Egen acceleration

Inneboende acceleration [1]  i relativitetsteorin är den fysiska acceleration (dvs. mätbar acceleration, till exempel med hjälp av en accelerometer ) som upplevs av ett objekt. Det är alltså accelerationen i förhållande till fritt fall eller en tröghetsobservatör som momentant är i vila i förhållande till föremålet som mäts. Gravitationen orsakar inte sin egen acceleration, eftersom gravitationen verkar på tröghetsobservatören på ett sådant sätt att dess egen acceleration inte är fixerad. Konsekvensen är att alla tröghetsobservatörer alltid har noll inre acceleration.

Inneboende acceleration står i kontrast till acceleration , som beror på valet av koordinatsystem, och därför på valet av observatören.

I standardtröghetskoordinater för den speciella relativitetsteorin för enkelriktad rörelse, är egen acceleration förändringshastigheten för egen hastighet i förhållande till koordinattiden.

I en tröghetsram där objektet omedelbart är i vila, ger den korrekta 3-accelerationsvektorn, i kombination med en nolltidskomponent, objektets 4-acceleration , vilket gör storleken på den inre accelerationen Lorentz invariant . Sålunda är konceptet användbart i följande fall: (i) med accelererade bildrutor, (ii) vid relativistiska hastigheter och (iii) i krökt rumtid.

I en accelererande raket efter uppskjutning, eller till och med i en raket vid uppskjutning, är den inneboende accelerationen den acceleration som de åkande känner av och beskrivs som en g -kraft (som inte är en kraft, utan bara en acceleration, se den här artikeln för en mer detaljerad diskussion om inre acceleration) som endast produceras av fordon. [2] "Gravitationsaccelerationen" ("gravitationen") bidrar aldrig till sin egen acceleration under några omständigheter, vilket innebär att den egna accelerationen som observeras av observatörer som står på marken beror på en mekanisk kraft från jorden , och inte på grund av till "kraften eller "accelerationen" av gravitationen. Om marken tas bort och observatören tillåts falla fritt kommer observatören att uppleva en koordinatacceleration, men ingen självacceleration och därför ingen g-kraft. Vanligtvis upplever inte objekt i ett sådant fall, eller i allmänhet i någon ballistisk bana (även kallad tröghetsrörelse), inklusive objekt i omloppsbana, sin egen acceleration (som försummar små tidvattenaccelerationer för tröghetsbanor i gravitationsfält). Detta tillstånd är också känt som " tyngdlöshet " ("noll-g") eller "fritt fall".

Den inneboende accelerationen reduceras till koordinat ett i tröghetskoordinatsystemet i platt rumtid (det vill säga i frånvaro av gravitation), förutsatt att objektets inneboende hastighet [3] (moment per massenhet) är mycket mindre än ljusets hastighet c . Det är bara i sådana situationer som koordinataccelerationen helt upplevs som en överbelastning (det vill säga dess egen acceleration, även definierad som att skapa en mätbar vikt).

I situationer där det inte finns någon gravitation, men det valda koordinatsystemet inte är trögt, utan accelererar med observatören (till exempel den accelererade referensramen för den accelererande raketen eller en ram fixerad på objekt i en centrifug), då g-krafterna och motsvarande korrekta accelerationer observerade av observatörer i dessa koordinatsystem, orsakas av mekaniska krafter som motstår deras vikter i sådana system. Denna vikt skapas i sin tur av tröghetskrafter , som uppträder i alla sådana accelererade koordinatsystem, liknande den vikt som skapas av "tyngdkraften" för föremål fixerade i rymden i förhållande till en graviterande kropp (som på ytan av tyngdkraften) jorden).

Den totala (mekaniska) kraften som beräknas orsaka sin egen acceleration av en massa i vila i ett koordinatsystem som har sin egen acceleration, enligt Newtons lag F = m a , kallas för egen kraft . Som sett ovan är självkraften lika med reaktionskraften, som mäts som objektets "arbetsvikt" (dvs dess vikt mätt av en anordning som en fjädervåg i vakuum, i objektets koordinatsystem). Således är ett föremåls egen styrka alltid numeriskt lika och motsatt i riktning mot den uppmätta vikten.

Exempel

När du hålls på en karusell som roterar med en konstant vinkelhastighet upplever du en radiell intern ( centripetal ) självacceleration på grund av interaktionen mellan vev och hand. Detta upphäver den radiellt utåtgående geometriska accelerationen som är associerad med den roterande referensramen . Denna utåtgående acceleration (i termer av den roterande referensramen) kommer att bli koordinataccelerationen när du släpper händerna, vilket resulterar i en geodetisk flygning med noll inre acceleration. Naturligtvis, i detta ögonblick ser opaccelererade observatörer i sin referensram helt enkelt hur dina lika egna och koordinerade accelerationer försvinner.

På samma sätt, när vi står på en icke-roterande planet (och på jorden), upplever vi vår egen acceleration uppåt på grund av den normala (vinkelrätt mot ytan) kraft som jorden utövar på våra skosula. Den neutraliserar den geometriska accelerationen i riktning nedåt på grund av valet av koordinatsystemet (den så kallade ytreferensramen (engelska skalramen) [4] ). Denna nedåtgående acceleration blir koordinerad om vi av misstag kliver av en klippa in i en bana med noll inre acceleration (geodetisk eller regnreferensram).

Observera att geometriska accelerationer (på grund av den affina anslutningstermen i det kovarianta derivatans koordinatsystem ) verkar på varje gram av vårt väsen , medan korrekta accelerationer vanligtvis orsakas av en yttre kraft. Inledande fysikkurser behandlar ofta nedåtgående (geometrisk) gravitationsacceleration som en konsekvens av gravitationskraften . Detta, tillsammans med ett noggrant undvikande av icke-accelererade referensramar, tillåter dem att betrakta koordinat och korrekt acceleration som en och samma enhet.

Även när ett objekt bibehåller en konstant korrekt acceleration under en lång tidsperiod i platt rymdtid, kommer observatörer i vila att se objektets koordinatacceleration minska när dess koordinathastighet närmar sig ljusets hastighet. Ändå förblir tillväxthastigheten för objektets egen hastighet konstant.

Således gör skillnaden mellan egen och koordinatacceleration [5] det möjligt att spåra upplevelsen av accelererade resenärer från olika icke-newtonska perspektiv. Dessa perspektiv inkluderar sådana fall som accelererade koordinatsystem (t.ex. karuseller), höga hastigheter (när korrekta tider och koordinattider skiljer sig åt) och krökt rum-tid (t.ex. i samband med gravitationen på jorden).

Klassiska appar

Vid låga hastigheter i tröghetskoordinatsystem i Newtons fysik är den korrekta accelerationen lika med koordinataccelerationen a =d 2 x /dt 2 . Men, som nämnts ovan, skiljer det sig från koordinatacceleration om man väljer (mot Newtons råd) att beskriva världen i termer av ett accelererat koordinatsystem, som en fortkörande bil, eller en sten som snurrar i en slangbella. Om du håller med om att gravitationen orsakas av krökningen av rum-tid (se nedan), i ett gravitationsfält , skiljer sig den korrekta accelerationen från koordinaten.

Till exempel, ett föremål som utsätts för fysisk eller inneboende acceleration ao kommer att observeras av observatörer i ett koordinatsystem som utsätts för en konstant acceleration en ram med koordinatacceleration:

Således, om ett objekt accelererar med en referensram, kommer observatörer som är förankrade i den referensramen inte att se någon acceleration alls.

På liknande sätt kommer ett föremål som utsätts för fysisk eller inneboende acceleration ao att observeras av observatörer i en ram som roterar med en vinkelhastighet ω som har en koordinatacceleration:

I ekvationen ovan finns tre geometriska accelerationstermer på höger sida. Den första är "centrifugalacceleration", beror endast på den radiella positionen "r", och inte på hastigheten på vårt objekt, den andra är "Coriolisacceleration", beror endast på objektets hastighet i den roterande referensramen v rot , men inte på dess position, och den tredje termen - "Euleracceleration", beror endast på positionen och förändringshastigheten för referensramens vinkelhastighet.

I vart och ett av dessa fall skiljer sig den fysiska eller inneboende accelerationen från koordinataccelerationen, eftersom den senare kan påverkas av vårt val av koordinatsystem, såväl som de fysiska krafter som verkar på objektet. De komponenter av koordinatacceleration som inte orsakas av fysiska krafter (som direktkontakt eller elektrostatisk attraktion) tillskrivs ofta (som i Newtons exempel ovan) krafter som: (i) verkar på varje gram av ett objekt, (ii) orsakar massoberoende accelerationer och (iii) existerar inte ur alla synvinklar. Sådana geometriska (eller felaktiga) krafter inkluderar Corioliskrafter , Eulerkrafter , g -krafter , centrifugalkrafter och (som vi kommer att se nedan) gravitation .

Sett från en del av platt rum-tid

Förhållandet mellan korrekt acceleration och koordinaten etta i en given del av den platta rum-tiden följer [6] från ekvationen för metriken för den platta rum-tiden Minkowski ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2  — (d x ) 2 . Här bestämmer en enda referensram av mätare och synkroniserade klockor viloramspositionen x respektive viloramtid t , klockan för det rörliga objektet bestämmer rätt tid τ och "d" framför koordinaten betecknar en oändlig ändring. Dessa relationer gör det möjligt att lösa olika problem med "teknik av alla hastigheter", men endast utifrån den utökade referensramen för observatörens vila, där simultanitet definieras.

Acceleration i (1+1)D

I det enkelriktade fallet, när objektets acceleration är parallell eller antiparallell med dess hastighet vid observatörens mittsektion, relateras den korrekta accelerationen α och koordinataccelerationen a till [7] via Lorentzfaktorn γ för α =γ 3 a . Därför är förändringen i egen hastighet w=dx/dτ integralen av den egna accelerationen över tiden för systemet i vila t, det vill säga Δ w = α Δ t för konstanten α . Vid låga hastigheter kokar detta ner till det välkända sambandet mellan koordinathastigheten och koordinataccelerationstiden, det vill säga Δ v = a Δ t .

För konstant ensriktad riktig acceleration finns det liknande samband mellan hastigheten η och den förflutna riktiga tiden Δ τ , såväl som mellan Lorentz-koefficienten γ och tillryggalagd sträcka Δ x . Nämligen:

där olika hastighetsparametrar är relaterade av relationen

Dessa ekvationer beskriver några av konsekvenserna av accelererad rörelse i hög hastighet. Föreställ dig till exempel en rymdfarkost som kan accelerera sina passagerare med 1g (10 m/s 2 eller cirka 1,0 ljusår per år i kvadrat) halvvägs till sin destination, och sedan bromsa dem med 1g under den återstående halva vägen för att ge jorden artificiell gravitation från punkt A till punkt B. [8] [9] För vilobildsavstånd Δ x AB förutsäger den första ekvationen ovan en genomsnittlig Lorentz-faktor γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Därför kommer tiden fram och tillbaka på befälhavarens klocka att vara Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), under vilken tiden som förflutit på vilosystemklockan kommer att vara Δ t  = 4( c / α ) sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Denna imaginära rymdfarkost skulle kunna erbjuda resor till och från Proxima Centauri som tar cirka 7,1 år enligt resenärers timmar (~12 år enligt jordens tid), resor till det centrala svarta hålet om cirka 40 år (~ 54 000 år enligt jordens tid) och reser till Andromedagalaxen , som varar cirka 57 år (över 5 miljoner år med jordklocka). Tyvärr är 1g acceleration genom åren lättare sagt än gjort, vilket illustreras av figuren till höger, som visar förhållandet mellan maximal nyttolast och utskjutningsvikt.

Anteckningar

1. ↑ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (endast 1:a upplagan 1966) Spacetime Physics (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , Chapter 1 Exercise 51 page 97-98: "Clock paradox III" ( pdf Arkiverad 21 juli 2017 på Wayback Machine ).
2. ↑ Relativitet av Wolfgang Rindler, sid 71
3. ↑ Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Introduktion till relativitetsteorin (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Arkiverad 30 juli 2012 på Wayback Machine , avsnitt 7-3
4. ↑ Edwin F. Taylor och John Archibald Wheeler (2000) Utforska svarta hål (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
5. ↑ jfr. CW Misner, KS Thorne och JA Wheeler (1973) Gravitation (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , avsnitt 1.6
6. ↑ P. Fraundorf (1996) "A one-map two-clock approach to undervisning relativitetsteori i introduktionsfysik" ( arXiv:physics/9611011 )
7. ↑ A. John Mallinckrodt (1999) Vad händer när a*t>c? Arkiverad från originalet den 30 juni 2012. (AAPT Summer Meeting, San Antonio TX)
8. ↑ E. Eriksen och Ø. Grøn (1990) Relativistisk dynamik i enhetligt accelererade referensramar med tillämpning på klockparadoxen, Eur. J Phys. 39 :39-44
9. ↑ C. Lagoute och E. Davoust (1995) Den interstellära resenären, Am. J Phys. 63 :221-227