 .
↑ Okun L. B. Leptoner och kvarkar . - URSS, 2012. - S. 254-255. - ISBN 978-5-382-01375-6 .
↑ Georgi H., Partiklar och fält - 1974, red. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, NY, 1975).
↑ Pati, Jogesh C. och Salam, Abdus. Unified Lepton-Hadron Symmetry and a Gauge Theory of the Basic Interactions // Phys. Rev.. - 1973. - T. D8 . - S. 1240-1251 . - doi : 10.1103/PhysRevD.8.1240 .
↑ 1 2 Witten, Edward. Dynamisk brytning av supersymmetri // Nucl. Phys.. - 1981. - T. B188 . - S. 513 . - doi : 10.1016/0550-3213(81)90006-7 .
↑ Wess, J. och Zumino, B. Supergauge Transformations in Four-Dimensions // Nucl. Phys.. - 1974. - T. B70 . - S. 39-50 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90355-1 .
↑ Volkov, D.V. och Soroka, V.A. Higgs-effekt för Goldstone-partiklar med spin 1/2 // JETP-bokstäver. — 1973}. - T. 18 . - S. 529-532 .
↑ Deser, Stanley och Zumino, B. Broken Supersymmetry and Supergravity, Phys. Varv. Lett.. - 1977. - T. 38 . - S. 1433-1436 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.38.1433 .
↑ O'Raifeartaigh, L. Spontaneous Symmetry Breaking for Chiral Scalar Superfields // Nucl. Phys.. - 1975. - T. B96 . - S. 331-352 . - doi : 10.1016/0550-3213(75)90585-4 .
↑ 1 2 Belavin AA, Polyakov AM, Schwarz AS, Tyupkin Yu.S., Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations, Phys. Lett. B 59 , 85 (1975).
↑ 1 2 Polyakov, AM. Partikelspektrum i kvantfältteori // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1974. - T. 20 . - S. 430-433 .
↑ 1 2 't Hooft, Gerard. Magnetiska monopoler i Unified Gauge Theories // Nucl. Phys.. - 1974. - T. B79 . - S. 276-284 . - doi : 10.1016/0550-3213(74)90486-6 .
↑ 1 2 Nielsen, Holger Bech och Olesen, P. Vortex Line Models for Dual Strings // Nucl. Phys.. - 1973. - T. B61 . - S. 45-61 . - doi : 10.1016/0550-3213(73)90350-7 .
↑ 1 2 Ya. B. Zel'dovich, I. Yu. Kobzarev och L. B. Okun', Cosmological Consequences of Spontaneous Breaking of Discrete Symmetry, JETP 40 , 2 (1975).
↑ Bogomolny, E. B. Stabilitet av klassiska lösningar // Kärnfysik. — 1976}. - T. 24 . - S. 861-870 .
↑ Zeldovich, Ya. B. och Khlopov, M. Yu. Om koncentrationen av relikmagnetiska monopoler i universum // Physics Letters B. - 1978. - T. 79 . - S. 239-241 .
↑ Julia, B. och Zee, A. Poler med både magnetiska och elektriska laddningar i Nonabelian Gauge Theory // Phys. Rev.. - 1975. - T. D11 . - S. 2227-2232 . - doi : 10.1103/PhysRevD.11.2227 .
↑ 't Hooft, Gerard. Beräkning av kvanteffekterna på grund av en fyrdimensionell pseudopartikel // Phys. Rev.. - 1976. - T. D14 . - S. 3432-3450 . - doi : 10.1103/PhysRevD.18.2199.3, 10.1103/PhysRevD.14.3432 .
↑ 't Hooft, Gerard. Symmetry Breaking Through Bell-Jackiw Anomalies // Phys. Varv. Lett.. - 1976. - T. 37 . - S. 8-11 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.37.8 .
↑ 1 2 Coleman, Sidney R. The Fate of the False Vacuum. 1. Semiklassisk teori // Fysik. Rev.. - 1977. - T. D15 . - S. 2929-2936 . - doi : 10.1103/PhysRevD.15.2929, 10.1103/PhysRevD.16.1248 .
↑ Callan, Jr., Curtis G. och Coleman, Sidney R. The Fate of the False Vacuum. 2. Första kvantkorrigeringar, fys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 1762-1768 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.1762 .
↑ Skyrme, THR En icke-linjär fältteori // Proc. Roy. soc. London.. - 1961. - T. A260 . - S. 127-138 . - doi : 10.1098/rspa.1961.0018 .
↑ Al Khawaja, Usama och Stoof, Henk. Skyrmioner i ett ferromagnetiskt Bose--Einstein-kondensat // Nature . - 2001. - Vol. 411 . — S. 918 .
↑ Grib A. A., Mamaev S. G., Mostepanenko V. M., Quantum effects in intense external fields, Moskva: Atomizdat, 1980.
↑ Joseph, A. och Solomon, AI Globala och infinitesimala olinjära kirala transformationer // J. Math. Phys.. - 1970. - T. 11 . - S. 748-761 . - doi : 10.1063/1.1665205 .
↑ Isham, CJ och Salam, Abdus och Strathdee, JA Icke-linjära realiseringar av rum-tidssymmetrier. Skalär och tensorgravitation // Annals Phys.. - 1971. - T. 62 . - S. 98-119 . - doi : 10.1016/0003-4916(71)90269-7 .
↑ Ogievetsky V.I., Polubarinov I.V., ZhETF 21 , 1093 (1965).
↑ Ne'eman, Yuval och Sherry, TN Graded Spin-Extension of the Algebra of Volume Preserving Deformations // Phys. Lett.. - 1978. - T. 76B . - S. 413 . - doi : 10.1016/0370-2693(78)90895-X .
↑ 1 2 Sardanashvili G. A. (1998), doktorsavhandling "Higgs modell av det klassiska gravitationsfältet", http://www.g-sardanashvily.ru/D.Sc-Sard.pdf
↑ Sardanashvily, G. Gauge gravitation theory: Gravity as a Higgs field // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys.. - 2016. - T. 13 . - S. 1650086 . - doi : 10.1142/S0219887816500869 . - arXiv : 1602.06776 .
↑ 1 2 Ivanenko D.D., Pronin P.I., Sardanashvili G.A. Gauge Theory of Gravity (neopr.) . - Moskva: MGU Publishing House, 1985.
↑ Adler, Stephen L. Einstein Gravity as a Symmetri-Breaking Effect in Quantum Field Theory // Rev. Mod. Phys.. - 1982. - T. 54 . - S. 729 . - doi : 10.1103/RevModPhys.54.729 .
↑ Stelle, KS Renormalization of Higher Derivative Quantum Gravity // Phys. Rev.. - 1977. - T. D16 . - S. 953-969 . - doi : 10.1103/PhysRevD.16.953 .
↑ Linde, Andrei D. Ett nytt inflationärt universumscenario: en möjlig lösning av horisonten, platthet, homogenitet, isotropi och primordiala monopolproblem // Physics Letters B. - 1982. - V. 108 . - S. 389-393 .
↑ Albrecht, Andreas och Steinhardt, Paul J. Kosmologi för stora förenade teorier med strålningsinducerad symmetribrytning // Phys. Varv. Lett.. - 1982. - T. 48 . - S. 1220-1223 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1220 .
↑ Nobelpriset i fysik 1979 . Nobelstiftelsen . Hämtad 17 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
↑ Nobelpriset i fysik 1982 . Nobelstiftelsen . Hämtad 17 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
↑ Nobelpriset i fysik 1999 . Nobelstiftelsen . Hämtad 17 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
↑ Nobelpriset i fysik 2008 . Nobelstiftelsen . Hämtad 17 juni 2012. Arkiverad från originalet 22 juni 2012.
↑ Nobelpriset i fysik 2013 . Nobelstiftelsen . Hämtad 8 oktober 2013. Arkiverad från originalet 4 april 2015.

Litteratur

V. P. Shelest. SPONTANT SYMMETRISK BRYTNING . Fysisk uppslagsverk. Hämtad: 30 september 2019. (ryska)
Miransky VA Dynamiskt symmetribrott i kvantfältsteorier. - Singapore: World Scientific, 1994. - 533 s. — ISBN 981-02-1558-4 .

Partikelklassificeringar
Hastighet i förhållande till ljusets hastighet	Tardioner ( eller bradyoner) Luxons Hypotetisk: Takyoner överbradyons
Genom närvaron av inre struktur och separerbarhet	Elementarpartikel ( Fundamental partikel ) sammansatt partikel
Fermioner genom närvaron av en antipartikel	Dirac fermioner Fermions mejram
Bildas under radioaktivt sönderfall	α β γ δ ε n
Kandidater för rollen som mörk materia partiklar	MES Wimpzilla LSP NLSP
I universums inflationsmodell	Inflaton krökning
Genom närvaron av en elektrisk laddning	laddad partikel neutral partikel
I teorier om spontant symmetribrott	Goldstone boson Goldstone fermion ( eller goldstino)
Efter livstid	stabila partiklar Instabila partiklar
Andra klasser	virtuell partikel subatomär partikel antipartiklar Äkta neutrala partiklar Fria partiklar Identiska partiklar De och Kvasipartiklar Hypotetiska partiklar Resonanser