Omskrivna och inskrivna koniska sektioner

Den omskrivna koniska sektionen eller den omskrivna koniska sektionen för en triangel är den koniska sektionen som går genom triangelns tre hörn [1] , och den inskrivna koniska sektionen eller den inskrivna koniska sektionen är den koniska sektionen inskriven i triangeln, dvs. angående sidorna i en triangel (kanske inte själva sidorna utan deras förlängningar ) [2]

Låt det ges tre distinkta punkter A,B,C som inte ligger på samma räta linje, och låt ΔABC vara en triangel med dessa punkter som hörn. Man brukar anta att en bokstav, till exempel A , betecknar inte bara vertex A , utan även vinkeln BAC intill den . Låt a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | är längderna på sidorna i triangeln Δ ABC .

I trilinjära koordinater är den omskrivna koniska sektionen platsen för punkterna X = x : y : z som uppfyller ekvationen

uyz + vzx + wxy = 0,

för någon tid u : v : w . Den isogonala konjugationen av vilken punkt som helst från X på en annan sektion än A,B,C är en punkt på linjen

ux + vy + wz = 0.

Denna linje har 0,1 eller 2 gemensamma punkter med cirkeln omskriven runt triangeln ΔABC , beroende på om konsektionen är en ellips, en parabel eller en hyperbel.

Den inskrivna koniska sektionen berör tre linjer som går genom hörnen på triangeln ΔABC (förlängningar av sidorna) och ges av ekvationen

u 2 x 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 − 2 vwyz − 2 wuzx − 2 uvxy = 0.

Mittpunkter och tangentlinjer

Beskriven konisk

Mitten av den omskrivna koniska sektionen är spetsen

u (− au + bv + cw ): v ( au − bv + cw ): w ( au + bv − cw ).

Linjerna som tangerar könen i punkterna A, B och C ges av ekvationerna

wv + vz = 0, uz + wx = 0, vx + uy = 0.

Inskriven konisk

Mitten av en inskriven konisk sektion är en punkt

cy + bz : az + cx : bx + ay .

Tangenterna till denna kon är sidorna av triangeln ΔABC , och de ges av ekvationerna x = 0, y = 0, z = 0.

Andra egenskaper

Beskrivna koniska sektioner

Alla omskrivna koniska sektioner som inte är en cirkel skär den omskrivna cirkeln runt ΔABC i en annan punkt än A, B och C, som ofta kallas den fjärde skärningspunkten , och den har trilinjära koordinater

( cx − az )( ay − bx ) : ( ay − bx )( bz − cy ) : ( bz − cy )( cx − az )

Om punkten P = p : q : r ligger på det omskrivna koniska snittet, så ges linjen som tangerar snittet i punkten P av ekvationen

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

Det beskrivna koniska snittet är en parabel om och endast om

u 2 a 2 + v 2 b 2 + w 2 c 2 − 2 vwbc − 2 wuca − 2 uvab = 0, och överdrift om och bara om u cos A + v cos B + w cos C = 0.

Av alla trianglar inskrivna i en given ellips sammanfaller tyngdpunkten för triangeln med den största arean med ellipsens centrum [3] . En ellips som passerar genom tre hörn av en triangel, centrerad på triangelns tyngdpunkt, kallas en omskriven Steiner-ellips .

Inskrivna koniska sektioner

En inskriven konisk sektion är en parabel om och endast om

ubc + vca + wab = 0, och i detta fall berör den koniska sektionen ena sidan av triangeln från utsidan och berör förlängningen av de andra två sidorna.

Antag att p 1 : q 1 : r 1 och p 2 : q 2 : r 2 är distinkta punkter, och låt

X = ( pi + p2t ) : ( qi + q2t ) : ( rl + r2t ) . _ _ _ När parametern t löper genom alla reella tal är platsen för punkterna X en rät linje. Låt oss definiera X2 = ( pi + p2t ) 2 : ( qi + q2t ) 2 : ( rl + r2t ) 2 . _ _ _ _ _ _ _ Platsen för punkterna X 2 är en inskriven konisk sektion, nödvändigtvis en ellips , som ges av ekvationen L 4 x 2 + M 4 y 2 + N 4 z 2 − 2 M 2 N 2 yz − 2 N 2 L 2 zx − 2 L 2 M 2 xy = 0, var L = q 1 r 2 − r 1 q 2 , M = r 1 p 2 − p 1 r 2 , N = p 1 q 2 − q 1 p 2 .

