Magisk kvadrat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 april 2022; kontroller kräver 19 redigeringar .

Magi , eller magisk kvadrat - en kvadrat fylld med olika siffror på ett sådant sätt att summan av talen i varje rad, varje kolumn och på båda diagonalerna är densamma. Om summan av siffror endast i rader och kolumner är lika i en kvadrat, kallas det semimagic . En normal kvadrat är en magisk kvadrat fylld med naturliga tal från till . En magisk kvadrat kallas associativ eller symmetrisk om summan av två siffror som ligger symmetriskt runt kvadratens mitt är lika med . $n\ gånger n$ $n^{2}$ $ett$ $n^{2}$ $n^{2}+1$

Normala magiska rutor finns för alla beställningar utom för , även om fallet är trivialt - kvadraten består av ett enda nummer. Det minimala icke-triviala fallet visas nedan, det har ordning 3. $n\geq 1$ $n=2$ $n=1$

		3	9	åtta	$\höger pil$	femton
		tio	6	2	$\höger pil$	femton
		5	fyra	9	$\höger pil$	femton
	$\swarrow$	$\nedåtpil$	$\nedåtpil$	$\nedåtpil$	$\searrow$
femton		femton	femton	femton		femton

Summan av talen i varje rad, kolumn och diagonal kallas den magiska konstanten , M. Den magiska konstanten för en normal magisk kvadrat beror endast på n och ges av

M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2))

Varför är det så?

Låt det vara en kvadrat med en sida Då blir det siffror i den. $n.$ $n^{2}$

Å ena sidan summan av siffror $S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).$

Å andra sidan, $S=nM.$

Genom att likställa får vi den önskade formeln.

De första värdena för de magiska konstanterna ges i följande tabell (sekvens A006003 i OEIS ):

Ordning $n$	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13
$M(n)$	femton	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

4+5+6 = 15

7+8+9+10 = 34

11+12+15+16+17 = 65

18+19+20+21+22+23 = 111

24+25+26+27+28+29+30 = 175

Historiskt betydelsefulla magiska rutor

Lo Shu Square

Lo Shu ( kinesiska trad. 洛書, ex. 洛书, pinyin luò shū ) Den enda normala 3×3 magiska kvadraten. Det var känt i det antika Kina , den första bilden på ett sköldpaddsskal går tillbaka till 2200 f.Kr. e.

5	tio	3
fyra	6	åtta
9	2	7

I den västeuropeiska traditionen kallas detta torg Saturnus sigill (Sigillum Saturni). Kvadratparametrar: 3, 9, 15, 45 (3x3, 9 celler, summan i alla riktningar är 15, summan av alla tal i kvadraten är 45). [ett]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Fyrkant hittad i Khajuraho (Indien)

Det tidigaste unika magiska torget finns i en inskription från 1000-talet i den indiska staden Khajuraho :

7	12	ett	fjorton
2	13	åtta	elva
16	3	tio	5
9	6	femton	fyra

Detta är den första magiska kvadraten som tillhör variationen av de så kallade "djävuls"-rutorna [2] .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Yang Huis magiska kvadrat (Kina)

På XIII-talet. matematikern Yang Hui tog upp problemet med metoder för att konstruera magiska rutor. Hans forskning fortsatte sedan av andra kinesiska matematiker. Yang Hui ansåg magiska rutor inte bara av den tredje, utan också av högre ordning. Vissa av hans rutor var ganska komplicerade, men han gav alltid regler för att konstruera dem. Han lyckades konstruera en magisk kvadrat av sjätte ordningen, och den senare visade sig vara nästan associativ (endast två par centralt motsatta tal i den summerar inte till 37) [3] :

27	29	2	fyra	13	36
9	elva	tjugo	22	31	arton
32	25	7	3	21	23
fjorton	16	34	trettio	12	5
28	6	femton	17	26	19
ett	24	33	35	åtta	tio

Summan av alla 36 siffror är 666

666: 6 = 111

Albrecht Dürers torg

Den 4x4 magiska fyrkanten som avbildas i Albrecht Dürers gravyr " Melancholia I " anses vara den tidigaste inom europeisk konst [4] . De två mittersta siffrorna i den nedre raden anger datumet då gravyren skapades ( 1514 ).

