Kristallografisk punktsymmetrigrupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En kristallografisk punktsymmetrigrupp är en punktsymmetrigrupp som beskriver en kristalls makrosymmetri . Eftersom endast 1, 2, 3, 4 och 6 ordningsföljder av axlar (roterande och felaktig rotation) är tillåtna i kristaller, är endast 32 av hela det oändliga antalet punktsymmetrigrupper kristallografiska.

Notation

Symbolism of Bravais

Det används huvudsakligen i utbildningssyfte och handlar om att lista alla delar av en punktgrupp. Roterande symmetriaxlar betecknas med bokstaven L med ett sänkt n som motsvarar axelns ordning ( ) — , , , och . Inverterade axlar (en kombination av rotation med inversion) betecknas med bokstaven Ł med en nedsänkt n som motsvarar axelordningen ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 och Ł 6 . Den första ordningens inversionsaxel (inversionscentrum) betecknas med symbolen C. Den andra ordningens inversionsaxel är helt enkelt symmetriplanet och betecknas vanligtvis med symbolen P. För att förfina orienteringen av planet i förhållande till huvudaxeln kan olika index användas, till exempel || och ⊥. Till exempel betecknar symbolen L 2 P ⊥ C en grupp som består av en andra ordningens axel och ett plan vinkelrätt mot denna (och, som en konsekvens av deras interaktion, inversionscentrum), och symbolen L 2 2 P | | - en grupp som består av en andra ordningens axel och två plan parallella med den (även om i fallet med endast parallella plan, är symbolen || vanligtvis utelämnad och blir L 2 2 P ). Symbol L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C betecknar en grupp som består av en fjärde ordningens axel, fyra andra ordningens axlar vinkelräta mot den, fyra plan parallella med den, en vinkelrät mot planet och inversionscentrum. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

Symbolism of Schoenflies

Schoenflies- symboliken är baserad på klassificeringen av punktgrupper efter familjer och används i stor utsträckning för att beteckna alla punktgrupper i allmänhet, och inte bara kristallografiska.

En familj av grupper med en enda roterande axel betecknas med den latinska bokstaven C med ett index som anger axelns ordning. Kristallografiska inkluderar C1 , C2 , C3 , C4 och C6 . _ _ _ _

Tillägget av ett horisontellt plan till grupperna Cn betecknas med tilläggsindexet h . Vi får grupperna C 2h , C 3h , C 4h och C 6h .

Tillägget av vertikala plan till grupperna Cn betecknas med tilläggsindexet v . Grupperna C 2v , C 3v , C 4v och C 6v .

Eftersom det inte finns några speciella riktningar i C1 - gruppen kan det adderade planet inte karakteriseras som vertikalt eller horisontellt. Ett sådant plan betecknas med indexet s . Således är symbolen för en grupp som består av ett symmetriplan C s ( tysk spegel - spegel).

Grupper med axlar av andra ordningen, vinkelräta mot huvudaxeln, betecknas med bokstaven D med ett index som visar ordningen för den roterande huvudaxeln. De kristallografiska är D2 , D3 , D4 och D6 . _ _

Tillägget av ett horisontellt plan till grupperna Dn betecknas, som i fallet med Cn , med ett ytterligare index h . Grupperna är D 2h , D 3h , D 4h och D 6h .

Tillägget av vertikala plan till grupperna Dn är tvetydigt , eftersom planen kan placeras både mellan andra ordningens horisontella axlar och sammanfalla med dem. I det första fallet läggs indexet d till , vilket anger det diagonala arrangemanget av planen (diagonalt mellan riktningarna för andra ordningens axlar). Kristallografiska grupper D 2d och D 3d erhålls . I D nd - grupperna leder interaktionen mellan andra ordningens horisontella axlar och vertikala spegelplan till uppkomsten av en spegelaxel av ordningen 2n . Därför är grupperna D4d och D6d inte kristallografiska, eftersom de innehåller spegelaxlar av ordningen 8 respektive 12. Lägga till grupperna D n vertikala plan längs andra ordningens axlar genererar ett horisontellt symmetriplan och grupperna D nh som beskrivits ovan erhålls

Grupper som består av en spegelaxel betecknas med symbolen Sn . För udda n är spegelaxeln ekvivalent med närvaron av en rotationsaxel av ordningen n och ett plan vinkelrätt mot den, det vill säga gruppen C nh , därför är indexet n alltid jämnt i grupperna S n . Dessa inkluderar S 2 (en grupp som endast består av inversionscentrum), S 4 och S 6 . Vilken spegelaxel som helst kan beskrivas på samma sätt som inversionsaxeln, därför är en alternativ beteckning för dessa grupper Cni , där n är ordningen på inversionsaxeln. Ci = S 2 , C 4i = S 4 och C 3i = S 6 erhålls .

Kristallografiska punktgrupper i vilka det finns flera axlar av högre ordning (det vill säga mer än två ordningar) betecknas med symbolerna T eller O , beroende på de rotationsaxlar som finns i dem. Ytterligare index h och d indikerar närvaron av horisontella (och vertikala) och diagonala symmetriplan. Om gruppen endast innehåller rotationsaxlar av 2:a och 3:e ordningen, betecknas gruppen med symbolen T (eftersom en sådan kombination av rotationsaxlar finns i tetraedern). Om gruppen endast innehåller rotationsaxlar av 2, 3 och 4 ordningar, betecknas gruppen med symbolen O (eftersom en sådan kombination av rotationsaxlar finns i oktaedern). Tillägget av horisontella symmetriplan leder till grupperna T h och O h ( O h är kubens och oktaederns symmetrigrupp). Båda grupperna innehåller både horisontella och vertikala plan. Att lägga till diagonala plan till gruppen T leder till gruppen T d (tetraederns symmetrigrupp). Gruppen O d existerar inte, eftersom att lägga till diagonala plan till gruppen O kommer att leda till att gränssymmetrigruppen för en boll innehåller alla möjliga rotationer och reflektioner.

Schoenflies notation används i gruppteori , fysik och kristallografi . I Schoenflies symbolism används endast generativa symmetrielement (det vill säga från vilka alla andra symmetrielement i gruppen kan härledas). Beteckningarna är oföränderliga med avseende på valet av koordinatsystemet, vilket både är en fördel när vi helt enkelt är intresserade av systemets symmetri, och en nackdel om orienteringen av symmetrielementen i punktgruppen är viktig m.h.t. andra objekt, till exempel kristallkoordinatsystemet, eller med avseende på axlarna rymdgruppen Bravais gitter . Därför används Hermann-Mogen-symboler oftare i kristallografi, särskilt för att beskriva rymdgrupper.

Symbolism of Hermann - Mogen (internationell symbolism)

Herman-Mogen-symbolen betecknar symmetriskt icke-likvärdiga symmetrielement. Roterande symmetriaxlar indikeras med arabiska siffror - 1, 2, 3, 4 och 6. Inversionsaxlar indikeras med arabiska siffror med ett streck överst - 1 , 3 , 4 och 6 . I detta fall betecknas axeln 2 , som helt enkelt är ett symmetriplan, med symbolen m (engelsk spegel - spegel). Riktningen på planet är riktningen vinkelrät mot det (det vill säga 2 -axeln ). Spegelyxor används inte i internationella symboler. Elementets orientering relativt koordinataxlarna ges av elementets position i gruppsymbolen. Om riktningen för symmetriaxeln sammanfaller med planets riktning, skrivs de i samma position som en bråkdel. Om inversionsaxeln har en större symmetri än rotationsaxeln som sammanfaller med den, indikeras det i symbolen (det vill säga de skriver inte , utan 6 ; om det finns ett inversionscentrum i gruppen, inte 3, utan 3 ). $\color {Svart}{\tfrac {3}{m}}$

Den lägsta kategorin är punktgrupper, där den maximala ordningen för varje axel (roterande eller felaktig rotation) är lika med två. Den inkluderar grupperna 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 och . Om det finns tre positioner i gruppsymbolen, då $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

på 1:a positionen - riktning längs X-axeln

i 2:a positionen - riktning längs Y-axeln

i 3:e positionen - riktning längs Z-axeln

I en anpassad uppsättning kan mm2-gruppen skrivas som m2m eller som 2mm. På samma sätt kan grupperna 2, m och skrivas mer detaljerat - vilket indikerar längs vilken koordinataxel riktningen för andra ordningens axel och / eller planet går. Till exempel 11m, 1m1 eller m11. Denna funktion av symboliken används för att entydigt beskriva rymdgrupper med ett annat val av koordinatsystem, eftersom symbolerna för rymdgrupper härrör från symbolerna för deras motsvarande punktgrupper. $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$

Mellankategori - punktgrupper där det finns en ordningsaxel över två (högsta ordningens axel). Här bör det noteras att kristallografi använder ett kristallografiskt koordinatsystem associerat med kristallens symmetri. I detta system väljer axlarna speciella riktningar i kristallen (riktningarna längs vilka symmetri- eller translationsaxlarna går). Därför, i närvaro av en axel av 3 eller 6 ordning, är vinkeln [1] mellan X- och Y-riktningarna 120°, och inte 90° som i det vanliga kartesiska koordinatsystemet .

i 1:a positionen - huvudaxelns riktning, det vill säga Z-axeln

i 2: a positionen - en sidoriktning. Det vill säga riktningen längs X-axeln och motsvarande Y-axel

i 3:e positionen - en diagonal riktning mellan symmetriskt ekvivalenta sidoriktningar

Denna kategori inkluderar grupperna 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , och . $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Eftersom 3-axeln och planet vinkelrätt mot den är ekvivalenta med 6 -axeln , då = 6 och m2 = 6 m2, men det rekommenderas att använda notationen med den inverterade axeln 6 , eftersom dess symmetri är högre än den för 3 Grupperna 4 2m och 6 m2 kan skrivas som 4 m2 och 6 2m. Ovan var de beteckningar som antagits i den ryskspråkiga litteraturen. Sekvensen av symbolerna 2 och m i dessa grupper blir viktig när man beskriver rymdgrupper härledda från dem, eftersom elementet i den andra positionen är riktad längs Bravais-cellens axel och elementet i den tredje positionen är riktad längs diagonalen av ansiktet. Till exempel representerar symbolerna P 4 2m och P 4 m2 två olika rymdgrupper. Grupp 32 kan också skrivas mer detaljerat som 321 eller 312 för olika orienteringar av axel 2. Likaså resulterar olika orienteringar i två olika rymdgrupper P321 och P312. Detsamma gäller för grupperna 3m (alternativa poster 3m1 och 31m) och 3 (alternativa poster 3 1 och 3 1 ). $\color {Svart}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$

Den högsta kategorin är punktgrupper där det finns flera axlar av högre ordning.

på första positionen - motsvarande riktningar X, Y, Z

i 2:a position - alltid där fyra axlar 3 eller 3

i 3:e positionen - den diagonala riktningen mellan koordinataxlarna

Denna kategori inkluderar fem grupper - 23, 432, 3 , 4 3m och 3 $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$

Internationella symboler förenklas vanligtvis genom att ersätta med m om n -axeln genereras av andra symmetrielement som anges i symbolen. Du kan inte ta bort endast beteckningen på huvudaxeln i mellankategorin. Till exempel skriver de som mmm, som mm och 3 som m 3 m. $\color {Svart}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$

Shubnikovs symboler

Shubnikov-symbolerna intar en mellanposition mellan Schoenflies-symbolerna och Hermann-Mogen-symbolerna. Till utseendet är de mer lika de senare, men i betydelsen är de närmare Schoenflies-symbolerna. Precis som i Herman-Mogen-symbolerna betecknas axlarna med arabiska siffror och planet med symbolen m . Men för att ange axeln för felaktig rotation, väljs spegelaxeln, och inte den inverterade, som i den internationella symbolen. Spegelaxeln betecknas med en arabisk siffra med ett tildetecken: en spegelaxel av 2:a ordningen (samma som centrum för inversion 1 ), en spegelaxel av 4:e ordningen (aka en 4:e ordningens inversionsaxel 4 ) och en spegelaxel av 6:e ordningen ( ekvivalent med inversionsaxeln av tredje ordningen 3 ). Precis som i Schoenflies-symbolerna anges endast genererande symmetrielement. Till exempel betyder Shubnikov-symbolen 4 : 2, liksom Schoenflies D 4 , att gruppen bildas av en axel av 4:e ordningen och en axel av andra ordningen vinkelrät mot den, medan den internationella symbolen 422 också indikerar närvaron i gruppen symmetriskt icke-ekvivalenta axlar av andra ordningen. Riktningen för sidoaxlar och plan indikeras genom tecknet : om de är vinkelräta mot huvudaxeln, • - om de är parallella med huvudaxeln och / - om de är lutande i förhållande till huvudaxeln. Var uppmärksam på beteckningarna på grupperna och . Precis som i motsvarande internationella symboler 4 2m och 3 m betecknar de axlarna för felaktig rotation, medan i Schoenflies-symbolerna D 2d och D 3d endast rotationsaxlar som ingår i axlarna för felaktig rotation anges (axel 2 ingår) in och axel 3 ingår i ). ${\tilde {2}}$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$ ${\tilde {4}}\cdot m$ ${\tilde {6}}\cdot m$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$

Orbifold notation

Orbifold-notationen föreslogs av William Thurston och populariserades av John Conway . [2] [3] I princip introducerades det för att beskriva symmetrigrupper på tvådimensionella ytor med konstant krökning (t.ex. 17 tvådimensionella kristallografiska grupper på ett plan, symmetrigrupper på ett hyperboliskt plan, symmetrigrupper på en sfär) , men eftersom symmetrigrupper på en sfär är ekvivalenta tredimensionella punktgrupper, kan dessa notationer också användas för de senare. Här förklaras innebörden av orbifold notation i beskrivningen av tredimensionella punktgrupper.

Liksom i det internationella systemet indikeras närvaron av symmetriaxlar med arabiska siffror, och båda beteckningarna indikerar inte bara genererande element, utan också symmetriskt icke-ekvivalenta. Här finns det dock en liten skillnad - i orbifoldsystemet betecknas inte bara icke-ekvivalenta symmetriaxlar, utan icke-ekvivalenta riktningar. Varje axel har två riktningar ("upp och ner" för vertikal eller "vänster och höger" för horisontell). Till exempel, i grupper med en enda axel ( C n enligt Schoenflies) är dessa riktningar inte ekvivalenta, så sådana grupper betecknas som nn. Kristallografiska grupper inkluderar grupperna 11, 22, 33, 44 och 66. I grupper med andra ordningens axlar vinkelräta mot huvudaxeln ( D n enligt Schoenflies), "vänder" axlarna av 2:a ordningen huvudaxeln 180 grader, vilket gör att båda riktningar är likvärdiga. Det finns dock två typer av andra ordningens riktningar i sådana grupper, så grupperna betecknas som n22. Ordningen på siffrorna är inte viktig, bara deras position i förhållande till symbolen för symmetriplanet (om den finns i gruppen) är viktig, vilket kommer att diskuteras nedan. Grupperna 222, 322, 422 och 622 kommer att vara kristallografiska (du kan också skriva 222, 223, 224 och 226). Det är intressant att jämföra dessa symboler med motsvarande internationella symboler 222, 32, 422 och 622. I grupper med en huvudaxel med jämn ordning finns det två klasser av symmetriskt icke-ekvivalenta horisontella axlar av 2:a ordningen (därför två 2:or) i den internationella symbolen), men för var och en av axlarna är båda riktningarna ekvivalenta . I grupper med en udda ordningens huvudaxel är alla andra ordningens axlar ekvivalenta (därför är den internationella symbolen 32, inte 322), men "vänster" och "höger" riktningarna för dessa horisontella axlar är olika, så vi får fortfarande två klasser av symmetriskt icke-ekvivalenta riktningar 2:a ordningen, och i orbifoldnotationen får vi 322 (522, 722, etc.).

