Inskrivna och omskrivna figurer för en triangel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 juni 2022; kontroller kräver 10 redigeringar .

En viktig komponent i en triangels geometri är teorin om figurer och kurvor inskrivna i en triangel eller beskrivna runt den - cirklar , ellipser och andra.

Inskrivna och omskrivna cirklar i en triangel

Cirklar som passerar genom hörnen i en triangel

Den omskrivna cirkeln (se figuren till vänster) är en cirkel som går genom alla tre hörn i triangeln. Den omskrivna cirkeln är alltid unik om inte triangeln är degenererad på ett speciellt sätt, det vill säga att två av dess tre hörn inte sammanfaller.

Johnson cirkel - någon av de tre cirklarna (se figuren till höger) som passerar genom två hörn av triangeln och genom dess ortocenter . Radierna för alla tre Johnson-cirklarna är lika. Johnson cirklar är omskrivna cirklar av Hamiltonska trianglar som har två hörn av en given spetsvinklad triangel som två hörn och har dess ortocenter som en tredje vertex .

Cirklar som rör vid sidorna av en triangel eller deras förlängningar

Den inskrivna cirkeln (se figuren till höger) är en cirkel som tangerar alla tre sidorna av triangeln. Hon är den enda. Mitten av den inskrivna cirkeln kallas för mitten .
- Linjesegmenten som förbinder tangentpunkterna i den inskrivna cirkeln med hörnen skär varandra vid en punkt, kallad Gergonne-punkten . Gergonne-punkten är isotomiskt konjugerad med Nagel-punkten (se nedan).
En excirkel (se figuren till höger) är en cirkel som tangerar ena sidan av en triangel och förlängningen av de andra två sidorna. Det finns tre sådana cirklar i en triangel. Deras radikala mitt är mitten av den inskrivna cirkeln av mediantriangeln , kallad Spiekers centrum eller Spiekers punkt .
- Linjesegmenten som förbinder hörnen med tangentpunkterna i cirklarna med hörnen skär varandra vid en punkt, kallad Nagel-punkten .

Malfatti-triangelns tre cirklar (se figuren till höger). Var och en av dessa berör två sidor av triangeln och två andra Malfatti-cirklar .
- Om du ritar tre räta linjer som förbinder mitten av varje Malfatti-cirkel med kontaktpunkten mellan de andra två, så kommer de att skära varandra vid en punkt - vid punkten för Ajima-Malfatti (Ajima-Malfatti) [1] .

Tre halvinskrivna cirklar eller Verrier-cirklar (se bilden till vänster). Var och en av dem berör två sidor av triangeln och den omslutna cirkeln internt .
- Linjesegmenten som förbinder triangelns hörn och de motsvarande tangenspunkterna i Verriercirklarna med den omslutna cirkeln skär varandra vid en punkt, kallad Verrierpunkten . Den fungerar som centrum för homoteten G , som kartlägger den omskrivna cirkeln till incirkeln (Se grå figur nedan).

Verriers lemma [2] . Tangenspunkterna för Verrier -cirklarna (halvcirklar) med sidorna ligger på en rät linje som passerar genom mitten av den inskrivna cirkeln ( i mitten ) (Se grå figur nedan).

Radier av inskrivna och omskrivna cirklar

Följande formler inkluderar radierna för de omskrivna R- och inskrivna r - cirklarna:

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))}={\sqrt { \frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}},

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

var är triangelns halvomkrets, h a , etc., höjderna ritade till motsvarande sidor; [3] :s.70 $sid$

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[fyra]

och

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Produkten av två sidor i en triangel är lika med produkten av höjden gånger den tredje sidan multiplicerat med diametern på den omskrivna cirkeln. [3] :s.64 :

ab=h_{c}(2R)

Om medianen m , höjden h och den inre bisektaren t kommer ut från samma vertex i triangeln, runt vilken en cirkel med radien R är omskriven , då [3] :s.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Cirklar som rör vid varandra inuti en triangel

Tre Malfatti-cirklar rör vid varandra i par inuti triangeln. (se ovan)
Den niopunktscirkeln eller Eulercirkeln tangerar incirkeln inuti triangeln vid Feuerbach-punkten .

Cirklar som tangerar varandra utanför en triangel

Tre Verrier-cirklar tangerar den omskrivna cirkeln utanför triangeln.
Niopunktscirkeln eller Eulercirkeln tangerar tre excirklar utanför triangeln på ett externt sätt ( Feuerbachs sats , se figur).

Apollonius cirkel berör tre cirklar utanför triangeln internt (se figur)

De tre Johnson-cirklarna (se ovan) tangerar externt den antikomplementära cirkeln (röd i figuren till höger ovan, radie 2r) i triangeln ΔABC. Centrum för Johnson-cirklarna ligger på segmenten (orange) som förbinder den gemensamma skärningspunkten för höjderna H och kontaktpunkterna för dessa tre cirklar med den antikomplementära cirkeln. . Dessa beröringspunkter bildar en antikomplementär eller (vilket är samma) antikomplementära triangel (grön i figuren ovan). $\triangel P_{A}P_{B}P_{C}$

Andra cirklar

Mitten av de omskrivna cirklarna av de sex trianglarna som triangeln är delad i med medianerna ligger på en cirkel, som kallas Lamuns cirkel .

Om vi från varje vertex lägger ut trianglar på raka linjer som innehåller sidor, segment lika långa som motsatta sidor, så ligger de resulterande sex punkterna på en cirkel - Conway-cirkeln .

Cirklar som skär sidorna av en triangel

Cirkeln med nio punkter är en cirkel som går genom mittpunkterna på alla tre sidorna av en triangel och genom de tre baserna av dess höjder.
Taylorcirkeln är en cirkel som passerar genom sex punkter i form av sex projektioner av de tre baserna av triangelns höjder, som skär varje sida, på de två återstående sidorna.

Definition av perspektivet för en konisk

Oändligt många koner ( ellipser , paraboler eller hyperboler ) kan inskrivas i en triangel.
Om en godtycklig kägel är inskriven i en triangel och kontaktpunkterna är anslutna till motsatta hörn, kommer de resulterande linjerna att skära varandra vid en punkt, kallad kägelns perspektiv .
För varje punkt av planet som inte ligger på en sida eller på dess förlängning, finns det en inskriven kon med ett perspektiv vid denna punkt [5] .

Ellipser i en triangel

Definition av en inskriven Steiner-ellips

Ett oändligt antal ellipser kan skrivas in i en triangel . Dessutom är foci för var och en av de inskrivna ellipserna isogonalt konjugerade.
En enda ellips kan skrivas in i en triangel som vidrör sidorna vid deras mittpunkter. En sådan ellips kallas en inskriven Steinerellips (dess perspektiv kommer att vara triangelns tyngdpunkt) [6] .
"Bestämma perspektivet för en konisk " (inklusive konisk ellips) se ovan.

Definition av den omskrivna Steiner-ellipsen

Ett oändligt antal ellipser kan omskrivas kring en triangel .
Nära en triangel kan en enda ellips beskrivas , som tangerar linjerna som går genom hörnen och parallella med sidorna. En sådan ellips kallas en omskriven Steinerellips .
Fokus för den beskrivna Steinerellipsen kallas Skutin-punkter .
Cevianer dragna genom fokus för den omskrivna Steinerellipsen ( Skutin-punkter ) är lika ( Skutins sats )

Affin transformation av Steiner-ellipsen

Om vi genom en affin transformation ("skev") översätter en godtycklig skalentriangel till en vanlig triangel , så kommer dess inskrivna och omskrivna Steiner-ellipser att gå in i de inskrivna och omskrivna cirklarna [7] .

Brocards ellips

En ellips med foci vid Brocards punkter kallas Brocards ellips . Dess perspektiv är Lemoine-punkten [8] .

Ellipse Mandart (Mandart inellips)

Ellips Mandart (eller Mandara) i triangeln ABC - en ellips inskriven i en triangel som rör vid dess sidor vid kontaktpunkterna med excirkeln (vid Nageltriangelns hörn ) (se figuren till höger).
Cirkeln som beskrivs runt Nageltriangeln T A T B T C kallas Mandartcirkeln (ett specialfall av Mandartellipsen ).

Johnsons ellips

Sex punkter - hörn av referenstriangeln och hörn i dess Johnson-triangel - ligger på Johnson-ellipsen (fig. till vänster), som har ett centrum i mitten av nio punkter och punkten X (216) i referensen triangeln är dess perspektivpunkt . Den omskrivna ellipsen och den omskrivna cirkeln har fyra gemensamma punkter - tre hörn av referenstriangeln och punkten X (110).

Relationen för en godtycklig ellips inskriven i en triangel

Om en godtycklig ellips är inskriven i triangeln ABC och har foci P och Q , då är relationen [9] giltig för den :

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Paraboler inskrivna i en triangel

Ett oändligt antal paraboler kan skrivas in i en triangel .

Perspektiven av parabolerna inskrivna i triangeln ligger på den beskrivna Steinerellipsen (se ovan) [10] . Fokus för den inskrivna parabeln ligger på den omskrivna cirkeln , och riktningen passerar genom ortocentret [11] .

Kieperts parabel

En parabel inskriven i en triangel med Eulerlinjens riktning kallas Kiepert -parabeln . Dess perspektiv är den fjärde skärningspunkten mellan den omskrivna cirkeln och den omskrivna Steinerellipsen , kallad Steinerpunkten .

Hyperboler omskrivna om en triangel

Nära en triangel kan oändligt många hyperboler beskrivas .
Om hyperbeln som beskrivs nära triangeln passerar genom skärningspunkten för höjderna, så är den liksidig (det vill säga dess asymptoter är vinkelräta) [12] . Skärningspunkten för asymptoterna i en liksidig hyperbel ligger på cirkeln av nio punkter [12] .

Cyperts överdrift

En Kiepert hyperbel är en avgränsad hyperbel som passerar genom en tyngdpunkt och ett ortocenter . Om du bygger liknande likbenta trianglar på sidorna av triangeln (utåt eller inåt) och sedan kopplar deras hörn till den ursprungliga triangelns motsatta hörn, kommer tre sådana linjer att skära varandra vid en punkt, som ligger på Kiepert-hyperbolen . I synnerhet på denna hyperbel ligger Torricelli-punkterna och Napoleon -punkterna (Cevianska skärningspunkter som förbinder hörnen med mitten av regelbundna trianglar byggda på motsatta sidor) [13] .

Enzhabeks hyperbol

En Enzhabek hyperbel är en omskriven hyperbel som passerar genom ortocentrum och Lemoine-punkten . Mitten av den omskrivna cirkeln ligger på den .

Feuerbach hyperbel och Feuerbach punkt

En Feuerbach hyperbel är en omskriven hyperbel som passerar genom ortocentret och mitten av den inskrivna cirkeln . Dess centrum ligger vid Feuerbach-punkten . Poder- och ceviancirklar av punkter på en Feuerbach-hyperbol passerar genom en Feuerbach-punkt .
I synnerhet passerar en cirkel genom Feuerbach pekar , ritad genom baserna av bisektrarna . [fjorton]

Konisk av nio punkter

Koniken av nio punkter av en komplett fyrhörning är en konisk sektion som går genom tre diagonala punkter och sex mittpunkter på sidorna av en hel fyrhörning. På fig. Bocher- koniken för fyra punkter av en komplett fyrhörning visas som tre hörn i en triangel och en oberoende punkt:

Låt en triangel ABC och en punkt P på planet ges. En konisk sektion kan ritas genom följande nio punkter: mittpunkterna på sidorna i triangeln ABC , mittpunkterna på segmenten som förbinder P med triangelns hörn, punkterna där dessa linjer som går genom P och triangelns hörn skär triangelns sidor.

Den berömda niopunktscirkeln är ett exempel på en Bocher - konisk .

Kuber

Katalog över triangelkubiker) är en onlineresurs som innehåller detaljerad information om mer än 1200 kubikkurvor i referenstriangelns plan. Resursen underhålls av Bernard Gilbert. Varje tärning i resursen tilldelas ett unikt identifikationsnummer av formen "Knnn", där "nnn" står för tre siffror. Identifikationsnumret för den första posten i katalogen är "K001", vilket är Neubergkuben i referenstriangeln ABC. Katalogen innehåller bland annat följande information om var och en av kuberna nedan:
Barycentrisk kurvekvation
Lista över centrum av trianglar som ligger på en kurva
Singulära punkter på en kurva som inte är triangelcentrum
Geometriska egenskaper hos en kurva
Kurvlokusegenskaper
Andra speciella kurvegenskaper
Andra kurvor relaterade till den kubiska kurvan
Massor av snygga och prydliga figurer som illustrerar olika egenskaper
Kurvlitteraturreferenser

En kub ( kubisk kurva) är en kurva av tredje ordningen (given av en ekvation av tredje graden). Många av de underbara kuberna förknippade med en triangel är konstruerade på följande sätt: en punkt i planet (möjligen i oändligheten) är fixerad. Då uppsättningen av punkter så att linjen passerar genom denna punkt är en kub omskriven om en triangel (här , en punkt isogonalt konjugerat till ). Sådana kuber passerar också genom mitten av de inskrivna och cirklarna, såväl som genom själva fixpunkten och dess isogonala konjugat [15] . $X$ $XX'$ $X'$ $X$

