Revolutionens fasta ämnen

Rotationskroppar är tredimensionella kroppar som uppstår under rotationen av en platt geometrisk figur som begränsas av en kurva runt en axel som ligger i samma plan [1] .

Exempel på rotationsfasta ämnen

Kula - bildad av en halvcirkel som roterar runt snittets diameter
Cylinder - bildad av en rektangel som roterar runt en av sidorna

För arean av cylinderns laterala yta tas området för dess utveckling:

S_{bok}=2\pi rh

Kon - bildad av en rätvinklig triangel som roterar runt ett av benen

För området för konens laterala yta tas området för dess utveckling:

S_{bok}=\pi rl

Konens totala yta:

S_{full}=\pi r(r+l)

En torus bildas av en cirkel som kretsar runt en rät linje som inte skär den [2]

När figurernas konturer roteras uppstår en rotationsyta (till exempel en sfär som bildas av en cirkel ), medan när en fylld kontur roterar uppstår kroppar (som en boll som bildas av en cirkel ).

Volym av revolutionskroppar

Rotation runt x-axeln

Volymen av kroppen som bildas av rotation runt figurens axel, begränsad av grafen för funktionen på intervallet , axeln och räta linjer och , är lika med: $x$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{x}=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx

Rotation runt y-axeln

Volymen av kroppen som bildas av rotation runt figurens axel, begränsad av grafen för funktionen på intervallet , axeln och räta linjer och , är lika med: $y$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{y}=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx

Guldins teorem

Volymen och ytarean av rotationskroppar kan också hittas med hjälp av Guldin-Pappa-satserna , som relaterar arean eller volymen till figurens masscentrum .

Den första Guldin-Papp-satsen säger:

Ytan som bildas under rotationen av en linje som ligger i ett plan helt på ena sidan av rotationsaxeln är lika med produkten av linjens längd och längden av den cirkel som genomkorsas av denna linjes masscentrum .

Den andra Guldin-Pappa-satsen säger:

Volymen av en kropp som bildas under rotationen av en figur som ligger helt i ett plan på ena sidan av rotationsaxeln är lika med produkten av arean av figuren med längden av den cirkel som genomkorsas av centrum massan av denna figur .

Litteratur

A. V. Pogorelov. "Geometri. 10-11 klass» § 21. Revolutionskroppar. — 2011

Anteckningar

↑ A. V. Pogorelov. §21. Revolutionskroppar // Geometri. 10-11 klass. — 2011.
↑ Matematik. Encyclopedia for Children Volym 11 ISBN 5-94623-072-7