Apollonius punkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 juli 2019; kontroller kräver 9 redigeringar .

Apolloniuspunkten Ap är en speciell punkt i en triangel. Den definieras som skärningspunkten för linjerna som förbinder triangelns hörn med kontaktpunkterna för triangelns 3 cirklar med cirkeln omskriven runt dem. Relaterat till Apollonius-problemet . I Encyclopedia of Triangle Centers hänvisas det till som mitten av en triangel under namnet X(181).

Ett exempel på att tillämpa Apollonius-pekaren på lösningen av Apollonius-problemet

Apollonius uppgift är att konstruera en cirkel som tangerar tre givna cirklar med hjälp av en kompass och en rätlinje. En av varianterna av detta problem, när den tredje cirkeln berör de tre inre cirklarna externt, löses genom att introducera Apollonius-punkten Ap [1] [2] .

Apollonius-punkten Ap i Encyclopedia of Triangle Centers kallas triangelns mitt under namnet X(181).
Inom ramen för detta problem är Apollonius cirkel (ej att förväxla med Apollonius cirklar ) en cirkel som berör tre cirklar utanför triangeln internt (se den gröna cirkeln i figuren).

Apollonius omkrets

Definition av Apollonius cirkel

Låt triangeln ABC ges . Låt triangelns ABC cirklar , mittemot hörnen A , B och C , vara respektive E A , E B , E C (se figur). Därefter berör cirkeln av Apollonius E (visad i grönt i figuren till höger) internt tre excirklar av triangeln ABC vid punkterna E A , E B respektive E C (se figur) [3] .

Lösningen på det speciella Apollonius-problemet som nämns ovan är den angivna cirkeln E som tangerar de tre givna cirklarna E A , E B och E C externt.

Radie av Apollonius cirkel

Radien för Apollonius cirkel är , där r är radien för den inskrivna cirkeln och s är triangelns halva omkrets. [fyra] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Definition av Apollonius-punkten Ap

Apollonius-punkten Ap eller X(181) i Encyclopedia of Triangle Centers , som beskrevs 1987, definieras enligt följande:

Låt A' , B' och C' vara tangentpunkterna för Apolloniuscirkeln E med motsvarande excirklar. Sedan skär linjerna AA' , BB' och CC' i en punkt Ap , som kallas Apollonius-punkten i triangeln ABC .

Dess trilinjära koordinater är:

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

Notera

I figuren visas den indikerade punkten för Apollonius Ap som skärningspunkten för tre vinkelräta sidor till triangeln ABC , sänkt från tangentpunkterna A' , B' och C' med motsvarande excirklar i triangeln ABC , bildad av gemensamma parvisa tangentlinjer för de tre cirklarna som nämns ovan E A , E B och E C . Även om denna punkt Ap ligger vid skärningspunkten för de tre segmenten AA' , BB' och CC' , är de inte vinkelräta mot triangelns sidor. Faktum är att dess projektioner till sidorna av triangeln ABC är hörnen på en liksidig triangel, och vinkelräta till sidorna av triangeln skär varandra vid dess ortocentrum. Ortocentrets projektioner på triangelns sidor är inte hörn av en liksidig triangel. Ortocentret och Apolloniuspunkten Ap sammanfaller endast i en liksidig triangel. Andra trianglar stämmer inte överens.

Egenskap

Apolloniuspunktens subdermala triangel är en liksidig triangel .

Trilinjära koordinater

Trilinjära koordinater för Apolloniuspunkten Ap :

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

$=\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2} }}-{\frac {B}{2}}).$

Se även

Apollonius pekar

Anteckningar

↑ Kimberling, Clark Apollonius pekar . Hämtad: 16 maj 2012. (obestämd)
↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. Problem 1091 och lösning // Crux Mathematicorum : journal. - 1987. - Vol. 13 . - S. 217-218 .
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Apolloniuscirkeln som en Tuckercirkel // Forum Geometricorum. - 2002. - Utgåva. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Apollonius-cirkeln och relaterade triangelcentra // Forum Geometricorum. - 2003. - Utgåva. 3 . - S. 187-195. .