17	fyra	3	fjorton
6	12	13	9
tio	åtta	9	13
5	17	16	2

Summan av talen på alla horisontella, vertikala och diagonala är 34. Denna summa förekommer också i alla hörnrutor 2×2, i den centrala kvadraten (10+11+6+7), i kvadraten av hörnceller (16+) 13+4+1 ), i rutorna byggda av "riddarens drag" (2+12+15+5 och 3+8+14+9), i rektanglarnas hörn parallella med diagonalerna (2+8+ 15+9 och 3+12+14+5 ), i rektanglar bildade av par av mittceller på motsatta sidor (3+2+15+14 och 5+8+9+12). De flesta ytterligare symmetrier beror på det faktum att summan av två centralt symmetriska tal är 17.

Denna kvadrat är "Jupiters sigill" (Sigillum Iouis), har parametrar: 4, 16, 34, 136 (storlek 4x4, 16 celler, summan av riktningarna är 34, summan av alla siffror är 136). [ett]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Magiska rutor av Athanasius Kircher [1]

Mars Square

Mars kvadrat eller sigill (Sigillum Martis) har följande parametrar: 5, 25, 65, 325 (storlek 5x5, 25 celler, summan av riktningarna är 65, summan av alla tal är 325).

12	25	åtta	21	fyra
5	13	26	9	17
arton	6	fjorton	22	tio
elva	19	2	femton	23
24	7	tjugo	3	16

325 : 5 = 65

Solens kvadrat

Solens sigill (Sigillum Solis) har följande parametrar: 6, 36, 111, 666 (storlek 6x6, 36 celler, summan i riktningarna är 111, summan av alla tal är 666).

6	32	3	34	35	ett
7	elva	27	28	åtta	trettio
19	fjorton	16	femton	23	24
arton	tjugo	22	21	17	13
25	29	tio	9	26	12
36	5	33	fyra	2	31

666: 6 = 111

Venus Square

Venus sigill (Sigillum Veneris) har följande parametrar: 7, 49, 175, 1225 (storlek 7x7, 49 celler, summan av riktningarna är 175, summan av alla siffror är 1225).

22	47	16	41	tio	35	fyra
5	23	48	17	42	elva	29
trettio	6	24	49	arton	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	fjorton	32	ett	26	44	tjugo
21	39	åtta	33	2	27	45
46	femton	40	9	34	3	28

1225: 7 = 175

Kvicksilver kvadrat

Merkurius sigill (Sigillum Mercurio) har parametrarna: 8, 64, 260, 2080 (storlek 8x8, 64 celler, summan av riktningarna är 260, summan av alla siffror är 2080).

åtta	58	59	5	fyra	62	63	ett
49	femton	fjorton	52	53	elva	tio	56
41	23	22	44	45	19	arton	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	trettio	31	33
17	47	46	tjugo	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	femtio	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080: 8 = 260

Månens kvadrat

Månens sigill (Sigillum Lune) har följande parametrar: 9, 81, 369, 3321 (storlek 9x9, 81 celler, summan av riktningarna är 369, summan av alla tal är 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	trettio	71	22	63	fjorton	46
47	7	39	80	31	72	23	55	femton
16	48	åtta	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	arton	femtio	ett	42	74	34	66
67	27	59	tio	51	2	43	75	35
36	68	19	60	elva	52	3	44	76
77	28	69	tjugo	61	12	53	fyra	45

3321: 9 = 369

Squares av Henry E. Dudeney och Allan W. Johnson Jr.

Om en icke strikt naturlig serie av tal läggs in i en n × n kvadratmatris , då är denna magiska kvadrat icke -traditionell . Nedan finns två sådana magiska rutor fyllda med primtal (även om 1 inte anses vara ett primtal i modern talteori). Den första har ordningen n=3 (Dudeneys kvadrat); den andra ( 4x4 i storlek ) är en Johnson square. Båda utvecklades i början av 1900-talet [5] :

68	2	44
fjorton	38	62
32	74	åtta

fyra	62	tjugo	40
44	32	fyra	42
åtta	12	74	trettio
68	arton	24	femton

Det finns flera andra liknande exempel:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

ett	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	elva	787	769	773	419	149	751

Den sista kvadraten, byggd 1913 av J. N. Munsey, är anmärkningsvärd genom att den består av 143 på varandra följande primtal, med undantag av två punkter: en enhet är inblandad, som inte är ett primtal, och det enda jämna primtal 2 används inte.

Rutor med ytterligare egenskaper

Pandiagonal magisk kvadrat

En pandiagonal eller djävulens kvadrat är en magisk kvadrat där summan av siffror längs brutna diagonaler (diagonaler som bildas när en kvadrat viks till en torus ) i båda riktningarna också sammanfaller med en magisk konstant .

Det finns 48 4x4 djävulsrutor i standardformen Frenicle - upp till rotationer och reflektioner. Den pandiagonala kvadraten behåller egenskaper när rader eller kolumner raderas parallellt . Därför kan enheten flyttas till det övre vänstra hörnet. Det finns 12 sådana pandiagonala rutor i planet. De ges nedan:

ett	åtta	tio	femton
fjorton	elva	5	fyra
7	2	16	9
12	13	3	6

ett	åtta	tio	femton
12	13	3	6
7	2	16	9
fjorton	elva	5	fyra

ett	12	7	fjorton
femton	6	9	fyra
tio	3	16	5
åtta	13	2	elva

ett	fjorton	7	12
femton	fyra	9	6
tio	5	16	3
åtta	elva	2	13

ett	åtta	13	12
femton	tio	3	6
fyra	5	16	9
fjorton	elva	2	7

ett	åtta	13	12
fjorton	elva	2	7
fyra	5	16	9
femton	tio	3	6

ett	12	13	åtta
fjorton	7	2	elva
fyra	9	16	5
femton	6	3	tio

ett	12	13	åtta
femton	6	3	tio
fyra	9	16	5
fjorton	7	2	elva

ett	åtta	elva	fjorton
femton	tio	5	fyra
6	3	16	9
12	13	2	7

ett	åtta	elva	fjorton
12	13	2	7
6	3	16	9
femton	tio	5	fyra

ett	fjorton	elva	åtta
femton	fyra	5	tio
6	9	16	3
12	7	2	13

ett	12	6	femton
fjorton	7	9	fyra
elva	2	16	5
åtta	13	3	tio

På torus motsvarar varje fyra av dessa rutor en ruta. Detta beror på att om du skär torusen, med utgångspunkt från enhetscellen som ett hörn, kan detta göras på fyra sätt, genom att tilldela vart och ett av de fyra hörnen av enhetscellen vinkeln på en platt kvadrat. Därför finns det bara 3 pandiagonala rutor på torusen, vilken som helst av de fyra som motsvarar den kan användas för att avbilda en torisk fyrkant på ett plan.

Pandiagonala kvadrater finns för udda ordning n>3, för alla dubbelparitetsordningar n=4k (k=1,2,3...) och finns inte för enkel paritetsordning ( ). $n=4k+2$ $k=1,2,3,\dots$

Pandiagonala kvadrater av fjärde ordningen har ett antal ytterligare egenskaper för vilka de kallas perfekta . Perfekta rutor av udda ordning finns inte. Bland pandiagonala kvadrater med dubbel paritet över 4 finns perfekta [6] .

Pandiagonala rutor av femte ordningen 3600 . Inklusive toriska parallella översättningar finns det 144 olika pandiagonala kvadrater. En av dem visas nedan.

ett	femton	24	åtta	17
9	arton	2	elva	25
12	21	tio	19	3
tjugo	fyra	13	22	6
23	7	16	5	fjorton

Om den pandiagonala kvadraten också är associativ, så kallas den ideal [7] . Ett exempel på en perfekt magisk fyrkant:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	tio	51	58	arton	47	57	fjorton	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
fyra	45	74	3	41	79	åtta	37	78
53	55	femton	49	63	elva	48	59	16
trettio	68	25	35	64	24	31	72	tjugo
76	9	38	75	5	43	80	ett	42
17	46	60	13	54	56	12	femtio	61

Det är känt att det inte finns några ideala magiska kvadrater av ordningen n = 4k+2 och ingen kvadrat av ordningen n = 4 . Samtidigt finns det perfekta kvadrater av ordningen n = 8 . Genom att använda metoden för att konstruera sammansatta kvadrater är det möjligt att konstruera, på basis av en given kvadrat av åttonde ordningen, ideala kvadrater av ordningen n = 8k, k=5,7,9... och ordningen n = 8^p, p=2,3,4... Under 2008 utvecklades en kombinatorisk metod som konstruerade perfekta kvadrater av ordningen n = 4k, k = 2, 3, 4,...

Konstruktion av magiska rutor

Terrassmetoden

Beskrivs av Yu. V. Chebrakov i The Theory of Magic Matrices .

För ett givet udda n, rita en n gånger n kvadratisk tabell. Vi kommer att fästa terrasser (pyramider) till detta bord på alla fyra sidor. Som ett resultat får vi en stegad symmetrisk figur.

$Y$
fyra						5
3					fyra		tio
2				3		9		femton
ett			2		åtta		fjorton		tjugo
0		ett		7		13		19		25
-ett			6		12		arton		24
-2				elva		17		23
-3					16		22
-fyra						21
.
	$X$	fyra	3	2	ett	0	ett	2	3	fyra

Börja från vänster hörn på den stegade figuren, fyll dess diagonala rader med på varandra följande naturliga tal från 1 till . $N^2$

Därefter, för att erhålla en klassisk matris av N:te ordningen, placeras numren i terrasserna på de platser i tabellen NxN där de skulle vara om de flyttades tillsammans med terrasserna tills terrassernas baser gränsar till motsatt sida av bordet.

$Y$
fyra
3
2				3	16	9	22	femton
ett				tjugo	åtta	21	fjorton	2
0				7	25	13	ett	19
-ett				24	12	5	arton	6
-2				elva	fyra	17	tio	23
-3
-fyra
.
	$X$	-fyra	-3	-2	-ett	0	ett	2	3	fyra

3	16	9	22	femton
tjugo	åtta	21	fjorton	2
7	25	13	ett	19
24	12	5	arton	6
elva	fyra	17	tio	23

Dessutom är den här metoden också sann om den magiska kvadraten inte behöver bestå av siffror från 1 till N, utan också från K till N, där 1 <= K< N.

Andra sätt

Reglerna för att konstruera magiska rutor delas in i tre kategorier, beroende på om kvadratens ordning är udda, lika med två gånger ett udda tal eller lika med fyra gånger ett udda tal. Den allmänna metoden för att konstruera alla rutor är okänd, även om olika scheman används i stor utsträckning. [8] [9] Det är möjligt att hitta alla magiska rutor av ordning endast för , därför särskilda procedurer för att konstruera magiska rutor för . Den enklaste konstruktionen är för en magisk kvadrat av udda ordning. Du måste sätta ett tal i cellen med koordinater (där och ändra från 1 till ) (Obs: denna formel är sann för alla kvadrater av udda ordning, förutom kvadrater av formen . I dessa kvadrater, summan av talen på huvuddiagonalen är N mer än den magiska konstanten.) $n$ $n/le 4$ $n>4$ $(I j)$ $i$ $j$ $n$ $n=6k+3,k=0,1,2...$

1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n)))n+((i+2j+2){\bmod {n))).

Det är ännu lättare att konstruera konstruktionen enligt följande. En nxn-matris tas. En trappad romb är byggd inuti den. I den är cellerna från vänster och uppåt längs diagonalerna fyllda med en rad med udda tal. Värdet på den centrala cellen C bestäms. Då blir värdena i hörnen på den magiska kvadraten följande: övre högra cellen C-1 ; nedre vänstra cell C+1; nedre högra cellen Cn; övre vänstra cellen C+n. Fyllning av tomma celler i stegade hörntrianglar utförs i enlighet med enkla regler: 1) i rader ökar antalet från vänster till höger i steg om n + 1; 2) i kolumner uppifrån och ned ökar siffrorna med steget n-1.

