Newtons linje

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 oktober 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Newtons linje är en linje som förbinder mittpunkterna på diagonalerna på en fyrhörning.

Sats

Om i en fyrhörning två par av motsatta sidor inte är parallella, så ligger de två mittpunkterna på dess diagonaler på en rät linje som passerar genom mittpunkten av segmentet som förbinder skärningspunkterna för dessa motsatta sidor. Denna räta linje kallas Newtons räta linje (visas som en tjock linje i figuren).

Motsvarande formulering:

Om en rät linje som inte passerar genom hörnen på en triangel skär dess sidor vid respektive punkter , då är segmentens mittpunkter kolinjära . $ABC$ $BC,CA,AB$ $A_{1},B_{1},C_{1}$ $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$

Kommentarer

Satsen kan härledas från Menelaos sats .
I den andra formuleringen kan man märka att linjerna är lika. De bildar en konfiguration som kallas en komplett fyrhörning . Linjen på vilken dessa segments mittpunkter ligger kallas fyrhörningens Newtonlinje. $AB,BC,CA,A_{1}B_{1}$

Om fyra linjer vidrör en cirkel, så ligger centrum av denna cirkel på samma Newtonlinje. Detta påstående kallas Newtons teorem .

Egenskaper

Newtons linje är vinkelrät mot Aubers linje .
På Newtons linje ligger också skärningspunkten för två mittlinjer som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor av en konvex fyrhörning (fyrhörningens första och andra mittlinjer ).
Annas teorem , uppkallad efter den franske matematikern Pierre Léon Anne ( fr. Pierre-Léon Anne , 1806–1850), säger att i allaicke-parallellogramfyrhörningar är Newtons linje platsen för punktersom har egenskapen: $ABCD$ $O$ $S(\triangel AOB)+S(\triangel COD)=S(\triangel BOC)+S(\triangel DOA)$ ,

där betyder det orienterade området [1] .

S(\triangle AOB)

\triangle AOB

Notera 1. Om punkten ligger inuti fyrhörningen , kommer det till exempel helt enkelt att betyda triangelns area. $O$ $ABCD$ $S(\triangle AOB)$
Anmärkning 2. Enligt Newtons teorem går Newtonlinjen för den omskrivna fyrhörningen genom mitten P av dess inskrivna cirkel. För mitten P av fyrhörningens inskrivna cirkel är Annas sats uppenbar, eftersom summan av motsatta sidor i den omskrivna fyrhörningen är lika, och höjderna av de fyra trianglarna i Annas sats med en gemensam vertex P , i vilken fyrhörningen delas med punkten P , är lika och lika med radien för fyrkantens inskrivna cirkel.

Formel

Om formlerna för linjerna i en fyrhörning i kartesiska koordinater har formen

a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,

då ges Newtonlinjen som motsvarar den av ekvationen

\det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2)),

var finns matriser av storlek i vilken $D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})$ $4\times 4,$

d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{ 2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},

d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\ quad i={\överlinje {1,4}}.

Newton-Gauss linje

Newton-Gauss- linjen är en linje som förbinder mittpunkterna på de tre diagonalerna på en komplett fyrhörning .

Mittpunkterna för de två diagonalerna på en konvex fyrhörning , som inte har mer än två parallella sidor, är olika och definierar därför en rät linje ( Newtons linje ). Om sidorna av en sådan fyrhörning fortsätter att göra en fullständig fyrhörning , förblir diagonalerna på fyrhörningen diagonalerna för hela fyrhörningen, och Newtonlinjen på fyrhörningen kallas Newton-Gauss-linjen för den fullständiga fyrhörningen.

Se även

Anteckningar

↑ Samling av artiklar. Matematisk utbildning. Tredje serien. Nummer 11 . — Liter, 2015-12-02. - S. 65-66. — 177 sid. — ISBN 9785457931350 .

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .