Frenet trihedron

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 mars 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Ramen eller trihedronen hos Frenet eller Frenet -Serret , även känd som naturlig , ackompanjerande , ackompanjerande , är en ortonormal ram i tredimensionellt utrymme som uppstår när man studerar biregelbundna kurvor, det vill säga sådan att första- och andraderivatan är linjärt oberoende vid någon punkt.

Definition

Låt vara en godtycklig naturligt parametriserad biregelbunden kurva i det euklidiska rummet . Frenet-ramen förstås som en trippel av vektorer , , , associerade med varje punkt i den biregelbundna kurvan , där $r(s)$ $\tau$ $\nu$ $\beta$ $r(s)$

$\tau ={\dot {r}}(s)$ är enhetens tangentvektor ,
$\nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}$ är enhetsvektorn för huvudnormalen ,
$\beta =[\tau ,\nu ]$ är enhetsvektorn för det binormala till kurvan vid den givna punkten.

Egenskaper

Om är en naturlig parameter för kurvan, är vektorerna relaterade av relationerna: $s$ $s$ ${\displaystyle {\tau },{\nu },{\beta ))$ ${\begin{aligned}{\dot {\tau }}&=k\cdot {\nu},\\{\dot {\nu }}&=-k\cdot {\tau }+t\ cdot {\beta },\\{\dot {\beta }}&=-t\cdot {\nu },\end{aligned}}$

kallas Frenets formler . Kvantiteter

k=||{\ddot {\gamma }}(s)||,\quad t=-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle

kallas kurvans krökning respektive vridning vid en given punkt.

Funktionerna och definierar kurvan fram till rymdens rörelse. $k(s)$ $t(s),$
- Dessutom, om , en sådan kurva finns. $k(s)>0$

Hastighet och acceleration i en naturlig trihedrons axlar

Frenets trihedron spelar en viktig roll i kinematiken för en punkt när den beskriver dess rörelse i "medföljande axlar". Låt materialpunkten röra sig längs en godtycklig biregelbunden kurva. Då är uppenbarligen punktens hastighet riktad längs tangentvektorn . Genom att differentiera med avseende på tid finner vi uttrycket för acceleration: . Komponenten vid vektorn kallas tangentiell acceleration , den kännetecknar förändringen i hastighetsmodulen för en punkt. Komponenten vid vektorn kallas normalaccelerationen . Den visar hur punktens rörelseriktning ändras. ${\displaystyle {v}=v{\tau ))$ ${a}={\dot {v}}{\tau }+v^{2}k{\nu }$ ${\displaystyle {\tau ))$ ${\nu }$

Variationer och generaliseringar

När man beskriver plana kurvor introduceras ofta konceptet med den så kallade orienterade kurvaturen.

Låta vara en godtycklig naturligt parametriserad plan regelbunden kurva. Betrakta en familj av enhetsnormaler så att två bildar en rätt bas vid varje punkt . Den orienterade krökningen av en kurva vid en punkt kallas ett tal . Under de antaganden som gjorts sker följande ekvationssystem, kallade Frenet-formlerna för orienterad krökning $\gamma (s)$ ${\nu _{o))$ $({\tau },{\nu _{o)))$ $\mathbf {\gamma } (s)$ $\gamma$ $s$ $k_{o}=\langle {\ddot {\gamma }}(s),\;{\nu _{o}}\rangle$

${\dot {\tau }}=k_{o}{\nu _{o}}\quad {\dot {\nu _{o}}}=-k_{o}{\tau }$ .

I analogi med det tredimensionella fallet kallas formekvationer naturliga ekvationer av en plan regelbunden kurva och bestämmer den helt. $k_{o}=f(s)$

Se även

Darboux-triedern är en liknande konstruktion för en kurva på en yta.

Litteratur

Toponogov, V. A. Differentialgeometri för kurvor och ytor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .