Rörelselag

Rörelselagen är en matematisk formulering av hur en kropp rör sig, eller hur en mer allmän rörelse uppstår, eller en uppsättning beroenden som avslöjar all data om en punkts rörelse.

I den klassiska mekaniken för en materiell punkt är rörelselagen tre beroenden av tre rumsliga koordinater på tiden, eller beroendet av en vektorkvantitet ( radievektor ) av tiden, av formen

{\vec {r}}={\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_ {y}+z(t){\vec {e}}_{z}

Rörelselagen kan hittas, beroende på problemet, antingen från mekanikens differentiallagar (se Newtons lagar ), eller från integrallagarna (se Lagen om energibevarande , Lagen om bevarande av rörelsemängd ), eller från den så- kallas variationsprinciper.

Specialfall

Uniform rätlinjig rörelse

Det enklaste fallet av rörelse av en materialpunkt är enhetlig och rätlinjig rörelse, det vill säga rörelse med konstant hastighet i absolut värde och riktning . I det här fallet ser dess rörelselag ut så här:

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t

där är radievektorn som kännetecknar positionen för punkten vid tidpunkten , är hastighetsvektorn för materialpunkten. ${\vec r}_{0}$ $t=0$ ${\vec {v}}$

Om x -axeln väljs att riktas längs hastighetsvektorns riktning, och materialpunktens position vid tidpunkten väljs som noll , då tar lagen en särskilt enkel form: $t=0$

x(t)=vt

där är modulen för hastighetsvektorn för en materialpunkt. $v$

Enhetligt accelererad rätlinjig rörelse

Ett annat viktigt specialfall är rätlinjig rörelse med konstant acceleration . I det här fallet är rörelselagen:

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t ^{2}}{2}}

där är materialpunktens hastighetsvektor vid tidpunkten , är materialpunktens accelerationsvektor. $\vec v_0$ $t=0$ $\vec a$

Om x -axeln är vald att riktas längs accelerationsvektorns riktning och materialpunktens position vid tidpunkten väljs som noll , då tar lagen en enklare form: $t=0$

x(t)=v_{0x}t+{\frac {at^{2}}{2}}

där är projektionen av materialpunktens hastighetsvektor på x -axeln vid tiden , är modulen för materialpunktens accelerationsvektor. ${\displaystyle v_{0x))$ $t=0$ $a$

Enhetlig cirkulär rörelse

När man rör sig längs en cirkel med konstant modulohastighet (eller, vilket är samma sak med en konstant vinkelhastighet), riktas accelerationsvektorn strikt vinkelrätt mot hastighetsvektorn mot cirkelns centrum. I det här fallet kan rörelselagen skrivas i följande form:

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {a_{n}{\vec { n}}(t)t^{2}}{2}}

där är den så kallade normalaccelerationen , är enhetsvektorn för normalen till den cirkulära banan för den rörliga punkten, riktad mot cirkelns mitt, d.v.s. Värdet är konstant och lika med . Vektorn roterar likformigt med en vinkelhastighet , där R är radien för den cirkel längs med vilken materialpunkten rör sig. $en$ ${\vec {n}}$ $({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})=0$ $en$ $a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R$ ${\vec {n}}$ $\omega ={\frac {v}{R))$

Det är bekvämare när man överväger rörelse i en cirkel att gå till vinkelvariablerna: vinkel , vinkelhastighet och vinkelacceleration . I dessa variabler tar lagen om enhetlig cirkulär rörelse följande form: $\varphi$ $\omega$ $\varepsilon$

\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t

Enhetligt accelererad cirkulär rörelse

Med jämnt accelererad rörelse i en cirkel ändrar accelerationsvektorn både sin riktning och storleken på modulen. Endast den så kallade tangentiella komponenten av acceleration förblir konstant, vilket är lika med projektionen av accelerationsvektorn på den räta linje längs vilken hastighetsvektorn är riktad (samma räta linje är tangent till cirkeln längs vilken materialpunkten rör sig) . Rörelselagen kan sedan skrivas i följande form:

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {\left(a_{n}( t){\vec {n}}(t)+a_{\tau }{\vec {s}}(t)\right)t^{2}}{2}}

där är tangentiell acceleration , är enhetsvektorn för tangenten till cirkeln. Värdet förblir konstant, värdet ändras med en förändring av hastighetsmodulen, vektor och rotation med en variabel vinkelhastighet . $a_{\tau }$ ${\vec s}$ $a_{\tau }$ $a_{n}={\frac {v^{2}(t)}{R))$ ${\vec {n}}$ ${\vec s}$ $\omega (t)={\frac {v(t)}{R))$

I vinkelvariabler har lagen om likformigt accelererad rörelse i en cirkel en enklare form:

\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega _{0}t+{\frac {\varepsilon t^{2}}{2}}

var . $\varepsilon ={\frac {a_{\tau }}{R}}$

Litteratur

Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. — 520 s.