Steiner poäng

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 oktober 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Steiner poäng

Döpt efter	Jacob Steiner
Mediafiler på Wikimedia Commons

Steiner-punkten är en av de stora triangelpunkterna [1] och kallas punkt X(99) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers .

Historik

Jakob Steiner (1796–1863), en schweizisk matematiker, beskrev denna punkt 1826. Denna punkt fick namnet Steiner av Joseph Neuberg 1886 [1] [2] .

Definition

Steinerpunkten definieras enligt följande. (Vi använder en annan metod än vad Steiner själv definierade denna punkt. [1] )

Låt vilken triangel som helst ges . Låt vara dess centrum av den omskrivna cirkeln och vara skärningspunkten för simedianerna . Cirkeln , byggd på som på diametern, är triangelns Brocard-cirkel . En linje som går genom vinkelrät mot linjen skär Brocard-cirkeln vid en annan punkt . En linje som går genom vinkelrät mot linjen skär Brocard-cirkeln vid en annan punkt . En linje som går genom vinkelrät mot linjen skär Brocard-cirkeln vid en annan punkt (triangeln är Brocard- triangeln för triangel ). Låt det vara en linje som går genom en linje parallell med en linje , en linje som går genom en linje parallell med en linje och en linje som går genom en linje parallell med en linje . Sedan alla tre linjerna och skär varandra vid en punkt. Punkten för deras skärningspunkt är Steinerpunkten i triangeln .

ABC

O

K

OK

ABC

O

före Kristus

A'

O

CA

B'

O

AB

C'

A'B'C'

ABC

L_{A}

A

B'C'

L_{B}

B

C'A'

L_{C}

C

A'B'

L_{A}

L_{B}

L_{C}

ABC

Trilinjära koordinater

De trilinjära koordinaterna för Steinerpunkten är

\left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\ frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatörsnamn {cosec} (BC):c^{2}a^{ 2}\operatörsnamn {cosec} (CA):a^{2}b^{2}\operatörsnamn {cosec} (AB))

Egenskaper

Ellipsen omskriven runt en triangel , även kallad Steinerellipsen , är den minsta areaellipsen som passerar genom hörnen , och . Steiner-punkten i triangeln ligger på Steiner-ellipsen omskriven runt triangeln . $ABC$ $A$ $B$ $C$ $ABC$ $ABC$
Honsberger etablerade följande egenskap hos Steinerpunkten : Steinerpunkten i en triangel är masscentrum för systemet som erhålls genom att vid varje vertex hänga upp en massa som är lika med den yttre vinkeln vid denna vertex. [3]
Steiner-punkten har inte denna egenskap. Systemets masscentrum som erhålls genom att vid varje hörn av triangeln hänga upp en massa som är lika med värdet på den yttre vinkeln vid denna vertex är inte en Steinerpunkt . Detta masscentrum kallas triangelns Steiner - kurvaturcentrum och har trilinjära koordinater [4] : $ABC$ $ABC$

\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)

Detta triangulära centrum hänvisas till som X(1115) i Encyclopedia of Triangle Centers .

Simsonlinjen för Steinerpunkten i triangeln är parallell med linjen , där är centrum för den omskrivna cirkeln och är skärningspunkten för tre simedianer ( Lemoine-punkten ) i triangeln . $ABC$ $OK$ $O$ $K$ $ABC$

Tarry Point

Triangelns Tarry-punkt är nära besläktad med Steiner-punkten i triangeln. Låt vara vilken som helst given triangel. En punkt på omkretsen av en triangel som är diametralt motsatt Steinerpunkten i triangeln kallas triangelns Tarry -punkt . Tarry-punkten representerar triangelns mitt och betecknas som mitten X(98) i Encyclopedia of Triangle Centers . De trilinjära koordinaterna för Tarry-punkten är $ABC$ $ABC$ $ABC$

(\operatörsnamn {sek} (A+\omega ):\operatörsnamn {sek} (B+\omega ):\operatörsnamn {sek} (C+\omega ))

var är triangelns Brocard-vinkel . $\omega$ $ABC$

Anteckningar

↑ 1 2 3 Kimberling, Clark Steiner pekar . Hämtad: 17 maj 2012. (obestämd)
↑ J. Neuberg. Sur le point de Steiner (neopr.) // Journal de mathématiques spéciales. - 1886. - S. 29 .
↑ Honsberger, Ross. Episoder i 1800- och nittonhundratalets euklidiska geometri (engelska) . - The Mathematical Association of America, 1965. - S. 119-124.
↑ Eric W., Weisstein Steiner Curvature Centroid . MathWorld—A Wolfram Web Resource. Hämtad 17 maj 2012. (obestämd)

Se även

Steinercentrum är tyngdpunkten för den gaussiska krökningen av ytan på en konvex kropp.