Torricellis punkter

Torricelli-punkter  är två punkter från vilka alla sidor i en triangel är synliga antingen i en vinkel på 60° eller i en vinkel på 120°. Dessa punkter i triangeln är "parade". Dessa punkter kallas ibland Fermat -punkter eller Fermat-Torricelli-punkter .

• De två Torricelli-punkterna  är skärningspunkterna för linjesegmenten som förbinder triangelns hörn:
  • med motsvarande fria hörn av liksidiga trianglar byggda på motsatta sidor av triangeln (utåt) - Torricellis första punkt
  • med motsvarande fria hörn av regelbundna trianglar byggda på motsatta sidor inuti triangeln - den andra Torricelli-punkten .

Egenskaper

• Den första punkten på Torricelli  är den punkt i triangeln från vilken alla sidor ses i en vinkel på 120° (per definition).
• Den första Torricelli-punkten har den minsta summan av avstånden till triangelns hörn. Det finns endast i trianglar med vinklar mindre än 120°; dessutom är den unik och är därför ett specialfall av Fermat-punkten som finns i vilken triangel som helst.
• De två Torricelli-punkterna och Lemoine-punkten ligger på samma linje.
• Torricelli-punkterna är isogonalt konjugerade med Apollonius-punkterna .
• Vi konstruerar två linjer, som var och en går genom Apollonius- punkten och Torricelli-punkten, som skiljer sig från dess isogonala konjugat . Sådana linjer kommer att skära i skärningspunkten för medianerna (vid triangelns tyngdpunkt ).
• Lesters sats [1] . I vilken skalentriangel som helst ligger de två Torricelli-punkterna , mitten av de nio punkterna och mitten av den omskrivna cirkeln på samma cirkel ( cirkeln av Leicester ).

En Kiepert hyperbel  är en avgränsad hyperbel som passerar genom en tyngdpunkt och ett ortocenter . Om vi ​​bygger liknande likbenta trianglar på sidorna av en triangel (utåt eller inåt) och sedan kopplar deras hörn till den ursprungliga triangelns motsatta hörn, kommer tre sådana linjer att skära varandra vid en punkt, som ligger på Kiepert-hyperbolen. I synnerhet på denna hyperbel ligger Torricelli-punkterna och Napoleon -punkterna (Cevian skärningspunkter som förbinder hörnen med mitten av regelbundna trianglar byggda på motsatta sidor) [2] .

Notera

Förresten, i den första figuren till höger är mitten av de tre liksidiga trianglarna själva hörnen på en ny liksidig triangel ( Napoleons sats ). Dessutom .

Litteratur

• Point Farm
• Peka Torricelli
• Praktiskt exempel på att konstruera Fermats punkt  (engelska)
• Anmärkningsvärda punkter i triangeln
• Fermat-Torricelli-problemet och dess utveckling// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
• * Dm. Efremov. Ny triangelgeometri 1902
• Protasov V. Yu Maxima och minima i geometri . — M. : MTsNMO. — 56 sid. - (Bibliotek "Mathematical Education", nummer 31).

Se även

• Anmärkningsvärda punkter i triangeln
• triangelgeometri
• Cirkel
• Leicester omkrets
• rät triangel
• Andra Farm Point
• Van Obels teorem
• Point Farm
• Apollonius pekar
• Triangel
• Segment och cirklar associerade med en triangel

Anteckningar

1. ↑ Yiu, 2010 , sid. 175–209.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 125-126.

Litteratur

• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry och deras generaliseringar  // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .