Menelaos sats , eller satsen om transversaler , eller satsen om den fullständiga fyrhörningen , är en klassisk sats om affin geometri .
Om punkterna respektive ligger på sidorna och triangeln eller på deras förlängningar [1] , då är de kolinjära om och endast om
där och betecknar förhållandena mellan riktade segment .
BevisLåt oss dra en linje parallellt med linjen genom punkten och beteckna med skärningspunkten för denna linje med linjen . Eftersom trianglarna och är lika (i två vinklar), alltså
.Eftersom trianglar också är lika , och därmed
.Exklusive , får vi
.Det återstår att notera att två arrangemang av punkter och är möjliga : antingen två av dem ligger på motsvarande sidor av triangeln, och den tredje ligger på förlängningen, eller alla tre ligger på förlängningarna av motsvarande sidor. Därför har vi för förhållandena mellan riktade segment
Denna sats bevisas i den tredje boken av sfärerna av Menelaos av Alexandria (cirka 100 e.Kr.). Menelaos bevisar först satsen för planfallet och överför det sedan till sfären genom central projektion. Det är möjligt att det platta fallet med satsen behandlades tidigare i Euklids icke-bevarade porismer.
Menelaos sfäriska teorem var det huvudsakliga verktyget med vilket olika tillämpade problem av sen antik och medeltida astronomi och geodesi löstes. Hon är tillägnad ett antal verk som kallas "The Book of the figure of the secant", sammanställd av sådana matematiker från det medeltida östern som Sabit ibn Korra , an-Nasavi , al-Maghribi , as-Sijizi , as-Salar , Jabir ibn Aflah , Nasir ad-Din at-Tusi .
Den italienske matematikern Giovanni Ceva föreslog 1678 ett bevis för Menelaos sats och ett relaterat Ceva-teorem för planfallet, baserat på övervägandet av tyngdpunkten för ett system med tre punktvikter. [2]