Carnot formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 april 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Carnot-formeln är en triangelgeometrisats som relaterar summan av avstånden från en godtycklig punkt i planet till 3 sidor av en triangel och radierna för dess inskrivna och omskrivna cirklar. Uppkallad efter Lazar Carnot ( 1753-1823 ) .

Formulering

Låt D vara mitten av den omskrivna cirkeln av triangeln ABC .

Då blir summan av avstånden från D till sidorna av triangeln ABC , taget med ett minustecken, när höjden från D till sidan ligger helt utanför triangeln, lika med , där r är radien för den inskrivna cirkeln och R är den omslutna cirkeln. $R+r$

Särskilt

\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,

med rätt teckenval [1] :s.83 .

Annan formulering

Carnot formel [2] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

var är avstånden från centrum av den omslutna cirkeln respektive till sidorna av triangeln (de är tagna med ett tecken beroende på vilken sida som mitten är på), och är avstånden från ortocentrum respektive till hörnen på triangeln. ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a,b,c$ ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C))$ $A,B,C$

Avståndet från mitten av den omskrivna cirkeln , till exempel, till sidan av triangeln är: $a$

k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg)) A);

avståndet från till exempel ortocentrum till triangelns vertex är: $A$

d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg)) A)

Anteckningar

Beviset för satsen använder Ptolemaios sats .
Carnots formel kallas ofta Carnots sats [3] .

Konsekvenser

Japansk inskriven polygonsats : [3] Om en inskriven -gon skärs i trianglar med disjunkta diagonaler, så beror summan av radierna av deras inskrivna cirklar inte på skärningsmetoden. $n$ $n-2$
- Dessutom är en konvex -gon inskriven om detta villkor är uppfyllt. $n$

Summan av radierna för de gröna och röda cirklarna är lika.

Anteckningar

↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Zetel S. I. Ny geometri för en triangel. En guide för lärare. 2:a upplagan. M.: Uchpedgiz, 1962. problem på sid. 120-125. paragraf 57, s.73.
↑ 1 2 Honsberger, 1990 .

Se även

Carnot-kriteriet

Litteratur

Honsberger R. En gammal japansk teorem // Kvant . - 1990. - Nr 7 . - S. 54-57 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Carnots teorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .