Kombinatoriskt schema

Teorin om kombinatoriska scheman är en del av kombinatoriken (en gren av matematiken ) som överväger existensen, konstruktionen och egenskaperna hos familjer av ändliga mängder vars struktur uppfyller generaliserade begrepp om jämvikt och/eller symmetri . Dessa begrepp är inte exakt definierade, så ett brett spektrum av objekt kan förstås som kombinatoriska scheman. Så i ett fall kan kombinatoriska scheman representera skärningspunkter mellan uppsättningar av tal, som i flödesscheman , och i ett annat fall kan de återspegla arrangemanget av element i Sudoku .

Teorin om kombinatoriska scheman kan användas vid design av experiment . Några av de grundläggande kombinatoriska scheman ges i Ronald Fishers arbete med teorin om biologiska experiment. Kombinatoriska scheman kan nu hittas inom ett brett spektrum av områden, inklusive finit geometri , turneringsplanering , lotterier , matematisk biologi , algoritmdesign och analys , datornätverk , grupptestning och kryptografi [1] .

Definition

Beteckna - uppsättningen element . Överväg delmängder av denna uppsättning . Varje delmängd kallas ett block, och antalet uppsättningselement i det kallas blockets volym och betecknas som . Låt vara antalet delmängder som innehåller detta element. Antalet repetitioner (oordnade par) betecknas som . Sedan bildar uppsättningen av block ett kombinatoriskt schema (eller blockschema) med parametrar [2] . $v$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{v))$ ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{b))$ ${\displaystyle M_{j))$ ${\displaystyle M_{j))$ ${\displaystyle k_{j))$ ${\displaystyle r_{i))$ $M$ $\lambda _{p}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{b))$ ${\displaystyle v,b,r_{i},k_{j},\lambda _{p))$

Exempel

Om det finns n personer, är det möjligt att bilda uppsättningar från dem så att varje person tillhör minst en uppsättning, varje par tillhör exakt en uppsättning, varannan uppsättning har bara en person i skärningspunkten, och ingen av uppsättningarna består av av alla människor, alla människor minus en eller exakt en person? Svaret beror på n .

Svaret är bara ja om n har formen q 2 + q + 1. Det är svårare att bevisa att lösningen finns om q är en primpotens . Det finns en gissning om att det inte finns några andra lösningar. Det har bevisats att om det finns en lösning för q som är kongruenta med 1 eller 2 modulo 4, så är q summan av två perfekta kvadrater . Detta resultat, Brook-Reiser-Chowl-satsen , bevisades genom en kombination av konstruktionsmetoder baserade på finita fält och kvadratiska former .

När en sådan struktur existerar kallas det ett ändligt projektivt plan . Detta visar hur teorin om finita geometrier och kombinatorik skär varandra. I fallet q = 2 kallas det projektiva planet för Fano-planet .

Historik

Kombinatoriska scheman har varit kända sedan antiken i form av Lo Shu-torget , som var en tidig version av det magiska torget . Kombinatoriska scheman har utvecklats med kombinatorikens utveckling sedan 1700-talet, till exempel i form av latinska rutor på 1700-talet och Steiner-system på 1800-talet. Kombinatoriska upplägg är också populära i underhållande matematik , som Kirkmans skolflickproblem (1850), och praktiska problem som att schemalägga round robin-turneringar (lösning publicerad på 1880-talet). På 1900-talet användes kombinatoriska scheman för design av experiment , ändliga geometrier och relationsscheman, och ledde till uppkomsten av algebraisk statistik .

Grundläggande kombinatoriska scheman

Den klassiska kärnan i ämnet kombinatoriska scheman är uppbyggd kring balanserad ofullständig blockdesign (sv: Balanced Incomplete Block Design, BIBD), matriser och Hadamard-scheman , symmetriska BIBD , latinska kvadrater , lösbar BIBD , differensuppsättningar och parvis balanserade scheman (sv: Pairwise Balanced Design , PBD) [3] . Andra kombinatoriska scheman är relaterade till eller baserade på de scheman som anges.

Ett balanserat ofullständigt blockdiagram (BIBD), kallat blockdiagram för korta , är en uppsättning B av b delmängder (kallade block ) av en ändlig uppsättning X av v element, så att alla element i uppsättningen X finns i vissa antal r block, varje block har samma antal element (= k ) och varje par av distinkta element förekommer i samma antal ( ) block [2] . BIBD-kretsar är också kända som 2-kretsar och kallas ofta för kretsar. Som ett exempel, för fallet och b = v får vi ett projektivt plan - X i detta fall är uppsättningen av punkter på planet, och blocken är raka linjer. $=\lambda$ $2-(v,k,\lambda )$ $\lambda=1$
Symmetric Balanced Incomplete Block Design eller SBIBD (en: Symmetric Balanced Incomplete Block Design) är en BIBD där v = b (antalet punkter är lika med antalet block). Detta är den viktigaste och mest välstuderade underklassen av BIBD. Projektiva plan, biplan och Hadamard 2-scheman är SBIBD-scheman. Dessa system är av intresse som extrema exempel på Fishers ojämlikhet ( ). $b\geqslant v$
Ett lösbart balanserat ofullständigt blockdiagram är ett BIBD vars block kan delas upp i uppsättningar (kallade parallella klasser ), som var och en bildar en BIBD [2] punktdelning . Uppsättningen av parallella klasserkallas schemaupplösning . Lösningen på det berömda problemet med 15 elever är BIBD-upplösningen med v = 15, k = 3 och [4] . $\lambda=1$
Den latinska rektangeln är enr × n( r ≤ n)matrissom har som element talen 1, 2, 3, ..., n(eller någon annan uppsättning avnolika tecken) i vilken inget tal förekommer två gånger i valfri rad eller kolumn. En latinskrektangelmed måttenn × nkallaslatinsk kvadrat. Omr < n, då kan man lägga tilln − rrader till enr × nför att bilda en latinsk kvadrat med hjälp avHalls vigselsats [5] .

Vi säger att två latinska kvadrater av ordningen n är ortogonala om mängden av alla ordnade par som består av motsvarande element av två kvadrater består av n 2 olika par (det vill säga alla möjliga ordnade par förekommer). En uppsättning latinska rutor av samma ordning bildar en uppsättning ömsesidigt ortogonala latinska rutor (en: Mutually Orthogonal Latin Squares, MOLS) om något par latinska rutor i uppsättningen är ortogonala. Det kan vara högst n − 1 rutor i en sådan uppsättning kvadrater av ordningen n . Mängden n − 1 MOLS kvadrater av ordningen n kan användas för att konstruera ett projektivt plan av ordningen n (och vice versa).

Skillnadsmängden är endelmängdDav gruppenGav ordningenv, medstorlekenkGinte är lika med ettkan representeras som en produkt avd1d2−1element avDpå exakt sammasätt (omGrepresenteras av multiplikationsoperationen) [6] . $(v,k,\lambda )$ $\lambda$

Om D är en differensmängd och g tillhör G , så är det också en differensmängd och kallas en translation av mängden D . Mängden överföringar av skillnadsmängden D bildar ett symmetriskt blockdiagram . Ett sådant schema har v- element och v -block. Varje block i schemat består av k punkter, varje punkt finns i k block. Alla två block har exakt samma element, och två valfria punkter visas tillsammans i block. Detta schema SBIBD kallas utvecklingen av uppsättningen D [7] .

g\mathbf {D} ={gd\colon d\in \mathbf {D} }

\lambda

\lambda

I synnerhet om , bildar skillnadsmängden ett projektivt plan . Till exempel är en skillnadsmängd (7,3,1) över en grupp ( en Abelisk grupp med additiv notation) en delmängd av {1,2,4}. Utvecklingen av denna skillnadsuppsättning ger Fano-planet .

\lambda=1

\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}

Eftersom varje skillnadsuppsättning ger SBIBD, måste parameteruppsättningen uppfylla Brook-Reiser-Chowl-satsen , men inte varje SBIBD-schema ger en skillnadsuppsättning.

En Hadamard-matris av ordningen m är en m × m -matris H med element ±1 så att HH ⊤ = m E m , där H ⊤ är transponeringen av H och Em är m × m identitetsmatrisen . Hadamard-matrisen kan reduceras till en standardiserad form (det vill säga konverteras till motsvarande Hadamard-matris) där posterna i första raden och första kolumnen är +1. Om ordningen m > 2 måste m vara delbar med 4.

Givet en Hadamard-matris av ordningen 4a i standardiserad form, ta bort den första raden och den första kolumnen och ersätt sedan alla −1 med 0. Den resulterande 0–1-matrisen M är incidensmatrisen för en symmetrisk krets, kallad en Hadamard 2-krets [8] . Denna konstruktion är reversibel, så att incidensmatrisen för en symmetrisk 2-krets med dessa parametrar kan användas för att erhålla en Hadamard-matris av storleksordningen 4a . I fallet a = 2 får vi det redan bekanta Fano-planet (som ett Hadamard 2-schema).

2-(4a-1,2a-1,a-1)

En parvis balanserad design (sv: Pairwise Balanced Design, PBD) är en uppsättning X tillsammans med en familj av delmängder av X (inte nödvändigtvis av samma storlek och delmängderna kan vara samma), så att alla par av distinkta element från X ingår i exakt (ett positivt antal) av delmängder . En uppsättning X tillåts vara en del av en familj, och om alla delmängder är kopior av en uppsättning X sägs PBD-schemat vara trivialt . Storleken på mängden X är v , och antalet delmängder i familjen (identiska delmängder räknas separat) är b . $\lambda$

Fishers ojämlikhet för PBD-scheman är uppfylld [9] — för alla icke-triviala PBD-scheman, .

v\leqslant b

Detta resultat generaliserar den berömda de Bruijn-Erdős-satsen - för alla PBD-scheman med , som inte har block av storlek 1 eller v , är sant , och likheten gäller om och endast om schemat är ett projektivt plan eller nästan en kärve [10] .

\lambda=1

v\leqslant b

Andra kombinatoriska scheman

Handbook of Combinatorial Designs av Colbourne och Dinitz [11] innehåller bland annat 65 kapitel om andra kombinatoriska mönster än de som ges ovan. En dellista ges nedan.

Relationsscheman
Balanserad ternär design (sv: Balanced Ternary Design) är ett arrangemang av V - element i B - multiuppsättningar (block, kardinaliteten för varje uppsättning är K ( K ≤ V )), som uppfyller villkoren: $BTD(V,B;\rho _{1},\rho _{2},R;K,\Lambda )$

Varje element visas en gång med en multiplicitet av 1 (1 instans i multisetet) exakt i block, och med en multiplicitet av 2 exakt i block. ${\displaystyle R=\rho _{1}+2\rho _{2))$ $\rho_{1}$ $\rho _{2}$
Varje par av olika element visas en gång (med hänsyn till mångfalden). Det vill säga, om m vb är multipliciteten av element v i block b , då för vilket par av olika element v och w som helst . $\lambda$ $\sum _{b=1}^{B}m_{vb}m_{wb}=\Lambda$

Till exempel är ett av de två icke-isomorfa scheman BTD(4,8;2,3,8;4,6) (kolumner fungerar som block) [12]

ett	ett	ett	2	2	3	ett	ett
ett	ett	ett	2	2	3	2	2
2	3	fyra	3	fyra	fyra	3	3
2	3	fyra	3	fyra	fyra	fyra	fyra

Incidensmatrisen för ett BTD-schema (vars element är multipliciteter av element i block) kan användas för att bilda ternära felkorrigerande koder på ett liknande sätt som konstruktionen av binära koder från incidensmatriserna för BIBD-scheman [13] .

En balanserad turneringskrets av ordningenn(BTD(n)) är placeringen av alla distinkta oordnade par av en2n-uppsättningVn × (2narray så att

varje element av V visas exakt en gång i varje kolumn
varje element i mängden V visas högst två gånger i varje rad.

BTD(3) Schema Exempel

16	3 5	2 3	4 5	24
25	4 6	fjorton	13	3 6
3 4	12	5 6	26	femton

Kolumnerna i schemat BTD( n ) ger en 1-faktorisering av hela grafen med 2 n hörn, K 2n [14] . BTD( n )-scheman kan användas för att schemalägga round robin-turneringar - rader representerar platser, kolumner representerar turer (rundor, cirklar), och bordsposter definierar spelare eller lag.

Böjda funktioner
Arrays av Costas
Fullständiga faktorexperiment
Frekvenskvadraten ( F -kvadrat) är en generalisering av den latinska kvadraten . Låt S = { s 1 , s 2 , ..., s m } vara en uppsättning av olika symboler och vara en frekvensvektor av positiva tal. En frekvenskvadrat av ordningen n är en n × n -matris där varje tecken si förekommer gånger ( i = 1,2,...,m) i varje rad och varje kolumn . Frekvenskvadraten har en standardform om elementen s i föregår s j i första raden och första kolumnen för i < j . $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m})$ $(n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{m})$ $\lambda _{i}$

En frekvenskvadrat F 1 av ordningen n över en mängd { s 1 , s 2 , ..., s m } med en frekvensvektor och en frekvenskvadrat F 2 också av ordningen n över en mängd med en frekvensvektor är ortogonala om någon finns ordnat par ( s i , t j ) visas exakt en gång när F 1 och F 2 överlappar varandra.

(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m})

{\displaystyle \{t_{1},t_{2},...,t_{k}\))

(\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{k})

{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j))

Hall Triple Systems (HTS) är Steiner Triple Systems (STS) (där block kallas linjer ) med egenskapen att understrukturen som bildas av skärningen av två linjer är isomorf till det finita affina planet AG(2 ,3).

Varje affint utrymme AG( n ,3) ger ett exempel på ett HTS-schema, sådana scheman kallas affint HTS. Icke-affina HTS-system finns också. Antalet poäng i HTS-schemat är 3 m för något heltal . Icke-affina HTS-scheman finns för alla och existerar inte för eller 3 [15] .

m\geqslant 2

m\geqslant 4

m=2

Alla Steiner-trippelsystem är likvärdiga med en Steiner -kvasigrupp ( idempotent , kommutativ och gäller för alla x och y ). Systemet med Hall-trippel är ekvivalent med en Steiner-kvasigrupp med den fördelande egenskapen , det vill säga det gäller för alla a,x,y i kvasigruppen [16] .

(xy)y=x

a(xy)=(ax)(ay)

Låt S vara en uppsättning av 2n element. Howell-schemat , H( s ,2 n ) (på teckenuppsättningen S ) är en s × s -matris så att:

Varje arraycell är antingen tom eller innehåller ett oordnat par från S ,
Varje tecken visas exakt en gång i varje rad och varje kolumn i arrayen,
Varje oordnat par visas i högst en arraycell.

Schemaexempel H(4,6)

0 4		13	25
2 3	fjorton	0 5
	3 5	24	0 1
femton	0 2		3 4

H(2 n − 1, 2 n ) är Rums kvadrat med sidan 2 n − 1, så Howells scheman generaliserar begreppet Rums kvadrater. Symbolparen i cellerna i Howell-diagrammet kan ses som kanter s av en vanlig graf med 2n hörn, vilket kallas huvudgrafen i Howell-diagrammet. Howells cykliska scheman används som Howells rörelser (spelavslutande schema) i dubbelbrygga- turneringar . Raderna i diagrammet representerar rundorna (cirklarna), kolumnerna representerar rutorna (med erbjudanden förberedda i förväg, se "Bron - förberedelser för spelet" ), och diagonalerna representerar tabellerna [17] .

Linjära utrymmen
Ett lottoschema ( n , k , p , t ) är en uppsättning V av n element tillsammans med en uppsättning av k -elementdelmängder (block) så att det för varje delmängd P som består av p element av uppsättningen V finns ett block B i , för vilket . L( n , k , p , t ) betyder det minsta antalet block i något lottoschema ( n , k , p , t ). Lottoschema (7,5,4,3) med minsta möjliga antal block [18] : $\beta$ $\beta$ $|P\cap B|\geqslant t$

{1,2,3,4,7} {1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}. Lottoschemat modellerar vilket lotteri som helst med följande regler: En spelare köper lotter som innehåller k nummer, valda från en uppsättning som innehåller n nummer. Vid någon tidpunkt stannar biljettförsäljningen och en slumpmässig uppsättning av p- nummer som ingår i den ursprungliga uppsättningen av n nummer väljs. Dessa är de vinnande siffrorna . Om den sålda biljetten innehåller t eller fler vinnande nummer, ges priset till biljettinnehavaren. Ju fler matcher, desto högre vinst. Siffran L( n , k , p , t ) är av intresse för både spelare och forskare eftersom det representerar det minsta antalet biljetter som måste köpas för att garantera en vinst. Det ungerska lotteriet är ett lottosystem (90,5,5, t ) och det är känt att L(90,5,5,2) = 100. Lotterier med parametrar (49,6,6, t ) är populära överallt världen och är kända , att L(49,6,6,2) = 19. I allmänhet är dessa siffror svåra att beräkna och förblir okända [19] . Den geometriska konstruktionen av ett av dessa system ges i artikeln " Transylvanian Lottery ".

magiska rutor
Ett Mendelssohn-schema ( ) är en uppsättning V av v element och en uppsättning ordnade k - tuplar av distinkta element i mängden V (kallade block ) så att varje ordnat par ( x , y ) av element från V ( x ≠ y ) är cykliskt angränsande i block ( ett ordnat par ( x , y ) av distinkta element är cykliskt angränsande i ett block om elementen visas sida vid sida i blocket - antingen (..., x , y ,...) eller ( y ,..., x )). Systemet är ett system av Mendelssohn-trippel , betecknat MTS . MTS(4,1) exempel över V = {0,1,2,3}: $(\mathbf {v} ,\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\lambda )))$ $MD(\mathbf {v} ,\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\lambda )))$ $\beta$ $\lambda$ $MD(\mathbf {v} ,\mathbf {3} ,{\boldsymbol {\lambda )))$ $(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\lambda )))$

(0.1.2) (1.0.3) (2.1.3) (0.2.3) Alla system av trippel kan konverteras till ett Mendelssohn-trippelsystem genom att ersätta den oordnade trippeln { a , b , c } med ett par ordnade trippel ( a , b , c ) och ( a , c , b ), men det omvända är inte sant, som exemplet visar. Låt ( Q ,∗) vara en idempotent semisymmetrisk kvasigrupp , dvs. x ∗ x = x (idempotent) och x ∗ ( y ∗ x ) = y (semisymmetrisk) gäller i den för alla x , y från Q . Låt . Sedan är ett system av Mendelssohn tredubblar MTS(| Q |,1). Denna konstruktion är reversibel [20] .

{\displaystyle \beta =\{(x,y,x\ast y)\kolon x,y\i Q\))

(Q,\beta )

Ortogonala tabeller
En kvasi-3-krets är en symmetrisk krets (SBIBD) där varje blocktrippel skär varandra vid antingen x- eller y - punkter för fasta x- och y -tal , kallade trippelskärningstalen ( x < y ). Varje symmetrisk krets med är en kvasi-3 krets med och . Punkt-hyperplan-schemat för geometrin PG ( n , q ) är ett kvasi-3-schema med och . Om för en kvasi-3-krets är kretsen isomorf till PG ( n , q ) eller det projektiva planet [21] . $\lambda \leqslant 2$ $x=0$ $y=1$ $x=(q^{n-2}-1)/(q-1)$ $y=\lambda =(q^{n-1}-1)/(q-1)$ $y=\lambda$
En krets är kvasisymmetrisk med skärningsnummer x och y ( x < y ) om två distinkta block har antingen x- eller y- punkter i sin skärningspunkt. Dessa system uppstår naturligt i studiet av dubbla system med . En icke-symmetrisk krets ( b > v ) 2-( v , k ,1) är kvasisymmetrisk med x = 0 och y = 1. Multipel (block upprepas ett visst antal gånger) symmetriska 2 -kretsar är kvasi- symmetrisk med och y = k . Hadamard 3-scheman (en förlängning av Hadamard 2-scheman ) är kvasisymmetriska [22] . $Dt-(v,k,\lambda )$ $\lambda=1$ $(v,k,\lambda )$ $x=\lambda$

Alla kvasisymmetriska blockdiagram genererar en starkt regelbunden graf (som dess blockgraf ), men inte alla SRG-kretsar genereras på detta sätt [23] . Incidensmatrisen för en kvasisymmetrisk krets 2- med k ≡ x ≡ y (mod 2) bildar en binär självortogonal kod [24] .

