En komplett fyrkant (ibland används termen komplett fyra-vertex ) är ett system av geometriska objekt som består av fyra punkter på planet , varav inte tre ligger på samma linje, och sex linjer som förbinder sex par av punkter. Konfigurationen dual till en komplett fyrhörning - en komplett fyrhörning - är ett system av fyra linjer, varav inte tre går genom samma punkt, och sex skärningspunkter för dessa linjer. Lachlan [1] använde namnet tetrastigma [2] för en fullständig fyrhörning, och tetragam för en fullständig fyrhörning . Dessa termer, även om de är sällsynta, finns i litteraturen.
En figur som består av fyra punkter på ett plan, varav inte tre är kolinjära, och sex linjer som förbinder dem i par kallas en komplett fyrhörning . Sidor som inte har en gemensam vertex i en komplett fyrhörning kallas för motsatta . Skärningspunkterna för tre par av motsatta sidor kallas diagonalpunkter [3] .
En figur som består av fyra räta linjer i ett plan, varav inga tre konvergerar vid en punkt, och sex punkter i deras parvisa skärningspunkt, kallas en komplett fyrhörning . De fyra raka linjerna kallas sidorna och de sex punkterna kallas för fyrhörningens hörn. Vertices som inte gränsar till samma sida kallas motsatta . Raka linjer som förbinder tre par av motsatta hörn kallas diagonaler [3] .
En serie med sex (fem, fyra) punkter där sidorna av en hel fyrhörning skär en viss linje kallas en serie punkter som genereras av den fullständiga fyrhörningen [4] . Om en sådan linje passerar genom två diagonala punkter A och C , och B och D är de punkter där de andra två sidorna skär linjen AC , då kallas punktparen AC och BD harmoniska kvadrater och betecknas H(AC, BD ) . Punkterna B och D kallas harmoniska med avseende på A och C , och punkt D (eller B ) kallas harmonisk konjugat till punkt B (eller D ) med avseende på paret av punkterna A och D [5] .
Om det finns en överensstämmelse mellan punkterna i två figurer, så att linjerna som förbinder varje par av motsvarande punkter konvergerar vid någon punkt O , då kallas figurerna perspektiv med avseende på mitten O [3] .
Om det finns en överensstämmelse mellan de räta linjerna i två figurer, så att skärningspunkterna för varje par av motsvarande linjer ligger på samma räta linje l , då kallas dessa figurer perspektiv i förhållande till l -axeln .
Efter upptäckten av Fano-planet , en ändlig geometri där diagonalpunkterna för en hel fyrhörning är kolinjära , lägger vissa författare till Fano-axiomet till projektiv geometris axiom och postulerar att diagonalpunkterna inte är kolinjära [6] [7] .
Som ett system av punkter och linjer där alla punkter tillhör samma antal linjer och alla linjer innehåller samma antal punkter, är en komplett fyrhörning och en fullständig fyrhörning projektiva konfigurationer . I projektiv konfigurationsnotation skrivs en komplett fyrhörning som (4 3 6 2 ), och en komplett fyrhörning som (6 2 4 3 ), där siffrorna i denna notation anger antalet punkter, antalet linjer som går genom varje punkt , antalet linjer och antalet punkter på varje rak linje. Den projektiva dubbla konfigurationen av en komplett fyrhörning är en komplett fyrhörning och vice versa. För två kompletta fyrhörningar eller två kompletta fyrhörningar finns det en unik projektiv transformation , som omvandlar en av konfigurationerna till den andra [8] .
Karl Staudt omvandlade matematikens grunder 1847 med hjälp av den fullständiga fyrhörningen när han märkte att de "harmoniska egenskaperna" är baserade på de samtidiga egenskaperna hos fyrhörningen - skärningspunkterna för motsatta sidor av fyrhörningen och skärningspunkten mellan diagonalerna och linje som går genom dessa punkter bildar en harmonisk kvartett . Forskare inom modern geometri och algebra har uppmärksammat Staudts inflytande på Mario Pieri och Felix Klein .
Wells [9] beskriver några ytterligare egenskaper hos kompletta fyrhörningar som använder metriska egenskaper hos det euklidiska planet som inte är rent projektiva. Diagonalernas mittpunkter är kolinjära och (som Isaac Newton bevisade) mitten av den koniska sektionen ligger på samma räta linje , tangent till fyrhörningen med fyra räta linjer. Alla tre raka fyrhörningar bildar sidorna i en triangel. Ortocentrumen för de fyra trianglarna som sålunda bildas ligger på en annan linje vinkelrät mot den första linjen (passerar genom diagonalernas mittpunkter). De omskrivna cirklarna i dessa fyra trianglar skär varandra i en punkt. Dessutom hör tre cirklar konstruerade på diagonaler som diametrar till en penna av cirklar [10] , vars axel går genom ortocentra.
De polära cirklarna i trianglarna på den kompletta fyrhörningen bildar ett system av koaxialcirklar [11] .