En punkt inuti en triangel är mitten av en ellips inskriven i triangeln om och endast om punkten ligger innanför triangeln vars hörn är den ursprungliga triangelns mittpunkter [4] . För en punkt inuti mediantriangeln är ellipsen som är centrerad vid den punkten unik [5] .
Den inskrivna ellipsen med den största arean är Steiner inskriven ellips , som också kallas median inskriven ellips. Mitten av denna ellips sammanfaller med triangelns tyngdpunkt [6] . I allmänhet är förhållandet mellan arean av den inskrivna ellipsen och arean av triangeln i form av de barycentriska koordinaterna för ellipsens centrum [7] . $(\alpha ,\beta ,\gamma )$

{\frac {\text{Area of ​​​​inellipse}}{\text{Area of ​​​​triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta ) (1-2 \gamma )}},

och detta förhållande är maximerat när det sammanfaller med de barycentriska koordinaterna för triangelns tyngdpunkt

\alpha =\beta =\gamma =1/3.

Linjerna som förbinder kontaktpunkterna för någon ellips inskriven i en triangel med motsatt vertex skär vid en punkt [8] .

Förlängning till fyrhörningar

Alla mittpunkter för ellipserna inskrivna i fyrhörningen ligger på segmentet som förbinder mittpunkterna på fyrhörningens diagonaler [9] .

Exempel

Omskrivet koniskt snitt
- Den omskrivna cirkeln , den enda cirkeln som passerar genom de tre hörnen i en triangel
- Steiners omskrivna ellips , den enda ellips som går genom alla tre hörn i en triangel, centrerad på triangelns tyngdpunkt
- Cyperts hyperbel , den enda koniska som passerar genom triangelns tre hörn, dess tyngdpunkt och dess ortocentrum
- Erzhabeks hyperbel, en hyperbel med ett centrum som sammanfaller med mitten av en cirkel med nio punkter som passerar genom tre hörn i en triangel, mitten av dess omslutande cirkel , ett ortocenter och andra anmärkningsvärda centra
- Feuerbach-hyperbeln , som passerar genom triangelns ortocentrum, Nagel-punkten och andra anmärkningsvärda punkter, är centrerad på niopunktscirkeln.
Inskrivet koniskt snitt
- Inskriven cirkel , den enda cirkeln som tangerar insidan av en sida i en triangel
- Steiners inskrivna ellips , den enda ellipsen som tangerar tre sidor av en triangel vid sidornas mittpunkter
- Ellips Mandara , den enda ellipsen som tangerar sidorna av en triangel vid tangentpunkterna för de yttre omskrivna cirklarna
- Kiepert parabel
- Parabel av Iffa

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. "Circumconic." Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html Arkiverad 13 april 2017 på Wayback Machine
↑ Weisstein, Eric W. "Inconic." Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm (inte tillgänglig länk)
↑ Chakerian, 1979 , sid. 147.
↑ Chakerian, 1979 , sid. 139.
↑ Chakerian, 1979 , sid. 142.
↑ Chakerian, 1979 , sid. 145.
↑ Chakerian, 1979 , sid. 143.
↑ Chakerian, 1979 , sid. 148.
↑ Chakerian, 1979 , sid. 136.

Litteratur

GD Chakerian. A Distorted View of Geometry // Mathematical Association of America / R. Honsberger. -Washington, DC, 1979.

Länkar

Circumconic Arkiverad 13 april 2017 på Wayback Machine på MathWorld
Inconic Arkiverad 28 augusti 2017 på Wayback Machine på MathWorld