(v,k,\lambda )

Squares of Rom
En sfärisk design är en ändlig uppsättningXav punkter på en (d − 1)-dimensionellsfärså att, för något heltalt, medelvärdet avpolynometX

f(x_{1},\ldots ,x_{d})\

med en grad som inte överstiger t är det lika med medelvärdet av f över hela sfären (det vill säga integralen av funktionen f dividerat med sfärens area).

Turan system
Den toskanska r × n k -rektangeln över n tecken har r rader och n kolumner, med

varje rad är en permutation av n tecken
för två distinkta tecken a och b , och för varje nummer m från 1 till k , finns det högst en rad där b är m steg till höger om a .

Om r = n och k = 1, kallas scheman toskanska kvadrater , medan de i fallet med r = n och k = n -1 kallas florentinska kvadrater . Ett romerskt torg är ett toskanskt torg som också är ett latinskt torg (sådana torg är också kända som radfullständiga latinska torg ). Vatikanstorget är ett florentinskt torg, som också är ett latinskt torg. Ett exempel på en toskansk 1-ruta på 7 tecken som inte är en 2-ruta [25] :

6	ett	5	2	fyra	3	7
2	6	3	5	fyra	7	ett
5	7	2	3	ett	fyra	6
fyra	2	5	ett	6	7	3
3	6	2	ett	7	fyra	5
ett	3	2	7	5	6	fyra
7	6	5	3	fyra	ett	2

En toskansk kvadrat på n symboler motsvarar en nedbrytning av kompletta grafer med n hörn till n Hamiltonska orienterade banor [26] .

En t-faldig balanserad krets (eller t BD) av typen t - är en uppsättning X av v element tillsammans med en familj av delmängder av X (kallade block ) vars storlekar ingår i en uppsättning K så att varje t -delmängd av distinkta element i X finns exakt i block. Om K är en uppsättning positiva heltal strikt mellan t och v , så kallas schemat t BD korrekt . Om alla k -delmängder av X för vissa k är block, så kallas schemat t BD trivialt [27] . $(v,K,\lambda )$ $\lambda$

Observera att i exemplet 3-{12,{4,6},1)-scheman på uppsättningen X = {1,2,...,12}, visas vissa par fyra gånger (till exempel, paret {1, 2}), medan andra visas fem gånger (till exempel paret {6,12}) [28] . 1 2 3 4 5 6 1 2 7 8 1 2 9 11 1 2 10 12 3 5 7 8 3 5 9 11 3 5 10 12 4 6 7 8 4 6 9 11 4 6 10 12 7 8 9 10 11 12 2 3 8 9 2 3 10 7 2 3 11 12 4 1 8 9 4 1 10 7 4 1 11 12 5 6 8 9 5 6 10 7 5 6 11 12 3 4 9 10 3 4 11 8 3 4 7 12 5 2 9 10 5 2 11 8 5 2 7 12 1 6 9 10 1 6 11 8 1 6 7 12 4 5 10 11 4 5 7 9 4 5 8 12 1 3 10 11 1 3 7 9 1 3 8 12 2 6 10 11 2 6 7 9 2 6 8 12 5 1 11 7 5 1 8 10 5 1 9 12 2 4 11 7 2 4 8 10 2 4 9 12 3 6 11 7 3 6 8 10 3 6 9 12

En ofullständig latinsk kvadrat är en k × v rektangulär array ( k < v ) v med tecken så att varje tecken förekommer exakt en gång i varje rad och tecknen som förekommer i valfri kolumn bildar block i en symmetrisk krets , vars alla block förekommer exakt en gång . En ofullständig latinsk kvadrat är en latinsk rektangel. Termen "kvadrat" i titeln kommer från en äldre definition som använde en kvadratisk array [29] . Ett exempel på en ofullständig latinsk 4×7 kvadrat: $(v,k,\lambda )$

ett	2	3	fyra	5	6	7
2	3	fyra	5	6	7	ett
3	fyra	5	6	7	ett	2
5	6	7	ett	2	3	fyra

Sju block (kolumner) bildar ett biplan av ordning 2 (symmetriskt schema (7,4,2)).

