Lemoine hexagon

Lemoine-hexagonen [1] är en hexagon runt vilken en cirkel kan omskrivas. Dess hörn är de sex skärningspunkterna mellan sidorna i en triangel med tre linjer som är parallella med sidorna och som går genom dess Lemoine-punkt . I vilken triangel som helst, är Lemoine-hexagonen inuti en triangel med tre par hörn som ligger i par på varje sida av triangeln.

Inom geometri är den (första) Lemoine-hexagonen en hexagon runt vilken en cirkel kan omskrivas. Dess hörn är de sex skärningspunkterna mellan sidorna i en triangel med tre linjer som är parallella med sidorna och som går genom dess Lemoine-punkt . I vilken triangel som helst, är Lemoine-hexagonen inuti en triangel med tre par hörn som ligger i par på varje sida av triangeln. Det finns två definitioner av en hexagon, som skiljer sig åt beroende på i vilken ordning hörnen är anslutna.

Area och omkrets

Lemoine-hexagonen kan göras definierad på två sätt, först som en enkel hexagon med hörn vid skärningspunkterna, som tidigare definierats. Det andra sättet är en självskärande hexagon med linjer som passerar genom Lemoine-punkten som tre kanter, och tre andra kanter som förbinder par av angränsande hörn. För en enkel självupplösande hexagon byggd inuti en triangel med sidolängder och area, ges omkretsen av: $a,b,c$ $\Delta$

{\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2))))

och området anges som:

S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c ^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

För en enkel självskärande hexagon byggd inuti en triangel, ges omkretsen som:

p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2} }}

och området anges som:

S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2} }+b^{2}+c^{2}\höger)^{2}}}\Delta

Den omskrivna cirkeln av Lemoine-hexagonen

I geometri definierar fem punkter en kägel, så att godtyckliga mängder av sex punkter i allmänhet inte ligger på en kägel, än mindre en cirkel. Lemoine-hexagonen ( antingen med anslutningsordning) är dock en inskriven hexagon, vilket betyder att alla dess hörn ligger på samma cirkel. Cirkeln av Lemoine-hexagonen är känd som "den första cirkeln av Lemoine" .

Lemoines andra hexagon

Den andra Lemoine-hexagonen [2] är en hexagon runt vilken en cirkel kan omskrivas. Dess hörn är de sex skärningspunkterna för sidorna i en triangel med tre linjer som är antiparallella med sidorna och som går genom dess Lemoine-punkt.

Anteckningar

↑ Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 109-110, s. 95-96, satser, följd.
↑ Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - P. 111, s. 98, sats.

Länkar

Casey, John (1888), Lemoine's, Tucker's och Taylor's Circles , A Sequel to the First Sex Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with numerous examples (5th ed.), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., sid. 179ff , < https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179 > .
Lemoine, E. (1874), Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un triangle , Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) , sid. 90–95 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image > .
Mackay, JS (1895), Symmedianer of a triangle and their concomitant circles , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society vol. 14: 37–103 , DOI 10.1017/S0013091500031758 .

Externa länkar

Weisstein, Eric W. Lemoine Hexagon (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .