Menelaos sats

Menelaos sats , eller satsen om transversaler , eller satsen om den fullständiga fyrhörningen , är en klassisk sats om affin geometri .

Formulering

Om punkterna respektive ligger på sidorna och triangeln eller på deras förlängningar [1] , då är de kolinjära om och endast om $A',B'$ $C'$ $BC, CA$ $AB$ $\triangel ABC$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

där och betecknar förhållandena mellan riktade segment . ${\frac {AB'}{B'C}}$ ${\frac {CA'}{A'B}}$ ${\frac {BC'}{C'A}}$

Bevis

Låt oss dra en linje parallellt med linjen genom punkten och beteckna med skärningspunkten för denna linje med linjen . Eftersom trianglarna och är lika (i två vinklar), alltså $C$ $AB$ $K$ $A'C'$ $\triangel AC'B'$ $\triangel CKB'$

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

Eftersom trianglar också är lika , och därmed $\triangel BC'A'$ $\triangle CKA'$

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

Exklusive , får vi $CK$

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B 'A|}}=1

Det återstår att notera att två arrangemang av punkter och är möjliga : antingen två av dem ligger på motsvarande sidor av triangeln, och den tredje ligger på förlängningen, eller alla tre ligger på förlängningarna av motsvarande sidor. Därför har vi för förhållandena mellan riktade segment $A',B'$ $C'$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Anteckningar

I synnerhet följer förhållandet för segmentens längder av satsen: ${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C 'A|}}=1.$

Variationer och generaliseringar

Trigonometrisk motsvarighet:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac { \sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1

, där alla vinklar är orienterade .

I sfärisk geometri tar Menelaos sats formen

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac { \sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

I Lobatsjovskijs geometri tar Menelaos sats formen

{\frac {\operatörsnamn {sh}|AB'|}{\operatörsnamn {sh}|B'C|}}\cdot {\frac {\operatörsnamn {sh}|CA'|}{\operatörsnamn {sh}| A'B|}}\cdot {\frac {\operatörsnamn {sh}|BC'|}{\operatörsnamn {sh}|C'A|}}=1.

Historik

Denna sats bevisas i den tredje boken av sfärerna av Menelaos av Alexandria (cirka 100 e.Kr.). Menelaos bevisar först satsen för planfallet och överför det sedan till sfären genom central projektion. Det är möjligt att det platta fallet med satsen behandlades tidigare i Euklids icke-bevarade porismer.

Menelaos sfäriska teorem var det huvudsakliga verktyget med vilket olika tillämpade problem av sen antik och medeltida astronomi och geodesi löstes. Hon är tillägnad ett antal verk som kallas "The Book of the figure of the secant", sammanställd av sådana matematiker från det medeltida östern som Sabit ibn Korra , an-Nasavi , al-Maghribi , as-Sijizi , as-Salar , Jabir ibn Aflah , Nasir ad-Din at-Tusi .

Den italienske matematikern Giovanni Ceva föreslog 1678 ett bevis för Menelaos sats och ett relaterat Ceva-teorem för planfallet, baserat på övervägandet av tyngdpunkten för ett system med tre punktvikter. [2]

Applikationer

Laxens teorem
Många satser i projektiv geometri , såsom Pappus sats och Desargues sats , bevisas genom upprepade tillämpningar av Menelaos sats.

Se även

Anteckningar

↑ det kan finnas exakt två eller inga punkter på själva sidorna
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milano, 1678

Länkar

Balk M. B. , Boltyansky V. G. Massans geometri. - M . : Science , 1987. - ( Library "Quantum" )).
Efremov D. Ny triangelgeometri . - Odessa, 1902. - 334 sid. Arkiverad 2 mars 2005 på Wayback Machine
Efremov D. Ny triangelgeometri. Ed. 2. Serie: Physical and Mathematical Heritage (reprint reproduktion av upplagan). . - Moskva: Lenand", 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0 .
Sjal, Michel . Om Ptolemaios sats om en triangel som korsas av en transversal // Historisk översikt över geometriska metoders ursprung och utveckling . - M. , 1883. - T. 2 .
Sidoli N. Sektorsatsen som tillskrivs Menelaos // SCIAMVS. - 2006. - Nr 7 . — s. 43–79 .