Slutlig geometri

Finit geometri är ett geometriskt system som har ett ändligt antal punkter . Till exempel är den euklidiska geometrin inte ändlig, eftersom den euklidiska linjen innehåller ett obegränsat antal punkter, eller snarare innehåller exakt lika många punkter som det finns reella tal . En finit geometri kan ha vilket ändligt antal dimensioner som helst .

Finita geometrier kan beskrivas med linjär algebra som vektorrum och liknande strukturer över ett ändligt fält , som kallas Galois-geometrier , eller kan beskrivas helt kombinatoriskt . Många, men inte alla, ändliga geometrier är Galois - till exempel är varje projektivt utrymme med dimension tre eller mer isomorft till ett projektivt utrymme över ett ändligt fält (projektivisering av ett vektorrum över ett ändligt fält), i vilket fall det inte finns någon skillnad, men det finns en dimension av två projektiva plan som inte är isomorfa till projektiva utrymmen över ändliga fält. De är icke-desarguesiska plan . Det finns alltså två skillnader i dimension.

Slutplan

Följande anmärkningar gäller endast ändplan.

Det finns två typer av geometri i planet: affin och projektiv . Affin geometri använder det vanliga begreppet parallella linjer. I projektiv geometri, tvärtom, skär vilka två linjer som helst vid den enda möjliga punkten, och därför finns det inga parallella linjer. Både finit affin geometri på planet och finit projektiv geometri på planet kan beskrivas med ganska enkla axiom . En affin geometri i planet är en icke-tom uppsättning (vars element kallas "punkter"), med en icke-tom uppsättning delmängder (vars element kallas "linje"), så att: $X$ $L$ $X$

För två distinkta punkter finns det bara en linje som innehåller båda punkterna.
Euklids axiom för parallellism : För en linje och en punkt inte i , Det finns en och bara en linje som innehåller , så att . $\aln$ $sid$ $\aln$ $\aln'$ $sid$ $\ell \cap \ell '=\varnothing$
Det finns en uppsättning av fyra punkter, varav inga tre ligger på samma linje.

Det sista axiomet säkerställer att geometrin inte är tom, medan de två första beskriver dess natur.

Det enklaste affina planet innehåller endast 4 punkter och kallas andra ordningens affina plan . Varje par av punkter definierar en unik linje, så det angivna planet innehåller 6 linjer. Detta är analogt med en tetraeder , där icke-korsande kanter anses vara "parallella", eller en kvadrat, där inte bara motsatta sidor anses vara parallella, utan diagonalerna också anses vara parallella.

Mer allmänt har ett plan med ändlig affin ordning punkter och linjer; varje linje innehåller punkter, och varje punkt tillhör en linje. $n$ $n^{2}$ $n^{2}+n$ $n$ $n+1$

En projektiv geometri i planet är en icke-tom uppsättning (vars element kallas "punkter"), tillsammans med en icke-tom uppsättning delmängder (vars element kallas "linjer") så att: $X$ $L$ $X$

För två olika punkter finns det bara en rad som innehåller dessa punkter.
Skärningen mellan två distinkta linjer innehåller exakt en punkt.
Det finns en uppsättning av fyra punkter, varav inga tre tillhör samma linje.

De två första axiomen är nästan identiska, förutom att rollerna för punkter och linjer har ändrats: detta leder till principen om dualitet av projektiv geometri på planet, det vill säga vi kan anta att det korrekta påståendet förblir sant om vi ersätter punkter med linjer och linjer med punkter.

Eftersom det tredje axiomet kräver att det finns minst fyra punkter, måste planet innehålla minst 7 punkter för att uppfylla villkoren för de två första axiomen. Detta enklaste projektiva plan har också 7 linjer; varje punkt tillhör tre linjer, och varje linje innehåller tre punkter. Ett sådant projektivt plan kallas ofta " Fano-planet ". Om någon av linjerna tas bort från planet tillsammans med de punkter som hör till det, får vi som ett resultat ett affint plan av andra ordningen. Av denna anledning kallas Fano-planet för andra ordningens projektiva planet.

