Apollonius pekar

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 januari 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Apolloniuspunkter (ibland isodynamiska centra [1] ) är två sådana punkter, varifrån avståndet till triangelns hörn är omvänt proportionellt mot sidorna som är motsatta till dessa hörn.

Egenskaper

Apolloniuspunkterna är inversionscentrumen som omvandlar den givna triangeln till en liksidig triangel.
Cirklar byggda som en diameter på ett segment som förbinder baserna på de inre och yttre bisektorerna , frigjorda från en vinkel, passerar genom Apollonius-punkterna .
Apollonius-punkterna ligger på linjen som förenar mitten av den omskrivna cirkeln med Lemoine-punkten . Denna linje kallas Brocards axel .
Apolloniuspunkternas subdermala trianglar är regelbundna (ibland tas denna egenskap som en definition).
Den sista egenskapen kan formuleras annorlunda: de tre ortogonala projektionerna av Apollonius-punkterna på sidorna av en given triangel är hörn av en regelbunden triangel .
Apollonius-punkterna är isogonalt konjugerade med Torricelli-punkterna .
Låt oss konstruera två räta linjer, som var och en går genom Apollonius- punkten och Torricelli-punkten , som skiljer sig från dess isogonala konjugat. Sådana linjer kommer att skära i skärningspunkten för medianerna (vid triangelns tyngdpunkt ).

Låt ABC vara en triangel i planet. Cirkeln som passerar genom tyngdpunkten och två Apollonius-punkter i triangeln ABC kallas Parry-cirkeln för triangeln ABC (röd i figuren till höger). Den passerar också genom Parrys punkt (den röda pricken i den svarta ringen).
Betrakta tre sfärer som vidrör planet vid punkter och varandra externt. Om radierna för dessa sfärer är lika , då etc. Därför kommer två sfärer som rör de tre data och planet att röra vid planet vid Apollonius-punkterna . $A, B, C$ $x, y, z$ $AB = \sqrt{xy}$
Neubergkuben är den uppsättning punkter som är Eulerlinjen (dess punkt i oändligheten är fixerad). Det finns mer än 15 anmärkningsvärda punkter på denna kub, i synnerhet Torricelli, Apollonius- punkterna , ortocentrum, centrum av den omskrivna cirkeln, hörn av regelbundna trianglar byggda på sidorna (externt eller internt), punkter som är symmetriska mot hörnen med avseende på sidorna, två Fermat punkter , två isodynamiska punkter , Eulers oändliga punkt, samt mitten av de inskrivna och cirklarna som ligger på alla kuber. I listan är Berhart Gibert Plane Triangle Cube av Neuberg Cube listad som K001 [2] . $X$ $XX'\parallell OH$

Se även

Apollonius av Perga
triangelgeometri
Anmärkningsvärda punkter i triangeln
Apollonius problem
Isodynamiska centra = Isodynamisk punkt (engelska)
Apollonius omkrets
Parera cirkel
Apollonius sats
Torricellis punkter
Point Farm
Triangel
Segment och cirklar associerade med en triangel
Apollonius punkt

Anteckningar

↑ Katarzyna Wilczek. En trilaterals harmoniska centrum och en triangels Apolloniuspunkt // Journal of Mathematics and Applications : journal. - 2010. - Vol. 32 . - S. 95-101 .
↑ K001 på Berhard Gibert's Cubics in the Triangle Plane // [1] Arkiverad 20 augusti 2009 på Wayback Machine

Länkar

Moon, Tarik Adnan (2010), De apolloniska cirklarna och isodynamiska punkter , Mathematical Reflections (nr 6) , < http://awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2010_6/Isodynamic_moon_c.pdf > Arkiverad den 20 april 2013 på Wayback Machine .