Darboux-kuben erhålls genom att fixera en punkt som är symmetrisk till ortocentrum med avseende på centrum av den omskrivna cirkeln. Den passerar genom punkterna: incenter , ortocenter , centrum av den omskrivna cirkeln, Longchamps punkt X(20), andra punkter, och även genom hörnen A, B, C, genom centreringarna i excirklarna, genom topparnas antipoder A, B, C på den omskrivna cirkeln. Den passerar genom ortocentret och mitten av den omskrivna cirkeln. I listan är kuben på planet för Gibert-triangeln (Bernard Gibert) av Darboux-kuben listad som K004 [16] .
Lukas kub . Den passerar genom punkterna: tyngdpunkt , ortocenter , Gergonne- punkt , Nagel- punkt , Longchamp-punkt , hörn av den antikomplementära triangeln och genom fokus för den beskrivna Steinerellipsen och andra. I listan är kuben på Lucas-kubens triangelplan listad som K007 [17] .
McKay-kuben erhålls om vi tar den omskrivna cirkelns centrum som en fixpunkt. Den passerar också genom ortocentret och mitten av den omskrivna cirkeln.
Kub av Napoleon-Feuerbach . Den passerar genom punkterna: incenter , ortocenter , centrum av den omskrivna cirkeln, Gergonne- punkt , Nagel- punkt , Longchamp-punkt , första och andra Napoleon-punkter , andra punkter, såväl som genom hörn A, B, C, såväl som genom centrerar av cirklar, tyngdpunktsprojektioner till höjderna, centra för sex liksidiga trianglar byggda på sidorna av triangeln ABC (externt eller internt). I listan är kuben i triangelplanet för Napoleon-Feuerbach-kuben listad som K005 [18] .
Neubergkuben är den uppsättning punkter som är Eulerlinjen (dess punkt i oändligheten är fixerad). Det finns mer än 15 anmärkningsvärda punkter på denna kub, i synnerhet punkterna på Torricelli, Apollonius, ortocentrum, centrum av den omskrivna cirkeln, hörn av regelbundna trianglar byggda på sidorna (externt eller internt), punkter som är symmetriska mot hörn med avseende på sidorna, två Fermat-punkter , två isodynamiska punkter , Euler-oändlighetspunkten, samt mitten av de inskrivna och cirklarna som ligger på alla kuber. I listan är kuben på Neubergkubens triangelplan listad som K001 [19] . $X$ $XX'\parallell OH$
Thomson Cube erhålls genom att välja en tyngdpunkt som en fast punkt. Thomsonkuben passerar genom tyngdpunkten, Lemoine-punkten, ortocentret, den omskrivna cirkelns mittpunkt, sidornas mittpunkter och mittpunkterna för höjderna på hörnen A, B, C, genom centreringarna i excirklarna. I listan är kuben på Thomsonkubens triangelplan listad som K002 [20] .
Den första Brocards kub . Den passerar genom punkterna: tyngdpunkten , Lemoine- punkten , Steinerpunkten X(99), två isodynamiska punkter , Parry-punkten och andra, såväl som genom hörnen på 1:a och 3:e Brocard-trianglarna. I listan över kuber i triangelplanet är den första Brocard-kuben listad som K017 [21] .
Den andra Brocards kub . Den passerar genom punkter: tyngdpunkten , Lemoine-punkten , två Fermat-punkter , två isodynamiska punkter , Parry-punkten och andra, såväl som genom hörnen på den 2:a och 4:e Brocard-trianglarna. I listan över kuber i triangelplanet är den andra Brocard-kuben listad som K018 [22] .
Den första kuben med lika arealer (1:a lika stora ytor kubik) . Den passerar genom punkter: mittpunkt , Steinerpunkt X(99), första och andra Brocard-punkter , mittpunkter för triangelns excirkel. I listan över kuber i en triangels plan är den första kuben med lika arealer listad som K021 [23] .
Den andra kuben av lika arealer (2:a lika stora arealer kubik) . Den passerar genom punkter: incenter , andra punkter, och även genom följande punkter i Clark Kimberling Encyclopedia of Triangle Centers notation : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) X(672), X(1453), X(1931), X(2053) och andra. I listan över en kub i triangelplanet är den andra kuben med lika arealer listad som K155 [24] .
Det finns två intressanta kubiska kurvor beskrivna i litteraturen , som går genom hörn på stödtriangeln och dess Johnson-triangel , såväl som genom mitten av den omskrivna cirkeln , ortocentret och mitten av nio cirklar :
- Den första kurvan är känd som Musselmann-kurvan - K026 . Denna kurva passerar också genom hörnen av mediantriangeln och mediantriangeln i Johnsons triangel .
- Den andra kurvan är känd som Eulers centrumkurva - K044 . Denna kurva passerar också genom sex punkter - baserna för höjderna och baserna för höjderna i Johnson-triangeln .

Polygoner inskrivna i en given triangel

Trianglar inskrivna i en given triangel

En triangel med hörn vid basen av tre cevianer dragna genom en given punkt kallas ceviatriangeln för den punkten.
En triangel med hörn i projektionerna av en given punkt på sidorna kallas en subdermal eller pedaltriangel av denna punkt.
En triangel med hörn vid den andra skärningspunkten för linjer som dras genom hörnen och en given punkt, med en omskriven cirkel, kallas periferisk-cevian triangel . Sats : en periferisk-cevian triangel liknar en subdermal [25] .
Triangeln av baserna för medianerna A′B′C′ i en given triangel ABC , det vill säga en triangel vars hörn är mittpunkterna på sidorna av triangeln ABC , kallas extra , eller mittpunkt , för denna triangel.
En ortotriangel är en triangel vars hörn ligger vid basen av triangelns höjder. Sidorna i en ortotriangel är antiparallella mot motsvarande sidor i den givna triangeln.
Excirkeltangenstriangeln för triangeln ABC (ibland kallad Nagels triangel ) definieras av hörn TA , TB och T C , som är tangentpunkterna för excirklarna med motsvarande sidor i triangeln ABC . Till exempel är punkt TA motsatt sida A osv.
Gergonne- triangeln för triangel ABC definieras av hörn TA , T B och T C , som är tangentpunkterna för den inskrivna cirkeln med motsvarande sidor i triangeln ABC . Gergonne-triangeln T A T B T C är också känd som tangencytriangeln för triangeln ABC .
I vilken triangel ABC som helst kan 2 trianglar inskrivas med 3 sidor parallella med de 3 halvledarna i triangeln ABC. Dessa trianglar har en gemensam cirkel av Eulercirkeltyp, det vill säga 6 av deras hörn ligger på 1 cirkel. [26]

Trianglar omskrivna kring en given referenstriangel

Triangel A″B″C″ vars sidor passerar genom hörnen på triangeln ABC och är parallella med dess motsatta sidor kallas antikomplementär för den givna triangeln ABC .
Om vi beskriver en cirkel runt en given spetsvinklad triangel ∆ ABC och ritar linjer som tangerar cirkeln vid tre hörn av triangeln, så bildar skärningspunkten mellan dessa linjer den så kallade tangentiella triangeln Δ A′B′C′ med avseende på till den givna triangeln Δ ABC . Sidorna i den tangentiella triangeln Δ A′B′C′ är antiparallella mot motsvarande motsatta sidor av den givna triangeln och parallella med motsvarande sidor i ortotriangeln .
Om, utanför en given triangel ∆ ABC , tre av dess yttre bisectors dras genom dess hörn, då kommer de att skära varandra vid de tre mittpunkterna i excirklarna och bilda en triangel med tre yttre bisectors .

Andra trianglar inom den givna referenstriangeln

Tre linjesegment som förbinder ortocentret med spetsarna i en spetsig triangel delar upp den i tre Hamiltontrianglar med lika radier av de omskrivna cirklarna.
Eulers triangel eller Feuerbachs triangel är en triangel vars hörn är mittpunkterna i tre segment som förbinder ortocentret och dess hörn.

Kvadrater inskrivna i en given referenstriangel

Varje spetsvinklad triangel har tre inskrivna kvadrater (rutorna är inskrivna i den på ett sådant sätt att alla fyra hörn av kvadraten ligger på olika sidor av triangeln, så att två av dem ligger på samma sida och därför en sidan av kvadraten sammanfaller med en del av en triangel, och resten av kvadratens två hörn vidrör de två återstående sidorna av referenstriangeln). I en rätvinklig triangel sammanfaller två av dessa kvadrater och har två sidor som kommer ut från en vertex med en rät vinkel på triangeln, och den fjärde spetsen av två sådana sammanfallande kvadrater ligger i hypotenusans mittpunkt. En annan typ av kvadrater som är inskrivna i en rätvinklig triangel har en sida och två av dess hörn liggande på hypotenusan, och de två återstående hörnen av kvadraten ligger på olika ben i den räta triangeln. En rätvinklig triangel har alltså bara två olika typer av inskrivna kvadrater. En trubbig triangel har bara en inskriven kvadrat, med en sida som sammanfaller med en del av den längsta sidan av triangeln. Inom en given triangel innehåller den längsta sidan av triangeln helt en av sidorna av den inskrivna kvadraten. Om den inskrivna kvadraten har en sidolängd lika med q a , och en av dess sidor ligger helt på sidan av en triangel med längden a ; höjden som faller till denna sida är h a , och triangelns area är S , då enligt [27] [28]

q_{a}={\frac {2Sa}{a^{2}+2S}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.

Hexagoner inskrivna i en given referenstriangel

Den första (andra) Lemoine Hexagon är en hexagon runt vilken en cirkel kan omskrivas. Dess hörn är de sex skärningspunkterna för sidorna i en triangel med tre linjer som är parallella (respektive: antiparallella) med sidorna och som går genom dess Lemoine-punkt. I vilken triangel som helst är den första (andra) Lemoine-hexagonen inuti en triangel med tre par hörn som ligger parvis på varje sida av triangeln.
Euler-hexagonen är en hexagon runt vilken en cirkel kan omskrivas ( Euler-cirkeln ). Dess hörn är sex punkter: tre baser av medianerna och tre baser för höjderna av denna referenstriangel.

