Radikalt centrum

Radikalcentrum för tre cirklar  är skärningspunkten för de tre radikalaxlarna i par av cirklar. Om det radikala centret ligger utanför alla tre cirklarna, så är det centrum för den enda cirkeln ( radikalcirkeln ) som skär de tre givna cirklarna ortogonalt . Konstruktionen av denna ortogonala cirkel motsvarar Monge-problemet . Detta är ett specialfall av satsen med tre koniska sektioner.

De tre radikalaxlarna skär varandra i en punkt, det radikala mitten, av följande anledning: den radikala axeln i ett par cirklar definieras som den uppsättning punkter som har samma grad h med avseende på båda cirklarna. Till exempel, för vilken punkt P som helst på den radikala axeln för cirklarna 1 och 2, är graderna med avseende på var och en av cirklarna h 1  =  h 2 . På samma sätt måste graderna vara lika med h 2  =  h 3 för varje punkt på den radikala axeln av cirklarna 2 och 3 . Således, vid skärningspunkten för dessa två linjer, måste dessa tre grader sammanfalla: h 1  \  u003d h 2  \  u003d h 3 . Av detta följer att h 1  =  h 3 , och denna punkt måste ligga på den radikala axeln av cirklarna 1 och 3. Således passerar alla tre radikalaxlarna genom en punkt - det radikala centrumet.

Exempel

• Det radikala centret har flera tillämpningar inom geometri. Det spelar en viktig roll i lösningen av Apollonius-problemet , publicerat av Joseph Díaz Gergonne 1814.
• I ett graddiagram av ett system av cirklar, ligger alla hörn i diagrammet vid de radikala mitten av trippel av cirklar.
• Spieker-centrum i en triangel är det radikala mitten av dess tre cirklar [1] .
• Andra radikala centra finns också, som det radikala centret i Lucas kretsar.
• Ortopolen P för den räta linjen ℓ i triangeln är det radikala mitten av tre cirklar som tangerar den räta linjen ℓ och har centra vid spetsarna av den antikomplementära triangeln med avseende på den givna triangeln. [2]

Ortogonalitet

• Två cirklar som skär varandra i räta vinklar kallas ortogonala . Cirklar kan betraktas som ortogonala om de bildar en rät vinkel med varandra.
• Två cirklar som skär varandra på punkter och med centra och kallas ortogonala om de är räta vinklar och . Det är detta tillstånd som garanterar en rät vinkel mellan cirklarna. I detta fall är radierna (normalerna) för de två cirklarna som dras till skärningspunkten vinkelräta. Därför är tangenterna för två cirklar som dras till skärningspunkten också vinkelräta. Cirkelns tangent är vinkelrät mot radien (normal) som dras till kontaktpunkten. Vanligtvis är vinkeln mellan kurvorna vinkeln mellan deras tangenter ritade vid skärningspunkten.
• Det kan finnas ytterligare ett ytterligare villkor. Låt två cirklar som skär varandra i punkterna A och B ha mittpunkter för skärande bågar i punkterna C och D , det vill säga bågen AC är lika med bågen CB , bågen AD är lika med bågen DB . Då kallas dessa cirklar ortogonala om de är räta vinklar СAD och СBD .

Se även

• Tangent linje till cirkel
• cirkel
• radikal axel
• Graden av en punkt i förhållande till en cirkel

Anteckningar

1. ↑ Odenhal, 2010 , sid. 35-40.
2. ↑ College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln. Nathan Altshiller-Court. (Stycke: G. Ortopolen. Övningar. Punkt 6. s. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 sid.

Litteratur

• C. Stanley Ogilvy. Utflykter i geometri . - Dover, 1990. - S.  23 . - ISBN 0-486-26530-7 .
• G.S.M. Coxeter , S.L. Greitzer. Nya möten med geometri. - Moskva: "Nauka", Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur., 1978. - S. 43-48. - (Den matematiska cirkelns bibliotek).
• Johnson RA Advanced Euclidean Geometry: En elementär avhandling om triangelns och cirkelns geometri. — nytryck av 1929 års upplaga av Houghton Miflin. - New York: Dover Publications, 1960. - S. 32-34. - ISBN 978-0-486-46237-0 .
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. - New York: Penguin Books, 1991. - S. 35. - ISBN 0-14-011813-6 .
• Dörrie H. §31 Monges problem // 100 stora problem i elementär matematik: deras historia och lösningar. - New York: Dover, 1965. - S. 151-154.
• Lachlan R. En elementär avhandling om modern ren geometri. - London: Macmillan, 1893. - S. 185.
• Boris Odenhal. Några triangelcentrum associerade med cirklarna som tangerar excirklarna // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Länkar

• Weisstein, Eric W. Radical Center  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Weisstein, Eric W. Radical Circle  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Weisstein, Eric W. Monges problem  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Radical Center på Cut-the-Knot
• Radikal axel och centrum vid Cut-the-Knot