Antisymmetri grupp

Antisymmetrigruppen i symmetriteorin är en grupp som består av transformationer som kan ändra inte bara den geometriska positionen för ett föremål, utan också dess vissa tvåvärdiga egenskap. En sådan tvåvärdig egenskap kan till exempel vara laddning (plus-minus), färg (svart-vit), tecken på en verklig funktion, snurrriktning (upp-ned).

Antisymmetrigrupper kallas även magnetiska symmetrigrupper, såväl som svarta och vita symmetrigrupper. I analogi med dessa grupper introduceras grupper av flerfärgssymmetri (Belov-grupper, eftersom de föreslogs i verk av akademiker N.V. Belov ), där varje punkt i objektet inte längre kännetecknas av en tvåvärdig, utan av en multi -värderad parameter (färg).

Innehåll

Operationer och element av antisymmetri

Utöver de vanliga symmetrioperationerna (rotation, reflektion, inversion, translation och deras kombinationer), läggs antisymmetrioperationer till - rotation med färgförändring (anti-rotation), reflektion med färgförändring (anti-reflektion), inversion med färgförändring ( anti-inversion), translation med färgförändring (antitranslation) och så vidare. Följaktligen kan man tala om antisymmetrielement, som inkluderar antisymmetrioperationer.

Man bör också ta hänsyn till operationen som inte ändrar objektets position, utan ändrar färgen - operationen av anti-identifiering eller anti-identitet. Grupper där en sådan operation är närvarande kallas grå, eftersom de vita och svarta delarna av objektet sammanfaller vid varje punkt i rymden. Sådana grupper erhålls helt enkelt genom att addera anti-identitetsoperationen till den klassiska symmetrigruppen, och deras antal är lika med antalet klassiska symmetrigrupper. De klassiska symmetrigrupperna i sig är också ett specialfall av antisymmetrigrupper. Av störst intresse är grupper som inte är grå, och i vilka det finns både symmetrielement och antisymmetrielement (grupper med blandad polaritet). Antisymmetrielementen i dessa grupper kan bara vara av jämn ordning, eftersom antisymmetrielementen i en udda ordning innehåller operationen antiidentifiering. Till exempel är antisymmetriaxel 3 (ordning 3) omöjlig i dessa grupper, men inversionsaxel 3 (ordning 6) är möjlig.

Sekventiell exekvering av två antisymmetrioperationer eller 2n-faldig exekvering av en antisymmetrioperation byter tecken två gånger, det vill säga som ett resultat ändras inte tecknet. Således leder produkten av två antisymmetrioperationer till den klassiska symmetrioperationen. Därför finns det inga grupper som bara innehåller element och antisymmetrioperationer. Dessutom är antalet antisymmetrioperationer (men inte element) i antisymmetripunktgrupper lika med antalet symmetrioperationer i klassiska (monokroma) grupper.

Punktgrupper av antisymmetri

Även om begreppet antisymmetri är tillämpligt på alla punktgrupper, betraktar man vanligtvis kristallografiska punktgrupper av antisymmetri. Det finns totalt 58 svarta och vita grupper, 32 klassiska polära grupper och 32 neutrala grå grupper. Totalt 122 antisymmetripunktgrupper. Nedan finns en tabell över alla 122 kristallografiska antisymmetripunktgrupper. Vanligtvis används Hermann–Mogen-symboler för att representera dem , med antisymmetrielement markerade med symbolen för motsvarande symmetrielement med ett streck. Tabellen ger förkortningar.