Se även

Excircle
Oomskriven fyrhörning
Inskriven cirkel
Inskrivet koniskt snitt
Den inskrivna sfären är en generalisering av den inskrivna cirkeln.
Triangelhöjd
Ordlista för planimetri
Underbara raka trianglar
Anmärkningsvärda punkter i triangeln
Mitten eller mitten av den inskrivna cirkeln
Cirkel
Omskriven cirkel
Omskriven fyrhörning
Ortocenter
Graden av en punkt i förhållande till en cirkel
Mansions teorem
treuddens sats
Tebos sats 2 och 3
Harcourts teorem
Apollonius pekar
Centroid
Triangel tyngdpunkt
Ellipse Mandart
Ellips Steiner

Anteckningar

↑ Ajima-Malfatti Point . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 5 augusti 2015. (obestämd)
↑ Efremov D. Ny geometri för en triangel . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 sid.
↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Om förhållandet mellan inradius och cirkumradius av en triangel", Mathematical Gazette 87, mars 2003, 119-120.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 108.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 54.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 55.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg .. - 2011. - S. 50.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; och Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellips identity", Mathematical Gazette 96, mars 2012, 161-165.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg. - 2011. - S. 110.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 27-28.
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., kompletterad .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 sid. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 125-126.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg. - 2011. - S. 105.
↑ Prasolov V.V. Uppgifter i planimetri. — M .: MTsNMO , 2004.
↑ K004 på Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 20 september 2008. (obestämd)
↑ K007 vid Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 18 september 2008. (obestämd)
↑ K005 vid Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 1 juni 2010. (obestämd)
↑ K001 på Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // (länk ej tillgänglig) . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 20 augusti 2009. (obestämd)
↑ K002 vid Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 22 oktober 2009. (obestämd)
↑ K017 på Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 20 september 2008. (obestämd)
↑ K018 på Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 20 september 2008. (obestämd)
↑ K021 vid Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 20 september 2008. (obestämd)
↑ K155 vid Berhard Giberts Cubics i triangelplanet // . Hämtad 22 maj 2016. Arkiverad från originalet 20 september 2008. (obestämd)
↑ System av problem i geometri av R. K. Gordin. Uppgift 6480 . Hämtad 23 maj 2016. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ Dmitrij Efremov . Ny triangelgeometri arkiverad 25 februari 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 26. Kapitel I. Övningar. s.33
↑ Bailey, Herbert och DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
↑ Victor Oxman och Moshe Stupel, "Varför är kvadraternas sidolängder inskrivna i en triangel så nära varandra?", Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Arkiverad 9 december 2017 på Wayback Machine

Litteratur

Hadamard J. Elementär geometri. Del 1: Planimetri. Ed. 4:e, Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 sid.
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sid.
Efremov D. Ny triangelgeometri . - Odessa, 1902. - 334 sid.
Efremov D. D. Ny geometri för en triangel. Ed. 2. Serie: Physical and Mathematical Heritage (reprint reproduktion av upplagan). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 sid. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nya möten med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.
Myakishev A.G. Element av triangelgeometri . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Triangel
Typer av trianglar	Rektangulär Likbent Liksidig Likbent rektangulär
Underbara linjer i en triangel	Median Höjd Bisektris Mittvinkelrät mittlinje Omskrivna och inskrivna cirklar Simsons raka linje Euler linje Simediana Cheviana
Anmärkningsvärda punkter i triangeln	Ortocenter Centroid I mitten Brocard punkt Vecten punkt Peka Gergonne Lemoine punkt Miquel pekar Nagel poäng Napoleon pekar Torricellis punkter Niopunkts cirkelcentrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centers
Grundläggande satser	triangelojämlikhet Tecken på likhet av trianglar Lösa trianglar Triangelns yttre vinkelsats Triangelsummans sats Pythagoras sats Cosinussats Sinussats Projektionssatsen Herons formel
Ytterligare satser	Van Obels teorem Menelaos sats Reuschles (Terkema) sats Stewarts teorem Tangentsats Cotangenssats Cevas sats Mollweide formler
Generaliseringar	sfärisk triangel hyperbolisk triangel Simplex