Galois geometri

Galois geometri (uppkallad efter den franska matematikern Évariste Galois från 1800-talet ) är en gren av finit geometri som betraktar algebraisk och analytisk geometri över finita fält (eller Galoisfält ) [1] . I en snävare mening kan Galois geometri definieras som ett projektivt utrymme över ett ändligt fält [2] .

Inledning

Studieobjekten är vektorrum , affina och projektiva rum över ändliga fält och olika strukturer som finns i dem. I synnerhet bågar , ovaler , hyperovaler , unitals , blockerande uppsättningar , ovaler , grenrör och andra finita analoger av strukturer som finns i oändliga geometrier.

George Conwell demonstrerade Galois geometri 1910 när han beskrev lösningen på Kirkman Schoolgirl Problem som en uppdelning av uppsättningen av sneda linjer i PG(3,2), en tredimensionell projektiv geometri över Galoisfältet GF(2) [3] . I likhet med metoderna för geometrin för linjer i rymden över ett fält med karakteristisk 0 , använde Conwell Plücker-koordinaterna i PG(5,2) och identifierade punkter som representerar linjer i PG(3,2) med punkter som ligger på Klein-kvadricen .

1955 beskrev Beniamino Segre ovaler för udda q . Segres sats säger att i Galois geometri av udda ordning (projektivt plan definierat över ett ändligt fält med udda karaktäristik ) är varje oval en konisk sektion . Vid International Congress of Mathematicians 1958 presenterade Segre en översikt över de resultat som fanns tillgängliga vid den tiden i Galois geometri [4] .

$q$ kallas ordningen för ett ändligt projektivt plan, så att varje punkt (en linje) och antalet punkter är lika med antalet linjer , till exempel när det projektiva planet är en triangel. Galois-planen är ändliga projektiva plan som Desargues sats gäller. För ett ändligt projektivt plan definieras flera koherenta konfigurationer. Schemat som innehåller dem definieras på uppsättningen där är uppsättningen av element (punkter och linjer) i det finita projektiva planet och, i fallet med Desarguesianity, utökas till det schema som motsvarar gruppens komponentvisa verkan på [5] $q^{2}+q+1.$ $q=1$ $\Pi$ $V^{2},$ $V$ $\pi ,$ $\mathrm {Aut} (\Pi )$ $V^{2}.$

Se även

Anteckningar

↑ Galois geometri Arkiverad 10 augusti 2011 på Wayback Machine i Encyclopedia of Mathematics
↑ "Projektiva rum över ändliga fält, även kända som Galois geometrier, ...", ( Hirschfeld, Thas 1992 )
↑ Conwell, 1910 , sid. 60–76.
↑ Segre, 1958 .
↑ S.A. Evdokimov, I.N. Ponomarenko, Schemes of relations of the finita projective plan and their extensions, Algebra i Analiz, 2009, Volym 21, Issue 1, 90-132.

Litteratur

Beniamino Segre. Om Galois Geometries . — International Mathematical Union , 1958. Arkiverad 30 mars 2015 på Wayback Machine
George M. Conwell. 3-utrymmet PG(3,2) och dess grupper. — Annals of Mathematics . - 1910. - T. 11. - S. 60–76. - doi : 10.2307/1967582 .
JWP Hirschfeld. Projektiva geometrier över ändliga fält . - Oxford University Press , 1979. - ISBN 978-0-19-850295-1 .
JWP Hirschfeld. Finita projektiva rum av tre dimensioner . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 0-19-853536-8 .
J.W.P. Hirschfeld, J.A. Thas. General Galois Geometries. - Oxford University Press , 1992. - ISBN 978-0-19-853537-9 .
Jan De Beule, Leo Storme. Aktuella forskningsämnen inom Galois Geometry . - Nova Science Publishers, 2011. - ISBN 978-1-61209-523-3 . Arkiverad 29 januari 2016 på Wayback Machine