Densitetsmatris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 maj 2020; kontroller kräver 4 redigeringar .

Densitetsmatrisen (densitetsoperator, densitetsmatrisoperator, statistisk operator) är ett av sätten att beskriva tillståndet för ett kvantmekaniskt system. Till skillnad från vågfunktionen , som endast är lämplig för att beskriva rena tillstånd , kan densitetsoperatorn definiera både rena och blandade tillstånd . Formalismen baserad på begreppet densitetsoperatör föreslogs oberoende av L. D. Landau [1] och J. von Neumann [2] 1927 [ 3] och F. Bloch [4 ] 1946 .

Definition

Densitetsoperatorn är en icke- negativ självtillslutande operator med enhetsspår som verkar på ett separerbart Hilbert-utrymme . Spårets likhet med enhet motsvarar enhetsnormaliseringen av den totala sannolikheten på det givna tillståndsutrymmet.

Standardnotationen för densitetsoperatorn är bokstaven . Densitetsoperatorn som motsvarar det rena tillståndet är den ortogonala projektorn $\rho$ $|\psi \rangle ,$

\rho ^{2}=\rho ,

vilket gör att den kan representeras som

\rho =|\psi \rangle \langle \psi |

Det blandade tillståndet, som motsvarar fallet när systemet är i vart och ett av de ömsesidigt ortogonala tillstånden med sannolikhet , beskrivs av en densitetsoperator av formen $|\psi _{j}\rangle$ $p_{j}$

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

var

\sum _{j}p_{j}=1.

Medelvärdet för det observerbara för tillståndet som ges av densitetsmatrisen är spåret av produkten från operatörerna och : $A$ $\rho$ $A$ $\rho$

\langle A\rangle =\operatörsnamn {Tr} (A\rho )

Det är inte svårt att se[ strömlinjeformat uttryck ] att den vanliga regeln för att hitta medelvärdet för ett observerbart för rena tillstånd är ett specialfall av denna formel.

Egenskaper

Tidsderivatan för densitetsoperatorn för det Hamiltonska kvantsystemet uttrycks i termer av kommutatorn med Hamiltonian som ekvation ${\frac {\partial \rho }{\partial t))={\frac {1}{i\hbar ))[{\mathcal {H)),\rho ]$

Denna ekvation kallas ofta för kvant Liouville- ekvationen och von Neumann-ekvationen .

Spåret av densitetsmatrisen är lika med en på grund av normaliseringen av den totala sannolikheten: $\operatorname {Tr} (\rho )=1$
Spåret av kvadraten på densitetsmatrisen är lika med ett för rena tillstånd och är alltid mindre än ett för blandade tillstånd: $\operatörsnamn {Tr} (\rho ^{2})\leq 1$ och $\operatorname {Tr} (\rho ^{2})=1\iff \exists |\psi \rangle :\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Applikation

Användningen av densitetsoperatorn blir nödvändig om tillståndet för ett kvantmekaniskt system av en eller annan anledning inte kan anses vara rent. Denna situation äger rum i synnerhet i kvantstatistiken . I det här fallet visar sig densitetsoperatorn vara en naturlig analog till densitetsfördelningsfunktionen i fasrummet som förekommer i klassisk statistisk mekanik . Dessutom finns det en tolkning av den kvantmekaniska mätproceduren som en övergång från det initiala rena tillståndet till ett blandat tillstånd $|\psi \rangle$

\rho =\sum _{j}|e_{j}\rangle |\langle e_{j}|\psi \rangle |^{2}\langle e_{j}|

var är basvektorerna som motsvarar den valda kompletta uppsättningen av uppmätta storheter. $|e_{j}\rangle$

Det senare är ett specialfall av att beskriva öppna kvantsystem , som bland annat inkluderar system som är föremål för extern observation. Generellt sett är formalismen att beskriva öppna system som interagerar med miljön med hjälp av densitetsmatrisen användbar för att studera fenomenet dekoherens , när systemets tillstånd inte kan betraktas som rent, och själva fenomenet leder till förfallet av off-diagonala matriselement för densitetsoperatorn (på grundval av egenvärdena för interaktionsoperatorn) och följaktligen till övergången av systemet till ett blandat tillstånd .

Rena och blandade tillstånd

Inom kvantmekaniken kan tillståndet för ett kvantsystem beskrivas av en tillståndsvektor . I det här fallet talar man om ett rent tillstånd . Det är dock också möjligt för ett system i en statistisk ensemble av olika tillståndsvektorer: till exempel kan det finnas en 50% chans att tillståndsvektorn är , och en 50% chans att tillståndsvektorn är . Detta system kommer att vara i ett blandat tillstånd. Densitetsmatriser är särskilt användbara för blandade tillstånd, eftersom vilket tillstånd som helst, rent eller blandat, kan karakteriseras av en densitetsmatris. $|\psi \rangle$ $|\psi _{1}\rangle$ $|\psi _{2}\rangle$

Ett blandat tillstånd skiljer sig från en kvantöverlagring. Faktum är att en kvantöverlagring av ett rent tillstånd är ett annat rent tillstånd, till exempel . Å andra sidan skulle ett exempel på ett blandat tillstånd vara , där är ett reellt tal som varierar slumpmässigt mellan olika fotoner. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $A$ $A=(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta}|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2))$ $\theta$

Se även

Densitet funktionell teori

Anteckningar

↑ Landau L. D. , Ztshr. Phys. bd. 45. S. 430 (1927) // Landau L. D. "Problemet med dämpning i vågmekanik" i boken "Landau L. D. Samling av verk." Volym 1. M.: Nauka, 1969. s. 18-31.
↑ J. von Neumann , Göttingen Nachr., 247 (1927). Se även J. von Neumann . Matematiska grunder för kvantmekaniken, - M . : Nauka 1964.
↑ Landau introducerade begreppet densitetsmatris i kvantmekaniken några månader tidigare än von Neumann, men formalismen utvecklades mer systematiskt av von Neumann.
↑ F. Bloch , Nuclear induction. Phys. Varv. 70, 460 (1946).

Litteratur

Belousov Yu. M., Man'ko V. I. Densitetsmatris. Representationer och tillämpningar inom statistisk mekanik. - M. : MIPT, 2004. - 163 sid.
Bloom K. Densitetsmatristeori och dess tillämpningar. — M .: Mir, 1983. — 248 sid.
Bondarev BV Densitetsmatrismetod i kvantteorin för kooperativa fenomen. - M. : Sputnik +, 2001. - 250 sid.
Boum A. Kvantmekanik: grunder och tillämpningar. — M .: Mir, 1990. — 720 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym III). - ISBN 5-02-014421-5 . - § fjorton.
Mestechkin MM Densitetsmatrismetoden i molekylteorin. - K . : Naukova Dumka, 1977. - 352 sid.
von Neumann J. Kvantmekanikens matematiska grunder. - M. : Nauka, 1964. - 368 sid.