Pappus-Guldins satser

Papp-Guldins satser är två satser om rotationskroppar som relaterar sin yta och volym till omkretsen som beskrivs av barycentret . Formulerad av Pappus av Alexandria (han gav inga bevis). Det första kända beviset beror på Paul Guldin ( 1640 ) [1] .

Den första Pappus-Guldins sats (på området för en rotationsyta)

Ytarean av en kropp som bildas av rotationen av en platt linje (sluten eller öppen) runt en axel som ligger i denna linjes plan och inte skär den är lika med produkten av längden på den roterande linjen och cirkelns längd, vars radie är avståndet från axeln till linjens barycentrum [2] [3] .

Pappus-Guldins andra sats (om volymen av en rotationskropp)

Volymen av en kropp som bildas av rotationen av en platt figur runt en axel som ligger i samma plan och inte skär figuren är lika med figurens yta multiplicerat med cirkelns längd, vars radie är avstånd från rotationsaxeln till barycentrum i figuren [2] [4] .

Bevis

Lemma

Låt flera materialpunkter av samma massa vara placerade i planet på ena sidan av den räta linjen. Sedan avlägsnas tyngdpunkten för detta punkter från linjen med ett avstånd som är lika med det aritmetiska medelvärdet av dessa punkters avstånd från linjen . $l$ $l$

Bevis : Låt oss bevisa lemma genom matematisk induktion. Låt oss beteckna antalet punkter med , själva punkterna med , , ..., , massan av varje punkt med , och punkternas avstånd från den räta linjen med , , ..., . $n$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$

För , påståendet om lemma är uppenbart. Låt lemma vara sant för en punkt. Då är deras tyngdpunkt på avstånd $n=1$ $n-1$ $P$

r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}

Låt oss ersätta systemet av materiella punkter , ... med en punkt , koncentrera i den en massa lika med . Det återstår att hitta tyngdpunkten för två materialpunkter och . Eftersom en punkt har en massa och en punkt har en massa , alltså $M_{1}$ $M_{2}$ ${\displaystyle M_{n-1))$ $P$ $(n-1)m$ $O$ $P$ $M_{n}$ $P$ $(n-1)m$ $M_{n}$ $m$

PO:OM_{n}=1:(n-1)

Därför, om är avståndet från en punkt till en rät linje (Fig. 1), då $r^{*}$ $O$

(rr^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)

var

r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{ n-1}+r_{n}}{n}}}

Således är påståendet om lemma giltigt för materiella punkter. $n$

Bevis på den första Papp-Guldin-satsen

Först och främst kommer vi att bevisa att denna sats är sann om kurvan som avses i satsen är en länkad polylinje , där alla länkar har samma längd . Vi betecknar mittpunkterna för polylinjens länkar som , , ..., , och avstånden från dessa punkter till den räta linjen som , , ..., . När den aktuella polylinjen roteras runt en rät linje erhålls en yta bestående av delar, som var och en är en sidoyta av en stympad kon. Eftersom den laterala ytan på den stympade konen är lika med produkten av generatrisens längd och längden på omkretsen av den genomsnittliga sektionen, är arean av den resulterande rotationssiffran lika med $n$ $m$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$ $l$ $n$

{\displaystyle S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n))

När vi märker att längden på den betraktade polylinjen är , kan vi skriva om uttrycket för området $P=mn$

S=P\cdot 2\pi R

var

R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}

men tyngdpunkten för den streckade linjen, det vill säga tyngdpunkten för punkterna , , ..., , i vilka massan är koncentrerad , enligt lemma, separeras från den räta linjen på avstånd . Detta betyder att i det speciella fallet är den första Papp-Guldin-satsen giltig. $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $R$

Betrakta nu en godtycklig linje , vars rotation, när den roteras runt axeln , ger en yta . Vi skriver i den en streckad linje som innehåller länkar. När vi roterar runt axeln får vi en yta vars area är lika med , där är längden på polylinjen och är avståndet från polylinjens tyngdpunkt till rotationsaxeln . $K$ $l$ $F$ $L$ $m$ $L$ $l$ $T$ $S=P\cdot 2\pi R$ $P$ $L$ $R$ $L$ $l$

Om vi räknar , kommer längden på polylinjen att tendera till längden på linjen , ytan kommer att tendera till ytan , tyngdpunkten för polylinjen kommer att tendera till tyngdpunkten av kurvan . Eftersom relationen för någon är giltig för , då övergår till gränsen , finner vi att den också är giltig för kurvan . $m\to 0$ $L$ $K$ $T$ $F$ $L$ $K$ $m$ $S=P\cdot 2\pi R$ $L$ $m\to 0$ $K$

Anteckningar

↑ Glaser, 1983 , sid. 176.
↑ 1 2 Glaser, 1983 , sid. 177.
↑ Fikhtengolts, volym II, 1969 , sid. 229.
↑ Fikhtengolts, volym II, 1969 , sid. 232.

Litteratur

Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. IX-X klasser. - M . : Utbildning, 1983. - 351 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. T. II. 7:e uppl. - M. : Nauka, 1969. - 800 sid.