Cirklar av Malfatti

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 mars 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Malfatti- cirklar  är tre cirklar inuti en given triangel så att varje cirkel berör de andra två och två sidorna av triangeln. Cirklarna är uppkallade efter Gianfrancesco Malfatti , som började undersöka problemet med att konstruera dessa cirklar med den felaktiga tron ​​att de summerar till den maximala möjliga arean av tre icke-korsande cirklar inuti en triangel. Malfatti-problemet relaterar till båda problemen, både konstruktionen av Malfatti-cirklar och problemet med att hitta tre icke-korsande cirklar inuti en triangel med maximal total area.

Malfatti problem

År 1803 föreslog Gianfrancesco Malfatti problemet med att hugga ut tre cylindriska kolonner från ett triangulärt marmorprisma på ett sådant sätt att den totala volymen av kolonnerna maximerades. Han trodde, liksom många andra efter honom, att lösningen på problemet ges genom att tre cirklar rör vid varandra. Det vill säga att de tre Malfatti-cirklarna ger den maximala totala arean bland alla icke-korsande cirklar inom en triangel.

Malfatti publicerade verket på italienska, och många kunde inte läsa det i originalet. Verket översattes till franska av Joseph Dias Gergonne i första volymen av Annales (1810-1811), följt av en diskussion i andra och tionde volymen. Men i översättning ställde Gergonne bara problemet med tangentcirklar, men inte problemet med att hitta den maximala arean.

Hypotesen visade sig vara felaktig. År 1930 upptäcktes [1] att i vissa trianglar kan en större yta erhållas med hjälp av en girig algoritm som inskriver en cirkel med maximal radie i triangeln, och sedan inskriver en andra cirkel i en av vinklarna med den minsta vinkeln, och skriver sedan in en tredje cirkel i en av de fem återstående regionerna. Skillnaden i area för en vanlig triangel är liten, drygt 1% [2] men, som Howard Eaves noterade 1946 , för en likbent triangel med en mycket spetsig vinkel i spetsen, de optimala cirklarna (placerade ovanför varandra) , med början från basen) har nästan dubbelt så stor yta jämfört med Malfatti-cirklarna [3] [4] . Det visades 1967 [5] att för vilken triangel som helst ger konstruktionen tre cirklar med en större yta än Malfatti-cirklarna, så Malfatti-cirklarna är aldrig optimala.

1992 [6] klassificerades alla sätt att ordna cirklar med maximal total yta inuti en triangel. Med hjälp av denna klassificering bevisas det att den giriga algoritmen alltid hittar areamaximerande cirklar, och en formel föreslås för att bestämma vilket arrangemang av cirklar som är optimalt för en given triangel. 1997 antogs det att för vilket heltal n som helst, en girig algoritm för en given triangel hittar en uppsättning av n cirklar med den maximala totala arean. Det är känt att gissningen är sann för [7] .

Historik

Problemet med att konstruera tre tangentcirklar inuti en triangel föreslogs av den japanske 1700-talsmatematikern Ajima Naonobu (安島 直円) redan före Malfattis verk, och detta problem inkluderades i en opublicerad samling av Ajimas verk som samlades in ett år efter hans död av en student Kusaka Makoto [8] . Samma problem hittades i ett tidigare manuskript från 1384 av Montepulciano ( Gilio di Cecco da Montepulciano ). Manuskriptet finns i det kommunala biblioteket på italienska Siena [9] .

Sedan Malfattis tid har det förekommit ett stort antal arbeten om metoder för att konstruera Malfattis tangentcirklar. Richard Guy noterade att litteraturen om problemet är "stor, fragmenterad och inte alltid medveten om sin egen existens" [10] [11][ specificera ] . Det är anmärkningsvärt att Jacob Steiner 1826 presenterade en enkel geometrisk konstruktion baserad på vanliga tangenter . Andra författare hävdade att Steiners konstruktion inte var tillräckligt bevisad, och Andrew Searle Hart gav ett bevis 1856, men Guy pekade på beviset i två av Steiners egna papper. Lob och Richmond (Lob, Richmond) nämnde lösningarna från Lemus (CL Lehmus, 1819), Catalan (1845), Derusso (J. Derousseau, 1895), Pampucha (A. Pampuch, 1904) och Coolidge (JL Coolidge, 1916) ), baserat på den algebraiska formuleringen av problemet. Algebraiska lösningar skiljer inte mellan inre och yttre beröring av cirklar och en given triangel. Om problemet är generaliserat och tillåter beröring av något slag, så finns det för en given triangel 32 olika lösningar [12] och vice versa, en trippel av ömsesidigt tangerande cirklar kommer att vara en lösning för åtta olika trianglar [10] . Bottema och Guy ( Bottema, 2001 , Guy, 2007 ) nämnde också arbetet med problemet och dess generaliseringar av Adams (C. Adams, 1846), Adolphe Quidde (1850), Schellbach (KH Schellbach, 1853), Cayley (1854, 1857, 1875), Clebsh (1857), Simons (P. Simons, 1874), Casey (J. Casey, 1888), Roche och Combrus (Rouché, Comberousse, 1900), Baker (HF Baker, 1925), Rogers (LJ) Rogers, 928), Procissi (Angelo Procissi, 1932), Naito (Jun Naito, 1975) och Rogers (DG Rogers, 2005).

