Cremona-Richmond-konfiguration

Cremona-Richmond- konfigurationen  är en konfiguration av 15 linjer och 15 punkter, tre punkter som ligger på varje linje och 3 linjer som går genom varje punkt, medan konfigurationen inte innehåller trianglar. Konfigurationen studerades av Cremona ( Cremona 1877 ) och Richmond ( Richmond 1900 ). Konfigurationen är en generaliserad fyrhörning med parametrar (2,2). Levi-grafen för konfigurationen är Tutt-Coxeter-grafen . [ett]

Symmetri

Punkterna i Cremona-Richmond-konfigurationen kan identifieras med oordnade par av element av en uppsättning av sex element, medan de direkta konfigurationerna kan identifieras med 15 sätt att sönderdela dessa sex element i tre par, medan punkten faller in mot linjen (ligger på linjen) om och endast om när motsvarande par av element ingår i sönderdelningen som motsvarar linjen. I det här schemat kallas elementpar för duader, och uppdelningar i tre par kallas uppsättningar (syntemer). Således verkar den symmetriska gruppen av sex element transitivt på flaggorna i en konfiguration, där en flagga är ett par - en linje och en punkt på den. Denna grupp är konfigurationsautomorfismgruppen . [ett]

Cremona-Richmond-konfigurationen är självdubbel —  punkter och linjer kan bytas ut samtidigt som alla konfigurationens incidensegenskaper bibehålls. Denna dualitet ger Tutte-Coxeter-grafen ytterligare symmetrier som inte hör till symmetrierna i Cremona-Richmond-konfigurationen, som byter ut båda delarna av den tvådelade grafen. Dessa symmetrier motsvarar yttre automorfismer av den symmetriska gruppen av sex element.

Implementering

Alla sex punkter i allmän position i det fyrdimensionella rummet ger 15 punkter, som bestäms av skärningspunkten mellan linjer som passerar genom två punkter med hyperplan som definierar de återstående fyra punkterna. Således motsvarar tvåorna en till en till dessa 15 erhållna poäng. Alla tre 2:or som tillsammans bildar en mängd definierar en linje som är skärningspunkten mellan tre hyperplan som innehåller två av de tre 3:orna från mängden, och denna linje innehåller alla punkter som motsvarar de tre 2:orna i mängden. Sålunda motsvarar tvåor och uppsättningar av abstrakt konfiguration en till en, i betydelsen att punkter tillhör linjer, till dessa 15 punkter och 15 linjer erhållna från de första sex punkterna. Samma konstruktion kan projiceras in i det euklidiska rummet (3-dimensionellt) eller det euklidiska planet. [ett]

Cremona-Richmond-konfigurationen har också en familj av realiseringar i planet, beroende på en parameter, som har femte ordningens cyklisk symmetri. [2]

Historik

Schläfli ( Schläfli 1858 ) ( Schläfli 1863 ) fann kubiska ytor innehållande 15 reella linjer (komplementära till dubbelsexan av Schläfli i uppsättningen av 27 raka kuber) och 15 tangentplan, tre linjer på varje plan och tre plan som går genom varje linje. Skärningen av dessa linjer och plan med ett annat plan ger 15 3 15 3 -konfigurationen. Denna modell av förekomster av linjer och plan av Schläfli publicerades senare av Cremona ( 1868 ). Observationen att den resulterande konfigurationen inte innehåller trianglar gjordes av Martinetti ( Martinetti 1886 ). Samma konfiguration dök upp i Richmonds verk ( Richmond 1900 ). Visconti ( Visconti 1916 ) fann att en konfiguration kan representeras som en självskriven polygon. Baker använde en fyrdimensionell implementering av konfiguration som omslagskonst för hans två-volymer 1922-1925 Principles of Geometry . Zacharias ( Zacharias 1951 ) återupptäckte samma konfiguration och fann dess förverkligande med femte ordningens cyklisk symmetri. [3]

Namnet på konfigurationen kommer från verk av Cremona ( Cremona 1868 ) ( Cremona 1877 ) och Richmond ( Richmond 1900 ). Kanske på grund av vissa fel i Martinettis arbete, gick hans bidrag obemärkt. [3]

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 Coxeter, 1950 ; Coxeter, 1958 . Termerna duader och mängder (syntemer) är hämtade från Sylvesters uppsats ( Sylvester 1844 ), men Sylvester använde dessa system av par och sönderdelningar i samband med mer allmänna studier av mängder och mängduppdelningar, utan att ägna stor uppmärksamhet åt mängden av sex element och kopplade inte ihop dessa uppsättningar med geometri.
  2. ↑ Zacharias, 1951 ; Boben och Pisanski, 2003 ; Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik, 2006 .
  3. ↑ 1 2 Historien om Cremona-Richmond-konfigurationen och de flesta referenser är hämtade från Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik, 2006 . Hänvisningen till Baker kommer från en artikel av Coxeter ( Coxeter 1950 ).

Litteratur

Länkar