Kinematik för en stel kropp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Kinematik för en stel kropp (från annan grekisk κίνημα - rörelse) - en sektion av kinematik som studerar rörelsen hos en absolut stel kropp (ett system av materiella punkter med konstanta avstånd), utan att gå in på orsakerna som orsakar det. På grund av rörelsens relativitet är det obligatoriskt att ange den referensram i förhållande till vilken rörelsen beskrivs.

Beskrivning av rörelsen

Funktionen hos en stel kropp tillåter oss att introducera ett ortonormalt koordinatsystem associerat med det , centrerat på en punkt (en godtycklig punkt associerad med denna kropp). Sedan i det absoluta ortonormala systemet kan koordinaten för en godtycklig punkt i en stel kropp uttryckas: $({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$ $S$ $Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi}(t)+\eta { \vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)$ , och sedan kroppen är absolut stel: , men . ${\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0$ ${\dot {\vec {e))}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )$

Låt . I synnerhet kan transformationen specificeras med Euler-vinklar . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta}\ end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e }}_{z}\end{pmatrix}}$

Eftersom baserna är ortonormala är den ortogonal mot , vilket resulterar i . ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$

Med hastigheten på en godtycklig punkt i kroppen då:

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\ vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta}\end{ pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec { e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S }(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}} _{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta}\end{pmatrix}}

Differentieringsresultat , vilket betyder antisymmetri , som kan skrivas ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\dot {\hat {A}}}^{T}$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\hat {\Omega }}$

{\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta}&0&\omega _{ \xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi}&0\end{pmatrix}}

Notationen motiveras av introduktionen (av vinkelhastighetsvektorn ). Sedan: ${\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }$

{\begin{cases}{\dot {\vec {e))}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e))_{\eta }-\omega _{ \eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi}],\\{\dot {\vec { e))_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta } = [{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\ eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec { e }}_{\zeta }];\end{cases}}

De resulterande uttrycken kallas annars Poisson-formler.

Eulers formel

Eulers formel fixar förhållandet mellan hastigheterna för olika punkter i en stel kropp: $A,B$

{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]

Bevis

${\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{ \zeta }\end{pmatrix)),\\{\vec {v))_{B}={\vec {v))_{S}+(\xi _{B},\eta _{B} ,\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e} }_{\zeta}\end{pmatrix));\\\end{cases))\;\Högerpil \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} =(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{ pmatrix}{\vec {e}}_{\xi}\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta}\end{pmatrix}}\; \Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

Om , då . ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}$ ${\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}$
${\vec {\omega ))$ är invariant med avseende på valet av ett rörligt koordinatsystem.
Vinkelhastighetsvektorn är relaterad till hastighetsfältet för kroppens punkter . ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}$

Rivals formel

Rivals formel relaterar accelerationerna av olika punkter i en stel kropp. $A,B$

För (vektor för vinkelacceleration ), med tanke på att , differentiering av Euler-formeln leder till: ${\vec {\varepsilon }}={\dot {\vec {\omega }}}$ ${\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

{\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}

Den sista termen i Rivals formel bestämmer den skarpa accelerationen .

Sammansatt rörelse

För fall av svår beskrivning av rörelsen hos en stel kropp i förhållande till en fast CO , introduceras formler för komplex rörelse (dvs. beskriver rörelsen i förhållande till en rörlig CO).

För absolut referenssystem och rörlig . $Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$ $P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi},{\vec {e}}_{\eta},{\vec {e}}_{\zeta })$

{\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}

Radievektorn till en punkt i absolut FR är lika med summan av den relativa radievektorn och den bärbara $S$

Hastighetsadditionsformel

Differentiering med avseende på tid av formeln för radievektorn leder till formeln för att addera hastigheter

{\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec { \omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]

, där är vinkelhastigheten för rotation av den mobila CO.

{\vec {\omega ))

${\vec {v}}_{S/O}$ är punktens absoluta hastighet , $S$
${\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi}+{\dot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\dot {\zeta}}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relativ hastighet,
Termen kallas för den bärbara hastigheten, som är associerad med en förändring i positionen för den mobila CO. ${\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]$

Accelerationsadditionsformel

Upprepad differentiering ger

{\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec { \varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{ \big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]

, var är vinkelaccelerationen för den rörliga CO.

{\vec \varepsilon }

${\vec {a}}_{S/O}$ är den absoluta accelerationen,
${\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi}+{\ddot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relativ acceleration,
${\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }} \times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}$ - Bärbar acceleration,
$2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]$ är Coriolis-accelerationen.

Tillägg av vinkelhastigheter

Att skriva Eulerformeln i en rörlig CO som roterar med vinkelhastighet (kroppen själv roterar här med ) leder till: ${\vec {\omega }}_{P/O}$ ${\vec {\omega }}_{S/P}$

{\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega}}_{S/P}\ gånger {\ högerpil {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\ gånger {\överhögerpil {AB}}]

, vilket är sant för ett godtyckligt val av punkter , varifrån

A,B

{\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}

Annars är den absoluta vinkelhastigheten lika med summan av den relativa och translationella.

Kvalitativ analys av möjliga rörelser

Momentan spiralformad rörelse , kännetecknad av vad som hittas (omedelbart spiralformad axel), så att för någon punkt . Vid varje tidpunkt kan vilken rörelse som helst representeras som momentan-spiralformad. $l\parallel {\vec {\omega ))$ $S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l$
Momentan translationsrörelse kännetecknas av det faktum att i detta fall är hastigheterna för alla punkter i kroppen desamma (vid ett givet ögonblick). ${\vec {\omega }}=0$
Momentan rotationsrörelse , ett specialfall av momentan skruv, dvs. det finns så att alla punkter på den är fixerade. Den räta linjen i detta fall är den momentana rotationsaxeln. $l$ $l$
Planparallell rörelse utförs om varje punkt på kroppen rör sig parallellt med ett fast plan (låt ), då . I analogi med den momentana spiralaxeln, för planparallell rörelse, kan du välja det momentana centrum för hastigheter - en momentant fast punkt . Positionen förändras både i det fasta och i det rörliga (sammankopplade med kroppen) koordinatsystemet. För platsen för punkter för det momentana hastighetscentrumet i en fast ram används termen fast tyngdpunkt, medan i en rörlig ram, respektive, en rörlig tyngdpunkt. $Oxy$ ${\vec {\omega }}\perp Oxy$ $C$ $C$
Rotation runt en fast punkt. Enligt Eulers formel, om fixerad, då fixerad och (momentan rotationsaxel). Den geometriska platsen för rotationsaxlarna kallas fasta och rörliga axoider (beroende på vilken CO) $O$ $l=O\omega$

Eulers kinematiska formler

Om övergången till en mobil CO görs med Euler-vinklar , är följande formler för komponenterna i vinkelhastigheten giltiga:

\omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi

\omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi

\omega _{\zeta }={\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta

$\psi$ är precessionsvinkeln, är nutationsvinkeln, är den korrekta rotationsvinkeln. $\theta$ $\varphi$

Se även

Litteratur

Teoretisk mekanik / Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V. - M., 2010.
Allmän kurs i fysik T.I. Mekanik/Sivukhin D.V. - M., 1979. - $ 7, sid. 45-47