Sylvesters teorem

Sylvesters teorem är ett klassiskt resultat av kombinatorisk geometri på linjekonfigurationer i planet.

Formulering

Ett ändligt antal punkter ges på planet, och så att varje linje som går genom två av de givna punkterna innehåller ytterligare en given punkt. Då ligger alla givna punkter på samma linje.

Om bevis

Sylvesters teorem är känd för att vara ganska svår att bevisa direkt, och det enkla beviset är att gå till dess dubbla omformulering:

Om en ändlig uppsättning linjer ges på ett plan så att ytterligare en av dem passerar genom vilken som helst skärningspunkt mellan två givna linjer, då passerar de alla genom en punkt eller är parallella.

Bevis på den dubbla omformuleringen

Låt en av de givna linjerna inte passera genom en av skärningspunkterna . Hitta skärningspunkten och linjen för vilken avståndet är mindre än från till . Eftersom antalet skärningar är ändligt kommer detta att ge en motsägelse. Fallet när en rät linje går igenom, inte parallell , visas i figuren. Om linjen som går genom den tredje linjen är parallell med linjen , betrakta då en triangel vars mittlinjer bildar en triangel , där och är skärningspunkterna för två linjer som går genom linjen . Om den tredje linjen som går igenom inte skär segmentet är avståndet från punkten till det mindre än till . På samma sätt, om den tredje linjen som går igenom inte skär segmentet , då är avståndet från punkten till det mindre än till . Om den tredje linjen som passerar skär segmentet och den tredje linjen som passerar skär segmentet , så finns det en skärningspunkt för dessa linjer. Om det inte sammanfaller med , så är det närmare en rät linje än . Om det sammanfaller med , så tillämpar vi ovanstående resonemang på den och på linjen . En triangel kommer att visas , vars mittlinjer bildar en triangel . Genom att ersätta en triangel med en triangel i vårt resonemang och gå vidare på ett liknande sätt får vi en motsägelse med mängdens ändlighet. ■ $\aln$ $P$ $P$ $\aln$ $P$ $\aln$ $P$ $\aln$ $A'B'P'$ $ABP$ $A$ $B$ $P$ $\aln$ $A$ $BP'$ $P$ $\aln$ $B$ $AP'$ $P$ $\aln$ $A$ $BP'$ $B$ $AP'$ $P'$ $\aln$ $P$ $P'$ $\aln$ $PP''P'''$ $ABP'$ $ABP$ $P''P'A$

Direkt bevis

Direkt bevis hittades ett halvt sent Kelly

Antag att punkterna i denna uppsättning är icke-kollinjära. Välj ett par: dess punkt och linje , för vilka avståndet från till är det minsta positiva; ett sådant par existerar på grund av ändligheten hos uppsättningarna av punkter och anslutande linjer. Vi markerar tre punkter: , och från den givna uppsättningen. Låt punkten vara basen av vinkelrät sjunkit från till . Utan förlust av allmänhet kan vi anta att punkterna , och följa på i den angivna ordningen; medan punkterna och kan sammanfalla. Då är avståndet från punkten till linjen positivt och mindre än från till . Motsägelse. ■ $A$ $d$ $A$ $d$ $d$ $B$ $C$ $D$ $P$ $A$ $d$ $P$ $B$ $C$ $d$ $P$ $B$ $B$ $AC$ $A$ $d$

Notera

Eftersom beviset inte använder villkoret att alla punkter ligger i ett plan, kan Sylvesters sats utvidgas till mängder i ett euklidiskt rum av godtycklig dimension.

Se även

De Bruijn-Erdős sats

Litteratur

Aigner M. Ziegler G. Bevis från boken. Det bästa beviset från Euklids tid till våra dagar. - Förlaget "Laboratory of Knowledge" (tidigare "BINOM. Laboratory of Knowledge"), 2014. - ISBN 978-5-9963-2736-2 . (kapitel 10).