Weyl tensor

Weil- kurvaturtensorn är nollspårdelen av Riemann -kurvaturtensorn . Det är med andra ord en tensor som uppfyller alla symmetriegenskaper hos Riemann-tensoren med det ytterligare villkoret att Ricci-tensorn som konstruerats av den är lika med noll.

Uppkallad efter Hermann Weyl .

Definition

Weyl-tensorn kan erhållas från krökningstensorn genom att subtrahera vissa kombinationer av Ricci-tensorn och skalär krökning från den. Formeln för Weyl-tensorn skrivs enklast i termer av Riemann-tensoren i form av valenstensoren (0,4):

W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n- 1)}}g\cirkel g

där n är grenrörets dimension, g är metrisk , R är Riemann-tensor, Ric är Ricci-tensor, s är skalär krökning och h O k är den så kallade Kulkarni-Nomizu- produkten, produkten av två symmetriska valenstensorer (0,2) är valenstensoren (0,4) som uppfyller symmetrierna för krökningstensorn:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3 })-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1}, v_{4}).$

I komponenter ges Weyl-tensorn av:

W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c }}R_{{d]a)))+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}

var är Riemann-tensorn, är Ricci-tensoren, är den skalära krökningen och [] betecknar antisymmetriseringsoperationen. $R_{abcd}$ $R_{{ab}}$ $R$

Egenskaper

Weil-tensoren kan endast ha en icke-trivial form i utrymmen med minst fyra dimensioner. I tvådimensionella och tredimensionella utrymmen är Weyl-tensorerna identiskt lika med noll.

Weyl-tensorn förblir oföränderlig under konforma transformationer av metriken . Det vill säga, om vi för ett givet mått g introducerar ett nytt mått med hjälp av någon funktion , så ändras inte (1,3)-valensen Weyl-tensor: . Av denna anledning kallas Weyl-tensorn också den konforma tensorn . Av denna fastighet följer att ${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$ $\Omega$ ${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$
- för att ett grenrör ska vara konformt euklidiskt måste dess Weyl-tensor vara noll.
- För dimensioner ≥ 4 är även detta villkor tillräckligt .
- För utrymmen av dimension 3 är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att vara konformt euklidiskt att bomullstensorn försvinner .

Weyl tensor

Definition

Egenskaper

Se även