I det allmänna fallet har det projektiva ordningsplanet punkter och samma antal linjer (enligt principen om dualitet som nämns ovan). Varje linje innehåller punkter, och varje punkt tillhör en linje. $n$ $n^{2}+n+1$ $n+1$ $n+1$

En permutation av de sju punkterna i Fano-planet som transporterar kolinjära (de som ligger på samma linje) punkter till kolinjära punkter kallas planets " symmetri ". Helsymmetrigruppen har ordningen 168 och är isomorf till gruppen PSL (2,7) = PSL(3,2) och till den allmänna linjära gruppen GL(3,2).

Ordningar av plan

Ett ändligt ordningsplan är ett sådant plan, vars varje linje har en punkt (för ett affint plan), eller vars linje har en punkt (för ett projektivt plan). För finit geometri förblir följande viktiga fråga öppen: $n$ $n$ $n+1$

Är ordningen för ett ändligt plan alltid en potens av ett primtal ?

Svaret på denna fråga antas hypotetiskt vara ja, men detta är fortfarande obevisat.

Affina och projektiva ordningsplan existerar närhelst det är en potens av ett primtal och kommer från ett ändligt fält med element. Plan som inte härstammar från ändliga fält finns också. Det minsta sådana planet har ordning 9 [1] . $n$ $n$ $q=p^{k}$

Alla kända exempel är av storleksordningen en potens av ett primtal; hypotesen att detta är sant bekräftas i flera specialfall. Det bästa resultatet i denna riktning är Bruck-Reiser-satsen [2] , som säger: om det finns ett positivt heltal som har formen eller och inte är lika med summan av två kvadrater, så är det inte ordningen på det ändliga planet. $n$ $4k+1$ $4k+2$ $n$ $n$

I kraft av Fermat-Euler-satsen kan inte ett primtals potens uppfylla kraven i Bruck-Reiser-satsen. Det minsta heltal som inte är en potens av ett primtal och inte uppfyller kraven i Brooke-Reisers sats är 10. Antalet 10 har formen , men är lika med summan av kvadrater . Icke-existensen av ett ändligt plan av ordning 10 bevisades av en dator 1989. $4k+2$ $1^{2}+3^{2}$

Det näst minsta talet som kanske inte är i ordningen för ett ändligt plan är 12, för vilket antagandena ännu inte har bevisats, men inte heller motbevisats.

Anteckningar

↑ Diskret matematik som använder latinska kvadrater . — John Wiley & Sons, 1998-09-17. - S. 146. - 336 sid. Arkiverad 27 april 2021 på Wayback Machine
↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), The nonexistence of certain finite projective planes , Canadian Journal of Mathematics vol 1: 88–93 , DOI 10.4153/cjm-1949-009-2

Litteratur

Margaret Lynn Batten: Combinatorics of Finite Geometries. Cambridge University Press
Dembowski: Finita geometrier.
Lam, CWH (1991), The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 , American Mathematical Monthly vol. 98 (4): 305–318 , < http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam / >
Cartesi F. Introduktion till ändliga geometrier

Länkar

Weisstein, Eric W. finite geometri (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Essä om finit geometri av Michael Greenberg (nedlänk sedan 2013-05-18 [3438 dagar] - historia )
Finit geometri (Script)
Finita geometriresurser
JWP Hirschfeld , forskare om ändliga geometrier
- Böcker av Hirschfeld om finit geometri
AMS Column: Finita Geometries?
Galois Geometry and Generalized Polygons (länk ej tillgänglig sedan 2013-05-18 [3438 dagar] - historia ) , intensivkurs 1998
Carnahan, Scott (2007-10-27), Small finite sets , < http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/27/small-finite-sets/ >