Anteckningar

↑ Stinson, 2003 , sid. ett.
↑ 1 2 3 Rybnikov, 1972 , sid. 130.
↑ Stinson, 2003 , sid. IX.
↑ Beth, Jungnickel, Lenz, 1999 , sid. 40 Exempel 5.8.
↑ Ryser, 1963 , sid. 52 Sats 3.1.
↑ Om G är en abelsk grupp (eller skrivs med en additionsoperation) har definitionen formen d 1 –d 2 , från vilken termen skillnadsmängd uppstod .
↑ Beth, Jungnickel, Lenz, 1999 , sid. 262 Sats 1.6.
↑ Stinson, 2003 , sid. 74 Sats 4.5.
↑ Stinson, 2003 , sid. 193 Sats 8.20.
↑ Stinson, 2003 , sid. 183, sats 8.5.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 .
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 331 Exempel 2.2.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 331 Anmärkning 2.8.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 333, Anmärkning 3.3.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 496 Sats 28.5.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 497 Sats 28.15.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 503 Anmärkning 29.38.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 512 Exempel 32.4.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 512, Anmärkning 32.3.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 530 Sats 35,15.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 577 Sats 47,15.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 578-579.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 579 Sats 48.10.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 580 Lemma 48,22.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 652 Exempel 62.4.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 655 Sats 62,24.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 657.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 658 Exempel 63.5.
↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , sid. 669 Anmärkning 65.3.

Litteratur

Rybnikov K.A. Introduktion till kombinatorisk analys. - Moscow State University, 1972.
Tarannikov Yu. V. Kombinatoriska egenskaper hos diskreta strukturer och tillämpningar för kryptologi. - MTSNMO, 2011. - ISBN 978-5-94057-812-3 .
Hall M. Combinatorics. - MIR, 1966.
Assmus EF, Key JD Designs och deras koder. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - ISBN 0-521-41361-3 .
Beth T., Jungnickel D., Lenz H. Design Theory. - Cambridge: Cambridge University Press , 1999. - ISBN 978-0-521-44432-3 .
Bose RC En anteckning om Fishers ojämlikhet för balanserade ofullständiga blockdesigner // Annals of Mathematical Statistics . - 1949. - S. 619-620 .
Caliński T., Kageyama S. Blockdesigner: A Randomization approach, Volym II : Design. - New York: Springer-Verlag, 2003. - Vol 170. - (Lecture Notes in Statistics). — ISBN 0-387-95470-8 .
Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H. Handbook of Combinatorial Designs. — 2:a. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
Fisher RA En undersökning av de olika möjliga lösningarna på ett problem i ofullständiga block // Annals of Eugenics . - 1940. - T. 10 . — S. 52–75 .
Hall Marshall Jr. kombinatorisk teori. — 2:a. - New York: Wiley-Interscience, 1986. - ISBN 0-471-09138-3 .
Hughes DR, Piper EC Design theory . - Cambridge: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25754-9 .
Lander ES Symmetric Designs: An Algebraic Approach. — Cambridge: Cambridge University Press, 1983.
Lindner CC, Rodger CA Design Theory . - Boca Raton: CRC Press, 1997. - ISBN 0-8493-3986-3 .
Raghavarao D. Konstruktioner och kombinatoriska problem vid design av experiment. — korrigerad nytryck av 1971 års Wiley. — New York: Dover, 1988.
Raghavarao D., Padgett LV Block Designs: Analysis, Combinatorics and Applications. — World Scientific, 2005.
Ryser Herbert John. Kapitel 8: Combinatorial Designs // Combinatorial Mathematics (Carus Monograph #14). — Mathematical Association of America, 1963.
Shrikhande SS, Vasanti NB-N. Icke-isomorfa lösningar av några balanserade ofullständiga blockdesigner I – // Journal of Combinatorial Theory . — 1970.
Stinson Douglas R. Combinatorial Designs: Constructions and Analysis. - New York: Springer, 2003. - ISBN 0-387-95487-2 .
Street Anne Penfold, Street Deborah J. Combinatorics of Experimental Design. - Oxford UP [Clarendon], 1987. - S. 400+xiv. — ISBN 0-19-853256-3 .
van Lint, JH och R.M. Wilson. En kurs i kombinatorik. — Cambridge, Eng.: Cambridge University Press, 1992.