Pol och polar

Polaren för en punkt P med avseende på en icke-degenererad kurva av andra ordningen  är uppsättningen av punkter N som är harmoniskt konjugerade till punkten P med avseende på punkterna M 1 och M 2 i skärningspunkten för andra ordningens kurva av sekanter som passerar genom punkten P [1] .

Polaren är en rak linje. Punkten P kallas polarens pol . Varje icke-degenererad linje av 2:a ordningen definierar en bijektion av punkter i det projektiva planet och en uppsättning av dess linjer - polaritet eller polär transformation .

Egenskaper

• Om punkten P ligger "utanför" linjen av 2:a ordningen (det vill säga två tangenter till linjen kan dras genom punkten P ), så passerar polaren genom 2 kontaktpunkter av denna linje av 2:a ordningen med rak linjer dragna genom punkten P. Till exempel, i fig. konstruktionen av polaren för punkt P relativt den röda cirkeln i form av ett blått ackord NN' visas till höger . Visad är 1 grön tangent PN till den.
• Om punkten P ligger på en kurva av 2:a ordningen, så är polaren en rät linje som tangerar den givna kurvan vid denna punkt.
• Den polära punkten P passerar genom sin inversion med avseende på motsvarande kurva. Dessutom, om polaren skär denna kurva vid två punkter, är inversionen mittpunkten av ett ackord som slutar vid dessa punkter. Till exempel, i fig. till höger P' är inversionen av punkten P med avseende på den röda cirkeln.
• Polarna för alla punkter som ligger på en rät linje som går genom mitten av motsvarande kurva är parallella med varandra. I fallet med en parabel anses centrum vara i oändligheten, linjen måste vara parallell med sin axel.
• Om polären för punkten P passerar genom punkten Q , så passerar polären av punkten Q genom punkten P.

Trilinjära triangelpolärer

Om vi ​​fortsätter sidorna av en ceviansk triangel av någon punkt och tar deras skärningspunkter med motsvarande sidor, kommer de resulterande skärningspunkterna att ligga på en rät linje, kallad den trilinjära polar av den ursprungliga punkten.

• Ortocentrisk axel  - trilinjär polär av ortocenter
• Den trilinjära polar i mitten av den inskrivna cirkeln är axeln för de yttre bisektorerna .
• Trilinjära polarer av punkter som ligger på den omskrivna koniska skärningen vid en punkt (för den omskrivna cirkeln är detta Lemoine-punkten , för den omskrivna Steinerellipsen  är det tyngdpunkten ) .
• En cevian triangel  är en triangel vars tre hörn är de tre cevianska baserna i den ursprungliga triangeln.

Historik

Termen "polär" introducerades av Gergonne .

Variationer och generaliseringar

Det polära (polära planet) för en viss punkt med avseende på en icke-degenererad yta av 2:a ordningen definieras på liknande sätt.

Konceptet med en polär med avseende på en linje av andra ordningen generaliseras till linjer av n :te ordningen. I detta fall är en given punkt i planet associerad med n -1 polärer relativt linjen av n :te ordningen. Den första av dessa polärer är en ordningslinje n -1, den andra, som är polären för en given punkt i förhållande till den första polären, har ordningen n -2, etc., och slutligen ( n -1) den polära är en rak linje.

• Den trilinjära polären av punkten Y , isogonalt konjugerad med punkten X , kallas den centrala linjen i punkten X.
• Begreppet centrallinje i punkt X introducerades av Clark Kimberling i hans artiklar [2] [3] .

Se även

• Trilinjära triangelpolare
• Mittlinje (geometri)

Anteckningar

1. ↑ Savelov A. A. Anmärkningsvärda kurvor. Tomsk: Kr. banderoll, 1938
2. ↑ Kimberling, Clark. Centrala punkter och centrala linjer i en triangels plan  // Mathematics Magazine  : magazine  . - 1994. - Juni ( vol. 67 , nr 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
3. ↑ Kimberling, Clark. Triangelcentra och centraltrianglar  (neopr.) . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - S. 285.

Litteratur

• S. Ts Kharalampiev, Pol och polar med avseende på en cirkel ,  Kvant . - 1986. - Nr 7 . - S. 32-34 .
• Efimov N.V., Higher geometri , 6:e upplagan, M., 1978;
• Postnikov M. M., Analytisk geometri , M., 1973