Infallsgeometri

Incidensgeometri  är ett avsnitt av klassisk geometri som studerar incidensstrukturer , till exempel om en punkt tillhör en linje .

Inom geometri är objekt som det euklidiska planet komplexa objekt som använder begreppen längder, vinklar, kontinuitet, lie-mellan relation och incidens .

Incidensstrukturen  är det som återstår när alla begrepp förkastas, förutom att veta vilket av objekten som studeras (till exempel punkter) som ligger i andra objekt (till exempel cirklar eller linjer). Även under sådana restriktioner kan vissa satser bevisas och intressanta fakta om en sådan struktur kan erhållas. Sådana grundläggande resultat förblir sanna när andra begrepp läggs till för att få en rikare geometri. Ibland suddar författarna ut skillnaden mellan studieprocessen och studieobjektet, så det är inte förvånande att vissa författare använder namnet på incidensgeometri för incidentstrukturer [1] .

Incidentstrukturer uppstår naturligt och har studerats inom olika grenar av matematiken. Följaktligen finns det en annan terminologi för att beskriva sådana objekt. I grafteori kallas de hypergrafer och i kombinatorisk kretsteori kallas de för blockdiagram . Förutom skillnaden i terminologi är inställningen till studien av föremålet olika inom varje område, och frågor om föremål ställs enligt disciplinen. Om man använder geometrins språk, som man gör i incidenternas geometri, talar man om figurer. Det är dock möjligt att översätta resultat från en disciplins terminologi till en annans språk, men det leder ofta till klumpiga och förvirrande uttalanden som inte ser naturliga ut för disciplinen. I exemplen som ges i artikeln använder vi endast exempel som har ett geometriskt innehåll.

Ett speciellt fall av stort intresse handlar om en ändlig uppsättning punkter på det euklidiska planet , och i det här fallet talar vi om antalet och typerna av linjer som dessa punkter definierar. Vissa av resultaten av detta fall kan utvidgas till mer allmänna fall, eftersom endast incidensegenskaperna beaktas här.

Incidensstrukturer

Incidensstrukturen ( P , L , I) består av en mängd P , vars element kallas punkter , en mängd L , vars element kallas linjer , och en incidensrelation I mellan dem, det vill säga en delmängd P × L , vars element kallas flaggor [2] . Om ( A , l ) är en flagga säger vi att A är infallande med l , eller att l är infallande med A (relationen är symmetrisk), och vi skriver A I l . Det är intuitivt tydligt att en punkt och en linje är i denna relation om och endast om punkten ligger på linjen. Givet en punkt B och en linje m som inte bildar en flagga, så ligger inte punkten på linjen och paret ( B , m ) kallas en antiflagga .

Avstånd i incidensmönstret

Det finns inget naturligt begrepp om avstånd ( metriskt ) i incidensstrukturen. Det finns dock ett kombinatoriskt mått i motsvarande incidensgrafer (Levy graphs) , nämligen längden på den kortaste vägen mellan två hörn i denna tvådelade graf . Avståndet mellan två objekt i infallsstrukturen - två punkter, två linjer eller en punkt och en linje - kan definieras som avståndet mellan två motsvarande hörn i infallsstrukturens graf.

Ett annat sätt att definiera avståndet igen använder begreppen grafteorin, denna gång med hjälp av kolinearitetsgrafen för incidensstrukturen. Topppunkterna i kollinearitetsgrafen är punkterna i infallsstrukturen, och två hörn är förbundna med en kant om det finns en linje som faller in i båda punkterna. Avståndet mellan två punkter i incidensstrukturen kan sedan definieras som avståndet mellan dem i kolinearitetsgrafen.

Om avstånd nämns i samband med en infallsstruktur är det nödvändigt att ange hur avståndet bestäms.

Delvis linjära mellanslag

De mest studerade infallsstrukturerna är strukturer som uppfyller vissa ytterligare egenskaper (axiom), såsom projektiva plan , affina plan , generaliserade polygoner , partiella geometrier och nästan polygoner . Mycket generella incidensstrukturer kan erhållas genom att införa "mjuka" förhållanden, såsom:

Det delvis linjära rymden är en incidensstruktur för vilken följande axiom gäller [3] :

I ett delvis linjärt utrymme är det också sant att vilket par av distinkta linjer som helst skär högst en punkt. Detta påstående ingår inte i axiomen, eftersom det lätt kan bevisas från det första axiomet.

Ytterligare begränsningar ges av regelbundenhetsvillkoren:

RLk : Varje linje faller samman med samma antal punkter. Om detta tal är ändligt betecknas det ofta som k .

RPr : Varje punkt faller på samma antal linjer. Om detta tal är ändligt betecknas det ofta som r .

Det följer av det andra axiomet för ett delvis linjärt utrymme att k > 1 . Inget av regularitetsvillkoren följer av det andra, så vi måste anta r ​​> 1 .

Ett ändligt delvis linjärt utrymme som uppfyller båda regularitetsvillkoren med k , r > 1 kallas en taktisk konfiguration [4] . Vissa författare kallar sådana konfigurationer helt enkelt konfigurationer [5] eller projektiva konfigurationer [6] . Om den taktiska konfigurationen har n punkter och m linjer, erhålls relationen nr = mk efter att ha räknat flaggorna två gånger . Notation ( n r , m k ) -konfigurationen används vanligtvis . I specialfallet när n = m (och därför r = k ), istället för notationen ( n k , n k ) skriver man ofta enkelt ( n k ) .

Ett linjärt utrymme är ett delvis linjärt utrymme så att [3] :

Vissa författare lägger till axiomet "icke-degeneration" (eller "icke-trivialitet") till definitionen av ett (partiellt) linjärt utrymme, till exempel:

Axiomet för icke-degeneration tillåter oss att utesluta några mycket små exempel (oftast de där mängderna P eller L har mindre än två element) som skulle vara undantag från allmänna påståenden om incidensstrukturer. Ett alternativt tillvägagångssätt är att betrakta incidensstrukturer som inte uppfyller axiomet för icke-degeneration som triviala , utan de som gör det, som icke -triviala .

Alla icke-triviala linjära utrymmen innehåller minst tre punkter och tre linjer, så det enklaste icke-triviala linjära utrymmet är en triangel.

Ett linjärt utrymme med minst tre punkter på varje linje är Sylvester-Gallay-konfigurationen .

Grundläggande geometriska exempel

Några av de grundläggande begreppen och terminologin härrör från geometriska exempel, särskilt från projektiva plan och affina plan .

Projektiva plan

Det projektiva planet är ett linjärt utrymme där:

Det finns en bijektion mellan P och L på projektiva plan . Om P är en ändlig mängd, sägs det projektiva planet vara ett ändligt projektivt plan. Ordningen för det finita projektiva planet är n = k – 1 , det vill säga en mindre än antalet punkter på linjen. Alla kända projektiva plan har ordningar som är potenser av ett primtal . Det projektiva planet av ordning n är konfigurationen (( n 2 + n + 1) n + 1 ) .

Det minsta projektiva planet har ordning två och är känt som Fano-planet .

Fano Plane

Denna berömda infallsgeometri utvecklades av den italienske matematikern Gino Fano . I sitt arbete [8] om beviset på oberoendet av uppsättningen av axiom för det projektiva n - rummet , som han utvecklade [9] , skapade han ett ändligt tredimensionellt rum med 15 punkter, 35 linjer och 15 plan, i där varje rad endast innehåller tre punkter [10] . Planen i detta utrymme består av sju punkter och sju linjer, som är kända som Fano-planen .

Fano-planet kan inte representeras på det euklidiska planet med endast punkter och linjesegment (dvs inte realiserbara). Detta följer av Sylvesters teorem .

En komplett fyrhörning består av fyra punkter, varav inte tre är kolinjära. I Fano-planet är tre punkter som inte tillhör en komplett fyrhörning diagonala punkter på fyrhörningen och är kolinjära. Detta motsäger Fanos axiom , som ofta används i axiomatiseringen av det euklidiska planet, som säger att de tre diagonala punkterna på en komplett fyrhörning aldrig är kolinjära.

Affina plan

Ett affint plan är ett linjärt utrymme som uppfyller:

  • För varje punkt A och en linje l som inte faller in mot en punkt ( antiflagga ), finns det exakt en linje m som faller in mot A (dvs. A I m ) som inte skär l ( Playfairs axiom )
  • Tillståndet för icke-degeneration är uppfyllt - det finns en triangel, dvs. tre icke-kolinjära punkter.

Linjerna l och m i uttalandet av Playfairs axiom sägs vara parallella . Vilket affint plan som helst kan utökas till ett projektivt plan på ett unikt sätt. Ordningen för ett ändligt affint plan är k , antalet punkter på linjen. Ett affint plan av ordningen n är konfigurationen (( n2 ) n + 1 , ( n2 + n ) n ) .

Hesse-konfiguration

Det affina planet av ordning tre är konfigurationen (9 4 , 12 3 ) . Om en konfiguration är inbäddad i något omslutande utrymme kallas det en Hesse-konfiguration . Konfigurationen är inte realiserbar på det euklidiska planet, men är realiserbar på det komplexa projektiva planet som nio inflexionspunkter av en elliptisk kurva med 12 linjer som faller in på tripletterna av dessa inflexionspunkter.

De 12 linjerna kan delas in i fyra klasser, inom vilka linjerna är parvis osammanhängande. Dessa klasser kallas parallellitetsklasser av linjer. Om vi ​​lägger till ytterligare fyra nya punkter, en punkt till varje parallellklass, och antar att alla linjer i den parallella klassen skär varandra vid denna nya punkt (så nu skär alla linjer nu), och lägger till ytterligare en linje som innehåller alla fyra nya punkter, erhålla ett projektivt plan av ordning tre, konfigurationen (13 4 ) . I motsatt riktning, utgående från ett projektivt plan av ordning tre (ett sådant plan är unikt) och ta bort valfri (en) linje och alla punkter som ligger på den, får vi ett affint plan av ordning tre (det är också unikt).

Om vi ​​tar bort en punkt och fyra linjer som passerar genom den (men inte andra punkter på denna linje), får vi konfigurationen (8 3 ) Möbius - Cantor .

Partiella geometrier

Givet ett heltal α ≥ 1 är den taktiska konfigurationen som uppfyller axiomet:

  • För varje antiflagga ( B , m ) finns det α - flaggor ( A , l ) så att B I l och A I m ,

kallas partiell geometri . Om det finns s + 1 punkter på en linje och t + 1 linjer passerar genom punkten, är symbolen för denna partiella geometri pg( s , t , α ) .

Om α = 1 är dessa partiella geometrier generaliserade fyrhörningar .

Om α = s + 1 kallas konfigurationerna för Steiner - system .

Generaliserade polygoner

För n > 2 [11] är en generaliserad n - gon ett delvis linjärt utrymme vars incidensgraf Γ har egenskapen:

  • Omkretsen på en graf Γ (längden på den kortaste cykeln ) är två gånger diametern på grafen Γ (det största avståndet mellan två hörn, n i vårt fall).

En generaliserad 2-gon är en infallsstruktur som inte är ett delvis linjärt utrymme, bestående av minst två punkter och två linjer, där varje punkt faller in mot varje linje. Incidensgrafen för en generaliserad 2-gon är en komplett tvådelad graf.

En generaliserad n -gon innehåller inga enkla m - goner för 2 ≤ m < n , och för varje par av objekt (två punkter, två linjer eller en punkt med en linje) finns det en vanlig n - gon som innehåller båda objekten .

Generaliserade 3-goner är projektiva plan. Generaliserade 4-goner kallas generaliserade fyrhörningar . Enligt Feit-Higman-satsen finns det bara ändligt många generaliserade n -goner med minst tre punkter på varje linje och tre linjer genom varje linje, och antalet n är 2, 3, 4, 6 eller 8.

Nästan polygoner

För icke-negativa heltal d är en nästan 2 d - gon en incidensstruktur så att:

  • Det maximala avståndet (mätt med kollinearitetsgrafen) mellan två punkter är d
  • För varje punkt X och linje l finns det en unik punkt på l som är närmast X.

En nästan 0-gon är en punkt och en nästan 2-gon är en linje. Den kolinjära grafen för en nästan 2-gon är en komplett graf . En nästan 4-gon är en generaliserad fyrhörning (möjligen degenererad). Varje ändlig generaliserad polygon, med undantag för projektiva plan, är en snäv polygon. Varje ansluten tvådelad graf är en nära-polygon, och varje nära-polygon med exakt två punkter på varje linje är en ansluten tvådelad graf. Dessutom är alla dubbla polära utrymmen nästan polygoner.

Många nästan polygoner är relaterade till finita enkla grupper som Mathieu-grupperna och Janko-gruppen J2 . Dessutom är de generaliserade 2d -goner associerade med Lie-typ-grupper specialfall av nästan 2d -goner .

Möbius plan

Det abstrakta Möbiusplanet (eller inversplanet) är en infallsstruktur där linjer, för att undvika eventuell förväxling med det klassiska fallets terminologi, kallas cykler eller block .

Specifikt: Möbius-planet är en infallsstruktur av punkter och cykler, så att:

  • Varje trippel av distinkta punkter hänför sig till exakt en cykel.
  • För vilken flagga som helst ( P , z ) och vilken punkt tQ som helst som inte faller mot z , finns det en unik cykel z ∗ med P Iz ∗ , Q Iz ∗ och z ∩ z ∗ = { P }. (Cyklerna sägs röra P. )
  • Varje cykel har minst tre poäng och det finns minst en cykel.

En infallsstruktur som erhålls från vilken punkt P som helst i Möbius-planet genom att som punkter välja alla andra punkter än P , och som direkta val endast de cykler som innehåller P (med P borttagen ), är ett affint plan. Denna struktur kallas P - resten i kretsteorin.

Det ändliga Möbius-planet av ordningen m är en taktisk konfiguration med k = m + 1 poäng i varje cykel, vilket är ett 3-design , ett 3-( m 2 + 1, m + 1, 1) flödesschema .

Incidenssatser på det euklidiska planet

Sylvesters teorem

Frågan som ställdes av D.D. Sylvester 1893 och slutligen bevisad av Tibor Gallai gäller förekomsten av ett ändligt antal punkter i det euklidiska planet.

Teorem (Sylvester - Gallai) : Punkterna i en ändlig uppsättning punkter på det euklidiska planet är antingen kolinjära eller så finns det en linje som faller in på exakt två punkter.

En linje som innehåller exakt två punkter kallas i detta sammanhang en vanlig linje . Sylvester kan ha kommit till denna fråga när han övervägde inbäddningsbarheten för Hesse-konfigurationen.

De Bruijn-Erdős teorem

Ett relaterat resultat är de Bruijn-Erdős sats . Nicholas de Bruijn och Pal Erdős bevisade resultatet under mer allmänna förhållanden på det projektiva planet, men resultatet förblir giltigt på det euklidiska planet. Teoremet säger: [12]

På det projektiva planet definierar varje uppsättning av n icke-kollinjära punkter åtminstone n distinkta linjer.

Som författarna påpekade, eftersom deras bevis var kombinatoriskt, håller resultatet under starkare förhållanden, faktiskt i vilken infallsgeometri som helst. De nämnde också att den euklidiska planversionen kunde bevisas från Sylvester-Gallay-satsen genom induktion .

Szemeredi–Trotters sats

Gränsen för antalet flaggor, definierad av en ändlig uppsättning punkter och linjer, ges av satsen:

Teorem (Semeredy-Trotter) : Givet n punkter och m linjer i ett plan, är antalet flaggor (punktlinjeincidenspar):

Och denna gräns kan inte förbättras.

Detta resultat kan användas för att bevisa Becks teorem.

Becks teorem

Becks teorem säger att ändliga uppsättningar av punkter på ett plan faller in i två extremfall - i vissa mängder ligger alla punkter på samma linje, medan det i andra behövs ett stort antal linjer för att koppla ihop alla punkter.

Satsen säger att det finns positiva konstanter C , K så att, givet n punkter i planet, är minst ett av följande sant:

  1. Det finns en linje som innehåller minst n / C - punkter.
  2. Det finns minst n 2 / K -linjer, som var och en innehåller minst två punkter.

I Becks originalbevis är C 100 och K är en odefinierad konstant. De optimala värdena för C och K är okända.

Ytterligare exempel

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Så gör till exempel L. Storme i kapitlet om finit geometri i boken ( Colbourn, Dinitz 2007 , s. 702)
  2. ↑ Tekniskt sett är detta en incidensstruktur av rang 2, där rangen hänvisar till antalet typer av objekt som övervägs (här, punkter och linjer). Strukturer av högre rang studeras också, men vissa författare begränsar sig till rang 2 och vi kommer att göra detsamma.
  3. ↑ 1 2 Moorhouse , sid. 5.
  4. ↑ Dembowski, 1968 , sid. 5.
  5. ↑ Coxeter, 1969 , sid. 233.
  6. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , sid. 94–170.
  7. ↑ Det finns flera alternativa axiom för sådan "icke-trivialitet". Axiomet kan ersättas med "det finns tre punkter som inte ligger på samma linje", som i boken av Batten och Beutelspacher ( Batten, Beutelspacher 1993 ). Det finns andra alternativ, men alla måste ha ett existenspåstående som utesluter fall som är för enkla.
  8. ↑ Fano, 1892 , sid. 106–132.
  9. ↑ Collino, Conte & Verra, 2013 , 6
  10. ↑ Malkevitch , Finita Geometries? en AMS Utvald kolumn
  11. ↑ Användningen av n i namnet är standard och bör inte förväxlas med antalet punkter i konfigurationen.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. Arkiverad 1 april 2004 på Wayback Machine , "de Bruijn–Erdős Theorem" Arkiverad 2 maj 2019 på Wayback Machine på MathWorld Arkiverad 29 februari 2000.

Litteratur

  • G. Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di Matematiche. - 1892. - T. 30 . — S. 106–132 .
  • HSM Coxeter. Introduktion till geometri . - New York: John Wiley & Sons, 1969. - s  . 233 . — ISBN 0-471-50458-0 .
  • David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometri och fantasi . — 2:a. - Chelsea, 1952. - S.  94-170 . — ISBN 0-8284-1087-9 .
  • Lynn Margaret Batten. Combinatorics of Finita Geometries . - New York: Cambridge University Press, 1986. - ISBN 0-521-31857-2 .
  • Lynn Margaret Batten, Albrecht Beutelspacher. Teorin om ändliga linjära utrymmen . - New York: Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-33317-2 .
  • Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incident Geometry: Buildings and Foundations , Elsevier BV
  • Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Handbok för kombinatoriska mönster. — 2:a. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
  • Collino, Alberto; Conte, Alberto & Verra, Alessandro (2013), Om Gino Fanos liv och vetenskapliga arbete, arΧiv : 1311.7177 . 
  • Peter Dembowski. Ändliga geometrier. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1968. - Vol. 44. - ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ). — ISBN 3-540-61786-8 .
  • Malkevitch, Joe Finite Geometries? . Hämtad: 2 december 2013.
  • Moorhouse, G. Eric Incidensgeometri . MATH 5700 hösten 2007  (engelska) (pdf)  (inte tillgänglig länk) . University of Wyoming (augusti 2007) . Tillträdesdatum: 17 januari 2017. Arkiverad från originalet 29 oktober 2013.
  • Johannes Ueberberg. Grunder för incidensgeometri. - Springer, 2011. - (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-642-26960-8 . - doi : 10.1007/978-3-642-20972-7 . .
  • Ernest E. Shult. Punkter och linjer. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 . .
  • Simeon boll. Finit geometri och kombinatoriska tillämpningar. - Cambridge University Press, 2015. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-1107518438 . .

Länkar