Komplext projektivt plan

Det komplexa projektiva planet är ett tvådimensionellt komplext projektivt utrymme ; är en tvådimensionell komplex mångfald , dess verkliga dimension är 4.

Betecknas vanligtvis . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$

Byggnad

Punkter på det komplexa projektiva planet och beskrivs med homogena komplexa koordinater

(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\ neq(0,0,0).

I det här fallet anses trippel som skiljer sig med en skalär vara identiska:

(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

Topologi

${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$ är homeomorf till kvoten av 5-sfären genom Hopf-åtgärden . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3))$ ${\mathbb S}^{1}$

Betty siffror : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$ är helt enkelt sammankopplad , dess grundläggande grupp är trivial.
De icke -triviala homotopigrupperna i det komplexa projektiva planet är $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

i högre dimensioner är homotopigrupperna desamma som i 5-sfären.

Algebraisk geometri

I birational geometri är en komplex rationell yta vilken algebraisk yta som helst som är birationellt ekvivalent med det komplexa projektiva planet. Det är känt att varje icke-singular rationell grenrör erhålls från planet som ett resultat av en sekvens av uppblåsningstransformationer och deras inversa ("sammandragningar") kurvor, som måste vara av en mycket specifik form. Som ett specialfall erhålls andra ordningens icke-singulära komplexa ytor i P 3 från planet genom att blåsa upp två punkter till kurvor och sedan dra ihop en rät linje genom dessa två punkter. De omvända transformationerna kan ses om vi tar en punkt P på en yta Q av andra ordningen, blåser upp den och projicerar den på ett vanligt plan i P 3 genom att dra räta linjer genom P .

Gruppen av birationella automorfismer i det komplexa projektiva planet är Cremona-gruppen .

Differentialgeometri

Det komplexa projektiva planet är ett 4-dimensionellt grenrör. Den har en naturlig metrik, den så kallade Fubini -Study-metriken, med 1/4-stifts sektionskrökning ; det vill säga dess maximala tvärsnittskrökning är 4 och dess minimum är 1. Detta mått initieras på faktorn av Hopf-åtgärden på . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1))$ ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {S} ^{5}$

Se även

Anteckningar

Litteratur

P.S. Alexandrov. Analytisk geometrikurs från linjär algebra. - M . : "Nauka", Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1979. - S. 598.
CE Springer. Geometri och analys av projektiva rum. - W. H. Freeman and Company , 1964. - S. 140-3.
M. Gromov. Tecken och geometrisk betydelse av krökning. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 1999. - ISBN 5-93972-020-X .
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .