Apollonius sats

Inom planimetri är Apollonius sats en formel som uttrycker längden på medianen av en triangel i form av dess sidor. I synnerhet om medianen i någon triangel ABC är AD , då

AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2}).

Detta är ett specialfall av Stewarts teorem . För en likbent triangel reduceras satsen till Pythagoras sats . Från det faktum att diagonalerna i ett parallellogram halverar varandra, kan det bevisas att satsen är ekvivalent med parallellogramidentiteten .

Satsen är uppkallad efter Apollonius av Perga .

Bevis

Satsen kan bevisas som ett specialfall av Stewarts sats eller med hjälp av vektorer (se parallellogramidentitet ). Följande är ett oberoende bevis med hjälp av cosinussatsen [1] .

Låt sidorna av triangeln a , b , c och medianen d dras till sidan a i triangeln. Låt m vara längden på segmenten a som bildas av medianen, det vill säga m är hälften av a . Låt vinklarna mellan a och d vara θ och θ′, där θ innehåller b och θ′ innehåller c . Då är θ′ vinkeln intill θ och cos θ′ = −cos θ. Cosinussatsen för θ och θ′ säger:

{\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2} -2dm\cos \theta '=\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}

Lägger vi till dessa ekvationer får vi

b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}

såsom krävs.

Se även

Anteckningar

↑ Enligt Godfrey & Siddons, 1908

Källor

Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Modern geometri . - University Press, 1908. - S. 20.
Apollonius Theorem (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .