Fullständigt faktoriellt experiment

Fullt faktoriellt experiment (FFE) - en uppsättning av flera mätningar som uppfyller följande villkor:

Antalet mätningar är 2 n , där n är antalet faktorer;
Varje faktor tar bara två värden - övre och nedre;
Under mätningen kombineras de övre och nedre värdena av faktorerna i alla möjliga kombinationer.

Fördelarna med ett fullständigt faktorexperiment är

lätthet att lösa ekvationssystemet för att uppskatta parametrar ;
statistisk redundans i antalet mätningar, vilket minskar effekten av enskilda mätfel på parameteruppskattning.

Preliminärer

Uppskattning av systemparametrar

I praktiken krävs det ofta att man utvärderar parametrarna för ett visst system, det vill säga att bygga sin matematiska modell och hitta de numeriska värdena för parametrarna för denna modell. De första uppgifterna för att bygga modellen är resultaten av experimentet , som är en samling av flera mätningar utförda enligt en specifik plan. I det enklaste fallet är planen en beskrivning av mätförhållandena, det vill säga värdena på ingångsparametrarna (faktorer) under mätningen.

Som ett exempel på system, vars uppskattning av parametrar är relevant ur praktisk synvinkel, kan olika tekniska processer tjäna. För att illustrera, överväg processen med fotolitografi.

Fotolitografi är appliceringen av ett mönster på en yta med hjälp av en fotografisk metod. Den består av följande steg: ytförberedelse, applicering av en ljuskänslig emulsion ( fotoresist ), torkning, installation av en stencil eller platta med ett negativt mönster, exponering (belysning) med ultravioletta strålar, etsning (utveckling). Eftersom fotolitografins tekniska finesser inte är viktiga i detta sammanhang, kommer vi att betrakta tjockleken på den ljuskänsliga emulsionen d (i mikron) och exponeringstiden t (i sekunder) som de viktigaste faktorerna som påverkar litografiprocessen. Processens utgångsparameter (svar) kommer att vara dess upplösning R , det vill säga det maximala antalet urskiljbara linjer som kan ritas på en millimeter av ytan. Detta värde bestäms genom att en speciell testbild appliceras på ytan.

Så den tekniska processen för fotolitografi beskrivs av någon funktion av formen

\ R=f(d,t).

Genom att bygga en modell av den tekniska processen kan du identifiera beteendet hos systemets respons beroende på förändringen i faktorer och därigenom hitta sätt att optimera tekniken. För det här specifika fallet, välj den emulsionstjocklek och exponeringstid som ger den bästa bildkvaliteten.

I det allmänna fallet beskrivs systemets respons av någon funktion av variabler $n$

\ y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Den matematiska modellen av systemet erhålls som ett resultat av approximationen av denna funktion med någon annan funktion, till exempel en linjär.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

var är de önskade modellparametrarna. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

Figuren visar grafiskt processen att bygga en linjär modell av fotolitografiprocessen, där är tjockleken på emulsionsfilmen, är exponeringstiden, är upplösningen som erhålls under givna förhållanden. Funktionen är icke-linjär, men i tillräcklig närhet till punkten kan den ersättas med ett tangentplan . I området som visas i figuren är det maximala felet för modellen . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ $y=f(x_{1},x_{2})$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

Genom att känna till koefficienterna för modellen är det möjligt att med en viss noggrannhet förutsäga värdet av funktionen (och därmed systemets beteende) i närheten av punkten . Syftet med experimentet är att bestämma värdena på koefficienterna . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Experimentmatris

Antag att de initiala parametrarna för den tekniska processen är: filmtjocklek 55 mikron, exponeringstid - 30 s, dvs.

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Låt oss ta de övre och nedre värdena för båda faktorerna så att de är placerade symmetriskt i förhållande till det aktuella värdet, till exempel

\ x_{1B}=60;\quad x_{2B}=35;

\ x_{1H}=50;\quad x_{2H}=25;

Låt oss göra en tabell där värdena för båda faktorerna finns i alla möjliga kombinationer och ta mätningar vid dessa punkter (svarsvärden ges villkorligt):

{\begin{array}{|c|c||c|}\hline x_{1}&x_{2}&y\\\hline 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hline \end {array}}

Förutsatt att den linjära modellen av processen har formen

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

Baserat på erhållna resultat kan ett system med fyra ekvationer med två variabler sammanställas. Detta system visas nedan, liksom dess förkortade notation i form av en matris. Låt oss kalla en matris av denna typ för experimentmatrisen .

{\begin{cases}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{fall));\left({\begin{array}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{array}}\right).

I experimentets matris är den andra och tredje kolumnen värdena på faktorerna, den fjärde kolumnen är värdena för systemsvaret, och den första kolumnen innehåller enheter som motsvarar enhetskoefficienter för den fria termen av modell . Vi kommer att betrakta den här kolumnen som en virtuell faktor , som alltid tar enstaka värden. $a_{0}$ $x_{0}$

Lösning av systemet

För att underlätta lösningen av systemet normaliserar vi faktorerna. Vi tilldelar det normaliserade värdet +1 till de övre värdena av faktorerna, det normaliserade värdet −1 till de lägre värdena, det normaliserade värdet 0 till medelvärdet. Generellt uttrycks normaliseringen av faktorn med formeln

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

Med hänsyn till normaliseringen av faktorer kommer ekvationssystemet och experimentets matris att ha följande form:

{\begin{cases}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilde {a}}_{2}=210\\{\tilde {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hline +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{array}}\right).

Eftersom summan av termerna i matrisens andra och tredje kolumn är noll, kan modellens skärningspunkt hittas genom att lägga till alla fyra ekvationerna:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

För att hitta någon annan koefficient för modellen måste du ändra tecknen i ekvationerna så att det bara finns ett i motsvarande kolumn, och sedan lägga till alla fyra ekvationerna:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Således har den linjära modellen av den tekniska processen i närheten av punkten (55, 30) formen

\ y=185+10{\tilde {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.

I allmänhet kommer systemets lösning att se ut

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\summa _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Återgå till icke-normaliserade faktorer

Övergången från normaliserade till icke-normaliserade faktorer utförs genom den inversa transformationen

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

För att hitta modellparametrarna för icke-normaliserade koordinater, ersätter vi uttrycken för normaliserade koordinater i modellekvationen:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilde {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Jämför det sista uttrycket med uttrycket för den linjära modellen i icke-normaliserade koordinater

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

vi får uttryck för modellparametrarna:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\ a_{1}={\frac {2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\ a_{2}={\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

I allmänhet

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

För exemplet ovan

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

\ a_{1}={\frac {2\cdot 10}{60-50}}=2;

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

Slutligen får vi modellen i naturliga koordinater:

{\displaystyle \ y=-105+2x_{1}+6x_{2))

Fullständigt faktorexperiment

PFE-matris i allmän form

I allmänhet har matrisen för ett fullständigt faktoriellt experiment med n faktorer formen

\left({\begin{array}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hline +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{array}}\right).

Egenskaper för PFE-matrisen

PFE-matrisen har följande egenskaper:

Antalet rader i matrisen är 2 n ;
Nollkolumnen i matrisen består av ettor:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Kolumner 1... n innehåller alla möjliga 2 n kombinationer av värden −1 och +1;
Den sista kolumnen innehåller mätresultaten som erhållits med värdena för faktorerna registrerade på motsvarande rader i kolumnerna 1… n .
Summan av elementen i nollkolumnen är alltid lika med 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

Summan av elementen i en kolumn, förutom noll och den sista, är lika med noll:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

De två sista uttrycken kan kombineras till en enda relation:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta _{k0}\qquad (k=0.. .n),

var är identitetsmatrisen, ; $\delta _{{ij}}$ $(i,j=0...n)$

Summan av kvadraterna av elementen i någon (förutom den sista) kolumnen är alltid lika med 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

Summan av produkterna av motsvarande element i två kolumner (förutom den sista) är lika med noll:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

De två sista uttrycken kan skrivas som ortogonaliteten för matriskolumnerna:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Beräkning av koefficienterna för en linjär modell

Linjära modellkoefficienter i normaliserade koordinater beräknas med formlerna:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\summa _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad (k=0...n);

Koefficienterna för den linjära modellen i naturliga (icke-normaliserade) koordinater beräknas med formlerna:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Konvertera naturliga faktorer till normaliserade och vice versa

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Se även

Experimentplanering

Källor

Bygga modeller och gränsprovning av elektroniska medel: Metod. instruktioner / Komp. A. N. Zhirabok, V. N. Lyakhov. - Vladivostok: Publishing House of the Far Eastern State Technical University, 2006. - 32 sid.

Adler Yu. P., Markova EV, Granovsky Yu. V. Planering av experiment i jakt på optimala förhållanden. - M .: Nauka, 1976. - 279 s., ill.

Montgomery D.K. Experimentell design och dataanalys: Per. från engelska. - L .: Skeppsbyggnad, 1980. - 384 s., ill.