Lesters sats

Leicesters sats är ett uttalande i en triangels geometri , enligt vilket i varje skalentriangel två Fermats punkter , mitten av nio punkter och mitten av den omskrivna cirkeln ligger på en cirkel ( Leicesters cirkel ). Uppkallad efter den kanadensiska matematikern June Lester .

Bevis

Hilberts bevis med Kiepert-hyperbolen

Leicesters cirkelsats följer av ett mer allmänt uttalande av B. Gibert (2000), nämligen att varje cirkel vars diameter är ett korda av en triangels Kiepert-hyperbol och är vinkelrät mot dess Eulerlinje passerar genom Fermat-punkterna [1] [2] .

Lemma Dao på en rektangulär hyperbel

2014 visade Dao Thanh Oai (Đào Thanh Oai) att Giberts resultat följer av egenskaperna hos rätvinkliga hyperboler . Nämligen, låt punkterna och ligga på samma gren av den rektangulära hyperbeln , och och vara två punkter på , symmetriska om dess centrum (antipodpunkter), där tangentlinjerna till är parallella med linjen . $H$ $G$ $S$ ${\displaystyle F_{+))$ $F_{-}$ $S$ $S$ $HG$

Låta och vara två punkter på hyperbeln vars tangentlinjer skär varandra i en punkt på linjen . Om linjen skär vid punkten , och vinkelrät i mitten av segmentet skär hyperbeln vid punkterna och , sedan sex punkter ligger på en cirkel [3] . ${\displaystyle K_{+))$ ${\displaystyle K_{-))$ $E$ $HG$ $K_{+}K_{-}$ $HG$ $D$ $DE$ ${\displaystyle G_{+))$ $G_{-}$ $F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}$

För att erhålla Lesters sats från detta resultat är det nödvändigt att ta triangelns Kiepert-hyperbol som punkterna , Fermatpunkterna som punkterna, de inre och yttre punkterna i Vecten , punkterna kommer att vara triangelns ortocentrum och tyngdpunkt [ 3] . $S$ $F_{+},F_{-}$ $K_{+},K_{-}$ $H,G$

Se även

Anteckningar

↑ B. Gibert (2000): [Meddelande 1270] . Inlägg i Hyacinthos onlineforum, 2000-08-22. Tillträde 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Arkiverad 7 oktober 2021 på Wayback Machine . Forum Geometricorum, volym 10, sid 175-209. MR : 2868943
↑ 1 2 Đào Thanh Oai (2014), Ett enkelt bevis på Giberts generalisering av Lester Circle Theorem Arkiverad 10 oktober 2015 på Wayback Machine Forum Geometricorum, volym 14, sidorna 201-202. MR : 3208157

Litteratur

Clark Kimberling. Lester Circle // Matematiklärare. - 1996. - T. 89 , nr. 26 .
June A. Lester. Trianglar III: Komplexa triangelfunktioner // Aequationes Mathematicae. - 1997. - T. 53 . — S. 4–35 .
Michael Trott. Tillämpa GroebnerBasis på tre problem i geometri // Mathematica in Education and Research. - 1997. - T. 6 . — S. 15–28 .
Ron Shail. Ett bevis på Lesters sats // Mathematical Gazette. - 2001. - T. 85 . — S. 225–232 .
John Rigby. Ett enkelt bevis på Lesters sats // Mathematical Gazette. - 2003. - T. 87 . — S. 444–452 .
JA Scott. Om Lestercirkeln och den arkimedeiska triangeln // Mathematical Gazette. - T. 89 . — S. 498–500 .
Michael Duff. Ett kort projektivt bevis på Lesters sats // Mathematical Gazette. - T. 89 . — S. 505–506 .
Stan Dolan. Man kontra dator // Matematisk tidning. - T. 91 . — S. 469–480 .

Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry och deras generaliseringar // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 . — S. 175–209 .

Länkar

The Lester Circle Detaljer om dess upptäckt. (Engelsk)
Lester Circle på MathWorld
Mitten av Pohoata-Dao-Moses-cirklarna X(5607) och X(5608 )