Centrallinje

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 januari 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

Centrallinjer är några speciella linjer associerade med en triangel och som ligger i triangelns plan. Den speciella egenskap som särskiljer linjer som centrala linjer manifesteras genom ekvationen av en linje i trilinjära koordinater . Denna speciella egenskap är också relaterad till begreppet centrum av en triangel . Begreppet centrallinje introducerades av Clark Kimberling i ett papper publicerat 1994 [1] [2] .

Definition

Låt ABC  vara en triangel, och låt ( x  : y  : z ) vara de trilinjära koordinaterna för en godtycklig punkt i triangelns ABC -plan . En rät linje i triangelns ABC -plan kommer att vara mittlinjen i triangeln ABC om dess ekvation i trilinjära koordinater är

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0

där punkten med trilinjära koordinater ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ) : h ( a , b , c )) är mitten av plan triangel ABC. [3] [4] [2]

Centrallinjer som trilinjära polärer

Geometriskt kan förhållandet mellan centrallinjen och dess associerade centrum uttryckas med termen trilinjär polär och isogonal konjugation . Låt X = ( u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c )) vara triangelns centrum. Då är ekvationen för den trilinjära polaren i det triangulära centrumet X [5] [2]

x / u ( a , b , c ) + y / v ( a , b , c ) y + z / w ( a , b , c ) = 0.

På liknande sätt är Y = (1/ u ( a , b , c ): 1/ v ( a , b , c ): 1/ w ( a , b , c )) den isogonala konjugationen av mitten av X.

Alltså den centrala linjen som beskrivs av ekvationen

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0,

är en trilinjär polär under isogonal konjugering av centrum ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )).

Konstruktion av centrala linjer

Låt X  vara valfritt centrum i triangeln ABC .

• Låt oss rita linjerna AX , BX och CX och konstruera deras reflektioner med avseende på triangelns vinkelhalveringslinje vid hörnen A , B , C .
• De reflekterade linjerna kommer att skära varandra, och deras skärningspunkt kommer att vara den isogonala konjugationen Y för punkten X .
• Låt cevianerna AY , BY , CY skära motsatta sidor av triangeln ABC i punkterna A' , B' , C' . Då är triangeln A'B'C' den cevianska triangeln för punkten Y .
• Triangel ABC och ceviatriangel A'B'C' är i perspektiv, och låt linjen DEF  vara perspektivaxeln för de två trianglarna. Linje DEF är den trilinjära polära punkten Y . Linje DEF  är den centrala linjen associerad med mitten X .

Några nominella centrala linjer

Låt X n  vara det n :e triangelcentrumet i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers . Den centrala linjen associerad med Xn betecknas som Ln. Några nominella mittlinjer ges nedan.

Den centrala linjen associerad med X 1 , det vill säga med centrum av den inskrivna cirkeln: anti-ortaxeln

Den centrala linjen associerad med mitten X 1 = (1 : 1 : 1) (även kallad I ) ges av ekvationen

x + y + z = 0.

Denna linje är anti-ortaxeln för triangeln ABC . [6]

• Mitten isogonalt konjugerat med triangeln ABC :s centrum är själva mitten . Således är antiorth-axeln, som är den centrala linjen som är associerad med centrum , perspektivaxeln för triangeln ABC och den ceviantriangeln för triangelns centrum ABC .
• Antiortaxeln för triangeln ABC är perspektivaxeln för triangeln ABC och triangeln med mittpunkten för tre cirkelcirklar ( triangel med tre yttre bisektrar ) I 1 I 2 I 3 i triangeln ABC . [7]
• En triangel vars sidor externt berör de tre mittpunkterna i triangeln ABCs excirklar är den externt tangentiella triangeln ( extangensstriangeln ) i triangeln ABC . Triangeln ABC och dess externt tangentiella triangel är i perspektiv, och deras perspektivaxel är triangelns ABCs antiortaxel .

Den centrala linjen associerad med X 2 , dvs tyngdpunkten : Lemoine - axeln

De trilinjära koordinaterna för tyngdpunkten X 2 (även betecknad som G ) i triangeln ABC är (1 / a  : 1 / b  : 1 / c ). Sålunda ges den centrala linjen associerad med tyngdpunkten (tyngdpunkten) i trilinjära koordinater av ekvationen

x / a + y / b + z / c = 0.

Denna linje är Lemoine-axeln för triangeln ABC .

• Punkten som är isogonalt konjugerad till tyngdpunkten X 2 är Lemoine-punkten X 6 (skärningspunkten för tre symmetriska trianglar) (även betecknad som K ), som har trilinjära koordinater ( a  : b  : c ). Således är Lemoine-axeln för triangeln ABC den trilinjära polen av skärningspunkten för symmedianerna i triangeln ABC .
• Den tangentiella triangeln i triangeln ABC är triangeln T A T B T C , som bildas av tangenterna till cirkeln av triangeln ABC vid dess hörn. Triangeln ABC och dess tangentiella triangel är i perspektiv, och deras perspektivaxel är Lemoine-axeln för triangeln ABC .

Den centrala linjen associerad med X 3 , det vill säga med centrum av den omskrivna cirkeln: Orthic axel

De trilinjära koordinaterna för mitten av den omskrivna cirkeln X 3 (även betecknad som O ) i triangeln ABC är (cos A  : cos B  : cos C ). Den centrala linjen som är associerad med centrum av den omskrivna cirkeln i trilinjära koordinater ges av ekvationen

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Denna linje är triangelns ABC höjdaxel . [åtta]

• Den isogonala konjugationen av centrum av den omskrivna cirkeln X 6 är ortocentrum X 4 (även betecknad som H ), som har trilinjära koordinater (sek A  : sek B  : sek C ). Således är höjdaxeln för triangeln ABC den trilinjära polen av ortocentret för triangeln ABC . Höjdaxeln för triangeln ABC är perspektivaxeln för triangeln ABC och dess ortotriangel H A H B H C .

