Matrisspår

Spåret av en matris är en operation som mappar utrymmet av kvadratiska matriser till fältet över vilket matrisen definieras (för reella matriser, till fältet av reella tal, för komplexa matriser, till fältet av komplexa tal ). Spåret av en matris är summan av elementen i matrisens huvuddiagonal, det vill säga om elementen i matrisen är , då är dess spår . Matriser med nollspår kallas spårlösa (från engelska traceless eller tracefree ) [1] . $a_{{ij}}$ $A$ ${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A=\summa _{i}a_{{ii}}$

I matematiska texter finns det två beteckningar för operationen att ta ett spår: (från engelska trace - ett spår), och (från det. Spur - ett spår). $\mathop {\rm {tr))\;A$ ${\mathop {{\rm {Sp))))\;A$

I tensorkalkyl är spåret av en tensor av den andra rangen (en gång kovariant och en gång kontravariant) summan av dess diagonala element. Oavsett kovarians och kontravarians, beräknas spåret av en tensor av andra rangen som en dubbel skalär produkt av en tensor med en metrisk tensor och är den första invarianten : . ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$

Definition

Spåret av en kvadratisk matris förstås som: $A$ $n\ gånger n$

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{ n,n},$

var är elementen i huvuddiagonalen : ${\displaystyle a_{i,i))$

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {röd}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {röd}{\ ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {röd}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\summa _{i=1}^{n}\ färg {röd}{a_{i,i}}$ .

Egenskaper

Linjäritet . ${\mathop {{\rm {tr))))\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop ({\rm {tr))))\;A+\beta {\mathop ({\ rm {tr}}}}\;B$
${\mathop {{\rm {tr))))\;(AB)={\mathop {{\rm {tr))))\;(BA)$ . Följd: spåret är detsamma för alla liknande matriser: . $\mathop {\rm {tr)) \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr)) \;A$
${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , där betecknar införlivningsoperationen . $\mathrm{T}$
$\ln \det A={\mathop {{\rm {tr))))\;\ln A$ .
Om tensorprodukten av matriserna A och B , då . $Ibland B$ ${\mathop {{\rm {tr))))\;A\otimes B=({\mathop {{\rm {tr))))\;A)({\mathop {{\rm {tr)) }}\;B)$
Spåret av en matris är lika med summan av dess egenvärden .
Determinanten för en kvadratisk matris kan uttryckas i termer av spår av potenser av denna matris som inte överstiger . Till exempel . $n\ gånger n$ $n$ $\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mathop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mathop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mathop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mathop {{\rm {tr}}}}A^{3 }\höger)$

Geometrisk egenskap

${\mathop {{\rm {det))))(E+G\varepsilon )=1+{\mathop ({\rm {tr))))G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

där E är identitetsmatrisen, ε är ett oändligt tal. Det vill säga, en oändlig linjär transformation ändrar volymen med en mängd som är proportionell mot spåret av generatorn av denna transformation i första ordningen i dess lilla parameter. Med andra ord är volymförändringshastigheten under en sådan transformation lika med spåret av dess generator.

Konsekvenser:
- ${\mathop {{\rm {det}}}}\ {\mathop {{\rm {exp}}}}(G\alpha )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \alfa \$ för liten α
- För att transformationer inte ska ändra volym räcker det att deras generatorer är spårlösa.

Se även

Spår (fältteori)

Anteckningar

↑ Lisovsky, Fedor Viktorovich. Ny engelsk-rysk ordbok för elektronik: i två volymer, cirka 100 000 termer och 7 000 förkortningar . - Moskva: ABBYY Press, 2009. - 2 volymer sid. ISBN 9785391000051 , 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Trace of a square matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4