Gato och Mazzotti ( Gatto, 2000 , Mazzotti, 1998 ) presenterar en episod i den napolitanska matematiken på 1800-talet kopplat till Malfattis kretsar. År 1839 utlyste Vincenzo Flauti en tävling som involverade lösningen av tre geometriska problem, varav ett var konstruktionen av Malfattis cirklar. Hans mål var att visa överlägsenheten hos den syntetiska tekniken (geometri utan användning av koordinater) över den analytiska. Trots det faktum att lösningen hittades av en elev från en rivaliserande skola för analytisk geometri , Fortunato Padula, gav Flauti priset till sin egen elev, Nicola Trudi, vars lösning Flauti kände till redan innan tävlingen tillkännagavs. Nyligen har problemet med att konstruera Malfatti-cirklar använts för att testa datoralgebrasystem [13] [14] .

Steiners konstruktion

Även om mycket av Malfattis tidiga arbete med cirklar använder analytisk geometri , gav Jacob Steiner 1826 följande enkla geometriska konstruktion.

Mitten av en cirkel som tangerar två sidor av en triangel, som observeras i Malfatti-cirklarna, måste ligga på en av triangelns halvled (gröna segment i figuren). Dessa halvled delar upp triangeln i tre mindre trianglar, och Steiners konstruktion av Malfatti-cirklarna börjar med konstruktionen av tre hjälpcirklar (visade i figuren med prickade linjer) inskrivna i dessa tre trianglar. Varje par av hjälpcirklar har två gemensamma tangenter. En av dessa tangenter är en bisektrik, och den andra visas i figuren med en röd prickad linje. Beteckna triangelns sidor med bokstäverna a , b och c , och tre tangenter som inte är halvledar med bokstäverna x , y och z , där x är en gemensam tangent för cirklar som inte rör sidan a , y är en gemensam tangent för cirklar inte vidrör sidan b , och z är den gemensamma tangenten för cirklar som inte rör sidan c . Sedan är de tre Malfatti- cirklarna de ]15[bczyochaczx,abyxfyrhörningarnatrecirklarna av deinskrivna [10] .

Radieformel

Radien för var och en av de tre Malfatti-cirklarna kan hittas med en formel som använder längderna på sidorna a , b och c i triangeln, radien för den inskrivna cirkeln r , halvperimetern och de tre avstånden d , e och f från mitten av triangelns inskrivna cirkel till hörnen på motsatta sidor a , b respektive c . Formlerna för dessa tre radier är:

(Mittpunkten på radiecirkeln tillhör segmentet ; Radiecirkelns centrum hör till segmentet ; Mitten av cirkelns radie hör till segmentet .)

Enligt Stevanović ( 2003 ) upptäcktes dessa formler av Malfatti och publicerades postumt 1811.

Relaterade formler kan användas för att hitta exempel på trianglar vars sidlängder, incirkelradie och Malfatti-cirkelradier alla är rationella eller heltal. Till exempel, en triangel med sidorna 28392, 21000 och 25872 har en inskriven cirkelradie på 6930 och Malfatti-radier på 3969, 4900 och 4356. Ett annat exempel: en triangel med sidorna 152460, 165000 och 1900000 och 1900000 och 50000 och 19000000 och 1900000 och 2000 radier av 27225, 309076 och [16] .

Points of Ajima - Malfatti

Givet en triangel ABC och dess tre Malfatti-cirklar, låt D , E och F  vara punkterna där de två cirklarna berör varandra, mittemot hörnen A , B respektive C. Sedan skär de tre linjerna AD , BE och CF vid en anmärkningsvärd punkt , känd som den första Ajima-Malfatti-punkten . Den andra punkten i Ajima - Malfatti är skärningspunkten för tre linjer som förbinder kontaktpunkterna för Malfattis cirklar med mitten av triangelns excirklar [17] [18] . Andra triangelcentra associerade med Malfatti-cirklarna inkluderar Iffa-Malfatti-punkten, bildad på samma sätt som den första Malfatti-punkten, från tre ömsesidigt tangerande cirklar och (förlängda) sidor av triangeln, men delvis liggande utanför triangeln, [19] och det radikala centret tre Malfatti-cirklar [20] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Lob, Richmond, 1930 , sid. 287–304.
  2. ↑ Wells, 1991 .
  3. ↑ Eves, 1946 .
  4. ↑ Ogilvy, 1990 .
  5. ↑ Goldberg, 1967 .
  6. ↑ Zalgaller, Los, 1992 , sid. 14-33.
  7. ↑ Andreatta, Bezdek, Boroński, 2010 .
  8. ↑ Fukagawa, Rothman, 2008 .
  9. ↑ Simi, Rigatelli, 1993 .
  10. ↑ 1 2 3 Guy, 2007 .
  11. ↑ Richard K. Guy. Triangeln. - S. 114.
  12. ↑ Bottema, 2001 krediterar Pampuh (1904) med att lista dessa lösningar, men Cajori (1893) anmärkte att antalet lösningar redan angavs 1826 i Steiners anmärkningar.
  13. ↑ Hitotumatu, 1995 .
  14. ↑ Takeshima, Anai, 1996 .
  15. ↑ Martin, 1998 , övning 5.20 på s. 96.
  16. ↑ Miller, 1875 .
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Ajima-Malfatti Points  på Wolfram MathWorld - webbplatsen .
  18. ↑ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Arkiverad 19 april 2012 på Wayback Machine , X(179) och X(180).
  19. ↑ Encyclopedia of Triangle Centers, X(400).
  20. ↑ Stevanovic, 2003 .

Litteratur

Länkar