Nondesarguesiskt plan

Ett icke- Desarguesiskt plan  är ett projektivt plan som inte uppfyller Desargues sats , med andra ord är det inte Desarguesian . Desargues sats är sant i alla projektiva rum med andra dimensioner än 2 [1] , det vill säga för alla klassiska projektiva geometrier över ett fält (eller divisionsring ), men Hilbert fann att vissa projektiva plan inte uppfyllde satsen.

Exempel

Några exempel är ändliga geometrier . För ett ändligt projektivt plan är ordningen en mindre än antalet punkter på linjen (detta är en konstant för alla linjer). Några exempel på icke-desarguesiska plan:

Klassificering

Enligt Weibel [3] gav H. Lenz ett klassificeringsschema för projektiva plan 1954 [4] och det vidareutvecklades av A. Barlotti 1957 [5] . Detta klassificeringsschema är baserat på de typer av punktlinjetransitivitet som tillåts av planets kollineringsgrupp och är känd som Lenz-Barlottis projektiva planklassificering . En lista med 53 typer ges i Dembowskis bok [6] . En tabell över kända existensresultat (för kollineringsgrupper och plan som har sådana kollineringsgrupper) för både finita och oändliga fall finns på sidan 126 i boken. Enligt Weibel, "36 av dem existerar som ändliga grupper . 7 till 12 existerar som ändliga projektiva plan och 14 eller 15 existerar som oändliga projektiva plan."

Det finns andra klassificeringssystem. Ett av de enklaste schemana är baserat på typen av platt ternär ring , som kan användas för att introducera koordinater på det projektiva planet. Dessa typer är fält , snedställda fält , alternativa sneda fält , semifält , närfält , rätt närfält ] , kvasifält [en och höger kvasifält [ [7] .

Koniska sektioner

I det Desarguesiska projektiva planet kan den koniska sektionen definieras på olika likvärdiga sätt. I icke-desarguesiska plan visar sig ekvivalensbevisen vara felaktiga och olika definitioner kan ge icke-ekvivalenta objekt [8] . Ostrom T. G. föreslog namnet conoid för dessa figurer som liknar koniska sektioner, men gav ingen formell definition och termen, uppenbarligen, användes inte i stor utsträckning [9] .

Det finns flera sätt att definiera koniska sektioner på desarguesiska plan:

  1. Uppsättningen av absoluta punkter [10] av polaritet är känd som von Staudts koniska sektion . Om planet definieras över ett fält med karakteristisk två får vi bara degenererade koniska sektioner .
  2. Uppsättningen av skärningspunkter för motsvarande linjer av två pennor som är projektivt men inte perspektiviskt sammankopplade är känd som Steiner-koniska . Om balkarna är perspektivkopplade är tvärsnittet degenererat.
  3. Den uppsättning punkter vars koordinater uppfyller en irreducerbar homogen ekvation av andra graden.

Dessutom, på det finita Desarguesiska planet:

  2. En uppsättning av q + 1 punkter, varav inte tre är kolinjära i PG(2, q ), kallas oval . Om q är udda är ovalen en konisk i den mening som anges i punkt 3 ovan.
  3. Ostroms koniska sektion är baserad på generaliseringar av övertonsmängder.

Artzi gav ett exempel på Steiner-koniska sektioner på Moufang-planet, som inte är von Staudt-sektioner [11] . Garner gav ett exempel på en von Staudt-konisk sektion som inte är en Ostrom-konisk sektion på ett ändligt plan av ett halvfält [8] .

Anteckningar

  1. ↑ Desargues teorem är trivialt men meningslöst sant i dimension 1. Problemet uppstår endast i dimension 2.
  2. ↑ se Room och Kirkpatrick ( 1971 ) för en beskrivning av alla fyra plan av ordning 9.
  3. ↑ Weibel, 2007 , sid. 1296.
  4. ↑ Lenz, 1954 , sid. 20–31.
  5. ↑ Barlotti, 1957 , sid. 212–226.
  6. ↑ Dembowski, 1968 , sid. 124-5.
  7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 723, artikel om finit geometri av Leo Storm.
  8. ↑ 12 Garner , 1979 , sid. 132–138.
  9. ↑ Ostrom, 1981 , sid. 175–196.
  10. ↑ I ett utrymme med polaritet (mappning av punkter till linjer av ordning två med bevarande av infallsvinkel) är en punkt absolut om den ligger på sin bild, och en linje är absolut om den passerar genom sin bild (punkt).
  11. ↑ Artzy, 1971 , sid. 30–35.

Litteratur