Sektionskurvatur

Sektionskrökning är ett sätt att beskriva krökningen av Riemannska grenrör .

Definition

Sektionskrökning är en funktion av , som beror på tvärsnittsriktningen vid en punkt (dvs ett tvådimensionellt plan i tangentrymden vid ). Det är lika med den Gaussiska krökningen av ytan som bildas av den exponentiella kartläggningen, mätt vid punkten . $K(\sigma )$ $\sigma$ $sid$ $sid$ $sid$

Egenskaper

Om är två linjärt oberoende vektorer i , då $v,\;u$ $\sigma$ $K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},$ var $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

a betecknar krökningstransformationen .

R(u,\;v)

- Denna formel kan skrivas om enligt följande $K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \över \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2 }}.$

Följande formel visar att tvärsnittskurvaturen beskriver krökningstensorn fullständigt: $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ $[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-$ $[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].$
- i en enklare form, med hjälp av partiella derivator : $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.$

Toponogovs jämförelsesats ger ett villkor för vinklarna för en triangel i ett Riemann-grenrör som är ekvivalent med avgränsningen av dess tvärsnittskrökning av någon konstant.