Närvaron av ett eller flera symmetriplan i en grupp indikeras med en enda asterisk *. Dessutom, om axelsymbolen är placerad till höger om asterisken, passerar symmetriplanen genom axeln (n plan genom axeln i den n:e ordningen), om numret är placerat till vänster om asterisken, då plan passerar inte genom axeln. Till exempel, i *332-gruppen ( T d enligt Schoenflies) passerar plan genom alla axlarna, och i gruppen 3 * 2 ( T h enligt Schoenflies) passerar planen endast genom andra ordningens axlar, men inte genom 3:e ordningens axlar.

Några fler exempel:

I grupper med ett symmetriplan vinkelrätt mot huvudsymmetriaxeln ( C nh enligt Schoenflies) blir båda riktningarna på axeln ekvivalenta och grupperna betecknas med symbolen n*. De kristallografiska grupperna kommer att vara 2*, 3*, 4* och 6*. Om symmetriplanet passerar genom axeln ( C nv enligt Schoenflies), så placeras, som nämnts ovan, asterisken till vänster om talet, och vi får grupperna *22, *33, *44, *66 . Siffrorna fördubblas igen, eftersom riktningarna för huvudaxeln ("upp och ner") återigen är icke-ekvivalenta.

Inte bara symmetriplan kan översätta delar av en figur (fragment av ett motiv) till spegelsymmetriska. Till exempel inkluderar sådana element spegel- och inversionsaxlar. För tvådimensionella kristallografiska grupper på ett plan är ett sådant element en betesreflektion (det vill säga en reflektion med en samtidig förskjutning längs reflektionslinjen). Närvaron av ett sådant element i en grupp betecknas med ikonen x ("mirakel" enligt Conway). Denna ikon används endast om elementets åtgärd inte kan representeras på något sätt som en kombination av andra element från gruppsymbolen. I fallet med 3-dimensionella punktgrupper avser detta grupper som består av en enda spegelaxel av jämn ordning, S 2 = Ci , S 4 och S 6 . De kommer att märkas 1x, 2x respektive 3x.

Coxeters notation

Till en början använde Coxeter dessa beteckningar för grupper som bildades av en uppsättning symmetriplan. När två symmetriplan skär varandra i en vinkel på grader, bildas en symmetriaxel av n:te ordningen och en punktgrupp Cnv erhålls , som kommer att betecknas som [n]. Om en grupp genereras av tre plan, så består gruppsymbolen av två siffror [n, m], där varje siffra återigen anger ordningen på rotationsaxeln som bildas vid skärningspunkten mellan planen. Dessa grupper inkluderar Dnh- grupperna , som kommer att betecknas som [n,2], såväl som symmetrigrupperna för vanliga polyedrar Th ( tetrahedron ) , Oh ( kub ) och Ih ( icosahedron ) , som kommer att vara betecknas som [3,3], [4,3] och [5,3]. De återstående symmetrigrupperna kan betraktas som undergrupper till de ovan beskrivna, och för att beskriva dem kompletterades Coxeter-notationen med ett +-tecken. Om + står bakom hakparenteser tas symmetriplan bort från hela gruppen och bara det axiella komplexet av gruppen finns kvar. Till exempel, [3,3] + , [4,3] + och [5,3] + betecknar grupperna T , O och I . Om + är inom parentes ovanför ett av talen, tas de två motsvarande genererande symmetriplanen bort (men axeln som genereras av dem förblir), och några andra element i gruppen försvinner med dem. I båda fallen halveras gruppens ordning . Grupper av typen [n + ,m + ] är skärningspunkten mellan grupperna [n + ,m] och [n, m + ], det vill säga de består av symmetrielement som finns i båda ursprungliga grupperna. Ordningen för gruppen [n + ,m + ] är fyra gånger mindre än ordningen för gruppen [n, m]. Punktgrupper av denna typ har alltid formen [2n + ,2 + ] och motsvarar S 2n Schoenflies-symboler. $\color {Svart}{\tfrac {180}{n}}$