Algoritmer för att konstruera pandiagonala rutor [10] [11] och idealiska 9x9 magiska rutor har också utvecklats. [12] [13] Dessa resultat tillåter oss att konstruera magiska rutor i perfekt ordning för . [7] [14] Det finns också allmänna metoder för att ordna perfekta magiska kvadrater av udda ordning . [15] [16] Metoder för att konstruera ideala magiska kvadrater av ordningen n=8k, k=1,2,3… [17] och perfekta magiska kvadrater har utvecklats. [18] Pandiagonala och ideala kvadrater av jämn-udda ordning kan bara kombineras om de är otraditionella. [19] [20] [21] Ändå är det möjligt att hitta nästan pandiagonala rutor [22] En speciell grupp av idealiskt perfekta magiska rutor (traditionella och icke-traditionella) [23] finns . $n=9(2k+1)$ $k=0,1,2,3,\dots$ $n>3$

Exempel på mer komplexa rutor

Magiska rutor av udda ordning och ordning av dubbel paritet har metodiskt strikt utarbetats. [24] Formaliseringen av kvadrater i ordningen enkel paritet är mycket svårare, vilket illustreras av följande scheman:

arton	24	5	6	12
22	3	9	femton	16
ett	7	13	19	25
tio	elva	17	23	fyra
fjorton	tjugo	21	2	åtta

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	femtio	16
17	47	46	tjugo	21	43	42	24
40	26	27	37	36	trettio	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	arton	48
49	femton	fjorton	52	53	elva	tio	56
åtta	58	59	5	fyra	62	63	ett

100	99	93	7	5	6	fyra	åtta	92	91
elva	89	88	84	16	femton	17	83	82	tjugo
trettio	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
femtio	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	arton	fjorton	85	86	87	13	12	90
tio	9	3	94	95	96	97	98	2	ett

Det finns dussintals andra metoder för att konstruera magiska rutor.

Chess approach

Det är känt att schack , som magiska rutor, dök upp för dussintals århundraden sedan i Indien . Därför var det inte av en slump att idén om en schackinställning till konstruktionen av magiska rutor uppstod. Denna idé uttrycktes först av Euler . Han försökte få hela magiska torget genom att kontinuerligt gå runt riddaren. Men han misslyckades med att göra detta, för i huvuddiagonalerna skilde sig summorna av siffror från den magiska konstanten. Men schacklayouten låter dig skapa vilken magisk ruta som helst. Siffrorna fylls i regelbundet och rad för rad, med hänsyn till cellernas färg.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Athanasius Kircher. Aritmologi. - ROMAE: Typographia Varesij, 1665. - S. 64-72. — 317 sid.
↑ Tillägnad Jupiter . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad från originalet 8 februari 2011. (obestämd)
↑ V. E. Eremeev " Traditional Science of China Arkivkopia daterad 25 februari 2008 på Wayback Machine " , Kapitel 5: Matematik .
↑ N. Makarova " Dürers magiska kvadratiska arkivkopia av 1 juli 2011 på Wayback Machine "
↑ A.K. Dudeni " Sifting the Numerical Sand in Search of Primes Archived September 21, 2008 at the Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Perfekta magiska rutor Arkiverad kopia av 28 april 2011 på Wayback Machine "
↑ 1 2 G. Aleksandrov " Idealiska magiska rutor , där $n=9+18k$ $k=2,3,4,\dots$ arkivkopia av 20 november 2012 på Wayback Machine "
↑ Magic Square . Encyclopedia "Circumnavigation" . Arkiverad från originalet den 12 januari 2002. (obestämd)
↑ N. Makarova " Metoder för att konstruera magiska rutor (recensionsartikel) Arkiverad kopia av 25 april 2009 på Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov " En metod för att konstruera en idealisk magisk kvadrat av udda ordning Arkiverad kopia av 29 januari 2008 på Wayback Machine "
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect panmagic Arkiverad 3 november 2012 på Wayback Machine "
- " Pandiagonal square order 4k Arkiverad 3 november 2012 på Wayback Machine "
- « Yabasic program för att konstruera en pandiagonal kvadrat av ordningen n = 4 Arkiverad 3 november 2012 på Wayback Machine »
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Square 9 x 9 Arkiverad 3 november 2012 på Wayback Machine "
- " Another Perfect 9 x 9 Square Arkiverad 3 november 2012 på Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Magiska rutor av nionde ordningens arkivexemplar av 14 april 2011 på Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Pandiagonala rutor med udda ordningsföljder av multipler av nio Arkivexemplar av 28 april 2011 på Wayback Machine "
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Squares Arkiverad 29 februari 2008 på Wayback Machine "
- " Fem exempel på perfekta 21x21 magiska rutor Arkiverade 20 november 2012 på Wayback Machine "
- « Idealiska magiska rutor av vilken udda ordning som helst n>3 Arkiverad 12 juli 2010 på Wayback Machine »
↑
N. Makarova
- " Idealiska magiska rutor. Gungbräda metod Arkiverad 28 april 2011 på Wayback Machine »
- « En metod för att konstruera perfekta magiska rutor av udda ordning med hjälp av latinska rutor Arkiverad 27 april 2011 på Wayback Machine »
↑ N. Makarova “ En metod för att konstruera perfekta kvadrater av ordningen n = 8k Arkivexemplar av 27 april 2011 på Wayback Machine ”
↑
N. Makarova
- " En metod för att konstruera perfekta magiska kvadrater från reversibles Arkiverad 27 april 2011 på Wayback Machine "
- « En metod för att konstruera perfekta magiska kvadrater med hjälp av generaliserade latinska kvadrater Arkiverad 27 april 2011 på Wayback Machine »
- " Konstruktion av perfekta magiska kvadrater med gungbrädametoden Arkiverad 28 april 2011 på Wayback Machine "
↑ E. Slkuni " Icke- traditionella 6:e ordningens pandiagonala magiska kvadrater Arkiverad 2 november 2007 på Wayback Machine "
↑
N. Makarova
- " Okonventionella magiska kvadrater arkiverade 19 februari 2008 på Wayback Machine "
- " En metod för att konstruera icke-traditionella perfekta kvadrater av ordningen n=4k+2 Arkiverad 28 april 2011 på Wayback Machine " .
↑ G. Alexandrov " Idealisk icke-traditionell magisk kvadrat av ordningen n = 4k + 2 Arkiverad 20 november 2012 på Wayback Machine
↑ G. Aleksandrov " Nästan pandiagonala magiska rutor av ordning 4k + 2 Arkivexemplar av 20 november 2012 på Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov " En idealisk perfekt magisk kvadrat av jämn ordning Arkiverad kopia av 20 november 2012 på Wayback Machine
↑ http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf (otillgänglig länk)

Litteratur

Ja. V. Uspensky. Utvalda matematiska underhållningar. - Såmaskin, 1924.
B.A. Kordemsky. Matematisk intelligens . - M. : GIFML, 1958. - 576 sid.
M. M. Postnikov. Magiska rutor. - M . : Nauka, 1964.
N. M. Rudin. Från magisk ruta till schack. - M . : Fysisk kultur och idrott, 1969.
E. Ya. Gurevich. Hemligheten med den antika talismanen. - M . : Nauka, 1969.
M. Gardner. Matematisk fritid. — M .: Mir, 1972.
Encyklopedisk ordbok för en ung matematiker / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy, 1989. - 352 sid. — ISBN 5-7155-0218-7 .
Yu. V. Chebrakov . Magiska rutor. Talteori, algebra, kombinatorisk analys. - St Petersburg. : S:t Petersburgs delstat. tech. un-t, 1995.
Yu. V. Chebrakov. Teorin om magiska matriser . - St Petersburg. , 2008.
M. Gardner. Kapitel 17. Magiska kvadrater och kuber // Tidsresor . - M . : Mir, 1990. (otillgänglig länk)
Chirkazov D. Magiska bokstavsrutor som symmetriska textmatriser. // Modern vetenskaplig forskning och innovation. — Nr 11 november 2012

Länkar

Magic Squares (inte tillgänglig länk) (engelska)
sekvens A164843 i OEIS
M. Gardner " Bokrecension av Kathleen Ollerenshaw och David Brie "
H. Heinz Magiska kvadrater, magiska stjärnor och andra mönster
N. Skryabina, V. Dubovskoy Magiska torg
Schack tillvägagångssätt
Icke-traditionella magiska rutor från primtal
Minst magiska kvadrater av primtal
« Allmänna formler för magiska rutor. »
Magiska kvadrater // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Ordböcker och uppslagsverk

Stor dansk
stor kines
Stor ryss
Great Soviet (1 upplaga)
Brockhaus och Efron
Brockhaus och Efron
runt världen
Litet Brockhaus och Efron
Britannica (online)

I bibliografiska kataloger
BNF : 11944380z GND : 4168511-8 J9U : 987007543406305171 LCCN : sh85079628 NDL : 01081048 NKC : ph214645 SUDOC : 027391345