Miquels teorem

Miquels sats är ett påstående inom planimetri relaterat till skärningspunkten mellan tre cirklar byggda runt hörn av en triangel. Uppkallad efter den franske matematikern Auguste Miquel [1] . Detta teorem är ett av flera resultat om cirklar i geometri som erhållits av Michele och publicerats av honom i Journal de mathématiques pures et appliquées .

Formulering

Låta vara en triangel med godtyckliga punkter , och respektive på sidorna , och (eller på deras förlängningar). Vi beskriver tre cirklar runt trianglarna , , och Miquels sats säger att dessa tre cirklar kommer att skära varandra vid en punkt , kallad Miquels punkt . Dessutom kommer tre vinklar att vara lika med varandra (markerade i figuren). [2] [3] $ABC$ $A'$ $B'$ $C'$ $BC$ $AC$ $AB$ $AB'C'$ $A'BC'$ $A'B'C.$ $M$ $\angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A$

Specialfall

Om Mikels punkt är mitten av triangelns omskrivna cirkel, och diametrarna för de tre Mikels cirklarna är lika med radien för triangelns omskrivna cirkel, och var och en av de tre Mikels cirklarna passerar genom en gemensam punkt för dem - mitten av omskriven cirkel, och även genom två projektioner av detta centrum på triangelns sidor och genom en av tre hörn, då är radierna för de tre Miquel-cirklarna desamma.

Se även

Mikels poäng - ännu ett Mikel-resultat

Anteckningar

↑ Ostermann & Wanner (2012) , sid. 94.
^ Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 1: 485–487 , < http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3 > Arkiverad år 2013.
↑ Wells, 1991 , sid. 184 - Wells hänvisar till Miquels sats som pivotsatsen

Litteratur

Coxeter, HSM & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , vol. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H.G. (1960), Geometry , London: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5:e upplagan), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6