Låt oss förklara notationen med hjälp av exemplet med grupper med en fjärde ordningens axel. När två plan skär varandra i en vinkel på 45°, bildas en axel av 4:e ordningen och den resulterande gruppen är C 4v (internationell symbol 4mm), som kommer att betecknas som [4]. När ytterligare ett symmetriplan läggs till, som är vinkelrät mot båda symmetriplanen, bildas gruppen D 4h ( ), som betecknas som [4,2]. Om vi tar bort symmetriplanen från gruppen [4] (men lämnar symmetriaxeln som genereras av dem), så får vi gruppen C 4 (internationell symbol 4), betecknad som [4] + . Om vi tar bort alla symmetriplan från gruppen [4,2], så får vi gruppen D 4 (422), betecknad som [4,2] + . $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Gruppen [4 + ,2] betecknar gruppen [4,2], där de vertikala symmetriplanen, som gav upphov till 4:e ordningens axel, togs bort, medan själva 4:e ordningens axel fanns kvar, och horisontalplanet också förblev. Men de horisontella axlarna av andra ordningen försvann. Den resulterande gruppen är C4h ( ) . Från detta exempel kan du se att + ovanför en av siffrorna "dödar" symmetriaxeln som motsvarar den intilliggande siffran. $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$

Gruppen [4,2 + ] betecknar gruppen [4,2] i vilken horisontalplanet och en av de vertikala generatorerna har tagits bort. Därmed blev de horisontella axlarna av 2:a ordningen delvis kvar, men axeln av 4:e ordningen försvann. Den resulterande gruppen består av två horisontella axlar av andra ordningen och två vertikala plan som löper mellan dem. Detta är gruppen D 2d ( 4 2m).

Slutligen är gruppen [4 + ,2 + ] skärningspunkten mellan grupperna [4 + ,2] och [4,2 + ] och är helt enkelt den fjärde ordningens spegelaxel S 4 ( 4 ) som finns i båda grupperna och 4 2m. $\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$

Jämförelse av olika notation för punktgrupper

Kategori	Syngony	Kristallsystem _	Herman-Mogen (full symbol)	Herman Mogen (förkortat)	Shubnikov symboler	Schoenflies symboler	Modiga symboler	Orbifold	Coxeter	Grupporder _
Sämre	Triclinic		ett	ett	$ett\$	C1 _	L1 _	elva	[ ] +	ett
	Triclinic		ett	ett	${\tilde {2}}$	C i \u003d S 2	C = 1 1	x	[2 + ,2 + ]	2
	Monoklinisk		2	2	$2\$	C2 _	L2 _	22	[2] +	2
			m	m	$m\$	Cs = C Ih	P = 2 £	*	[ ]	2
			$\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2h	L 2 P ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	fyra
	Rombisk		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	fyra
			mm2	mm2	$2\cdot m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	fyra
			$\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	hmmm	$m\cdot 2:m\$	D2h _	3 L 2 3 PC	*222	[2,2]	åtta
Medium	tetragonal		fyra	fyra	$fyra\$	C4 _	L 4	44	[4] +	fyra
			fyra	fyra	${\tilde {4}}$	S4 _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	fyra
			$\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C4h _	L 4 P ⊥ C	fyra*	[ 2,4+ ]	åtta
			422	422	$4:2\$	D4 _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	åtta
			4 mm	4 mm	$4\cdot m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[fyra]	åtta
			42m _	42m _	${\tilde {4}}\cdot m$	D2d _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	åtta
			$\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmmm	$m\cdot 4:m\$	D4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| P ⊥ C	*422	[4,2]	16
	Hexagonal	Trigonal	3	3	$3\$	C3 _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\tilde {6}}$	S6 = C3i _	£ 3 = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3 _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3m	3m	$3\cdot m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	D3d _	£ 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 PC	2*3	[2 + ,6]	12
		Hexagonal	6	6	$6\$	C6 _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3h	L 3 P ⊥ = 6 £	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\color {Svart}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C6h _	L 6 P ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6 _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cdot m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cdot 3:m\$	D3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| P ⊥ = £ 6 3 L 2 3 P	*322	[3,2]	12
			$\color {Svart}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmmm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| P ⊥ C	*622	[6,2]	24
Högre	kubisk		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	T h	3 L 2 4 L 3 3PC _	3*2	[3 + ,4]	24
			43m _	43m _	$3/{\tilde {4}}$	T d	3 £ 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	O	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$	m 3 m	${\tilde {6}}/4$	O h	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 PC	*432	[4,3]	48

Bild av punktgrupper. Stereografiska projektioner av punktgrupper

Symmetriplanen indikeras med dubbla linjer, rotationsaxlarna indikeras av motsvarande polygon (axlarna i den andra ordningen indikeras med en oval), och inversionscentrumet indikeras av en öppen cirkel. Inversionsaxlarna av fjärde och sjätte ordningen indikeras av en ofylld kvadrat och en hexagon; samtidigt betecknas också axlarna för den andra och tredje ordningen som ingår i dem (axel 2 tillhör 4 , axel 3 tillhör 6 ).

Kristallsystem _	Stereografiska projektioner [4]
Triclinic	1 , Cl	1 , Ci _
Monoklinisk	2 , C2	m , Cs _	$\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ C2h _ _
Rombisk				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
tetragonal	4 , C4	4 , S4 _	$\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ C4h _ _	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2d	$\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
Trigonal	3 , C3	3 , S6 _		32 , D3	3m , C 3v _	3 , D 3d $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$
Hexagonal	6 , C6	6 , C 3h	$\color {Svart}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6mm , C 6v _	6m2 , D3h _ _	$\color {Svart}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
kubisk	23, T		$\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , T h	432, O		4 3 m , T d	$\color {Svart}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , O h $\color {Svart}{\tfrac {2}{m}}$

Schema för anslutning mellan punktgrupper

I detta diagram är grupperna ordnade från mindre symmetriska (botten) till grupper med högre symmetri (överst). Grupper av samma ordning ligger på samma höjd. Varje underliggande grupp är en undergrupp av den överordnade gruppen som är associerad med den med en linje. För att underlätta uppfattningen ges linjerna i olika färger.

Historik

Den första slutsatsen av alla 32 kristallografiska punktgrupper gavs 1830 av Johann Hessel i hans avhandling "Kristallometri eller kristallonomi och kristallografi, utvecklad på ett originellt sätt på grundval av en ny allmän doktrin om egentliga figurer, med en fullständig genomgång av de mest viktiga verk och metoder från andra kristallografer." Denna härledning av poänggrupper gick dock obemärkt förbi. Följande slutsats gav Auguste Bravais 1849 i sin memoarbok An Enquiry into Polyhedra of Symmetrical Shape. Bravais tog dock inte hänsyn till axlarna för felaktig rotation (spegelrotation eller inversion), och som ett resultat utelämnade han S 4 -gruppen . Alla de andra 31 kristallografiska grupperna kan härledas som en kombination av endast symmetriaxlarna, reflektionsplanen och inversionscentrum. Slutligen, 1867, publicerade Axel Gadolin i "Notes of the Petersburg Mineralogical Society" "Derivation of all crystallographic systems and their subdivisions from one common beginning." Det var i Gadolins arbete som det för första gången uttryckligen rapporterades att antalet symmetrityper för kristallina polyedrar (det vill säga kristallografiska punktsymmetrigrupper) är 32. I detta arbete introducerade Gadolin konceptet med en inversionsaxel i vetenskap. Det är också i den här artikeln som stereografiska projektioner av 32-punktsgrupper först dyker upp.

Se även

Anteckningar

↑ Se lag om vinklars konstantitet ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. Om kvaternioner och oktaver, om deras geometri, aritmetik och symmetri. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008
↑ Stereografisk projektion , se till exempel Symmetry of crystals - en artikel från Physical Encyclopedia

Litteratur

Hexagonal system // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometric Crystallography, Moscow State University, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, Moscow State University, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Theory of crystal symmetry, GEOS, 2000 (tillgänglig online )
P. M. Zorkiy. Symmetry of molecules and crystal structures , Moscow State University, 1986 (tillgänglig online )
A.V. Shubnikov. Symmetri och antisymmetri av finita figurer, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1951
I. I. Shafranovsky. Kristallografins historia. XIX-talet, L., "Nauka", 1980