Den centrala linjen associerad med X 4 , det vill säga med ortocentret

De trilinjära koordinaterna för ortocentrum X 4 ((även betecknad som H ) i triangeln ABC är (sek A  : sek B  : sek C ). Den centrala linjen som är associerad med centrum av den omskrivna cirkeln i trilinjära koordinater ges av ekvation

x sek A + y sek B + z sek C = 0.

• Den isogonala konjugationen av en triangels ortocentrum är mitten av triangelns omskrivna cirkel. Sålunda är den centrala linjen associerad med ortocentret den trilinjära polar av centrum av den omskrivna cirkeln.

Den centrala linjen associerad med X 5 , det vill säga med mitten av cirkeln med nio punkter

De trilinjära koordinaterna för cirkelns centrum av nio punkter X 5 (även betecknad N ) i triangeln ABC är (cos ( B − C ) : cos ( C − A ): cos ( A − B )). [9] . Sålunda ges den centrala linjen som är associerad med mitten av cirkeln med nio punkter i trilinjära koordinater av ekvationen

x cos ( B − C ) + y cos ( C − A ) + z cos ( A − B ) = 0.

• Den isogonala konjugationen av triangelns ABCs niopunktscirkelcentrum är Kosnitepunkten X 54 i triangeln ABC . [10] [11] . Således är den centrala linjen som är associerad med mitten av niopunktscirkeln den trilinjära polar för Kosnite-punkten.
• Kosnite-punkten är konstruerad enligt följande. Låt O  vara mitten av den omskrivna cirkeln av triangeln ABC . Låt O A , O B , O C vara centrum för  omslutna cirklar av trianglar BOC , COA , AOB respektive . _ _ _ _ Dess namn är förknippat med J. Rigby. [12]

Den centrala linjen associerad med X 6 , det vill säga med skärningspunkten för symmedianerna: linjen i oändligheten

De trilinjära koordinaterna för skärningspunkten för tre symmedianer ( Lemoine-punkten ) X 6 (även betecknad som K ) för triangeln ABC är ( a  : b  : c ). Sålunda ges den centrala linjen associerad med skärningspunkten för tre symmedianer i trilinjära koordinater av ekvationen

a x + b y + c z =0.

• Denna linje är en rät linje i oändligheten i triangelns ABC -plan .
• Det isogonala konjugatet av symmedianen för triangeln ABC är tyngdpunkten för triangeln ABC . Sålunda är den centrala linjen associerad med skärningspunkten för symmedianerna den trilinjära polära tyngdpunkten. Det är perspektivaxeln för triangeln ABC och dess ytterligare triangel (det är också mediantriangeln = mediantriangeln).

Några andra nominella centrala linjer

Eulers rad

Eulerlinjen i triangeln ABC är den linje som går genom tyngdpunkten, ortocentrum och mitten av den omskrivna cirkeln av triangeln ABC . Dess ekvation i trilinjära koordinater är

x sin 2 A sin ( B − C ) + y sin 2 B sin ( C − A ) + z sin 2 C sin ( C − A ) = 0.

Detta är den centrala linjen associerad med punkt X 647 .

Brocards axel

Brocards axel för triangeln ABC är en rät linje som går genom mitten av triangelns omskrivna cirkel och skärningspunkten för de tre symmedianerna i triangeln ABC . Dess ekvation i trilinjära koordinater är

x sin ( B  - C ) + y sin ( C  - A ) + z sin ( A  - B ) = 0.

Denna centrallinje är ansluten till centrum X 523 .

Se även

• Trilinjära triangelpolare
• Pol och polar

Anteckningar

1. ↑ Kimberling, Clark. Centrala punkter och centrala linjer i en triangels plan  // Mathematics Magazine  : magazine  . - 1994. - Juni ( vol. 67 , nr 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark. Triangelcentra och centraltrianglar  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - S. 285.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Central Line . Från MathWorld -- En Wolfram webbresurs . Hämtad: 24 juni 2012. (obestämd)
4. ↑ Kimberling Clark Ordlista: Encyclopedia of Triangle Centers . Hämtad: 24 juni 2012. (obestämd)
5. ↑ Weisstein, Eric W. Trilinear Polar . Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. . Hämtad: 28 juni 2012. (obestämd)
6. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. . Hämtad: 28 juni 2012. (obestämd)
7. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . Från MathWorld -- En Wolfram webbresurs . Hämtad: 26 juni 2012. (obestämd)
8. ↑ Weisstein, Eric W. Orthic Axis . Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. . (obestämd)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Nio-Point Center . Från MathWorld - En Wolfram webbresurs. . Hämtad: 29 juni 2012. (obestämd)
10. ↑ Weisstein, Eric W. Kosnita Point . Från MathWorld -- En Wolfram webbresurs . Hämtad: 29 juni 2012. (obestämd)
11. ↑ Darij Grinberg. På Kosnita-punkten och reflektionstriangeln  // Forum  Geometricorum : journal. - 2003. - Vol. 3 . - S. 105-111 .
12. ↑ J. Rigby. Korta anteckningar om några bortglömda geometriska teorem  (neopr.)  // Mathematics & Informatics Quarterly. - 1997. - T. 7 . - S. 156-158 .