Fermat nummer

Fermat-nummer är nummer av formen , där (sekvens A000215 i OEIS ). $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $n\geqslant 0$

För Fermat-talen är enkla och lika med . Hittills har inga andra Fermat-primtal upptäckts, och det är inte känt om de existerar för n > 4 eller om alla andra Fermat-tal är sammansatta . ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\))$ $\ 3,\,5,\,17,\,257,\,65537$

Historik

Studiet av siffror av detta slag startades av Fermat , som lade fram hypotesen att de alla är primtal . Emellertid tillbakavisades denna hypotes av Euler 1732 , när han fann nedbrytningen av ett antal till primtalsfaktorer: $F_{5}$

F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417

Vid tiden för Fermat ansågs det sant att om , då är ett primtal $2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)$ $n$ . Detta påstående visade sig vara falskt (motexempel: ), men enligt Tadeusz Banachevich var det just detta påstående som kunde få Fermat att framföra sin gissning, eftersom påståendet är sant för alla [1] . $n=341$ $2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})$ $n$

Fermat primtal

För 2022 är endast 5 Fermat-primtal kända - vid [2] $n\in \{0,1,2,3,4\}\colon$

F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3;

F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5;

F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17;

F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257;

F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.

Förekomsten av andra Fermat-primtal är ett öppet problem . Det är känt att de är sammansatta $F_{n}$ $5\leq n\leq 32.$

Egenskaper

En vanlig -gon $n$ kan konstrueras med hjälp av en kompass och rätlinje om och endast om ( ), där finns olika Fermat-primtal ( Gauss-Wanzels sats ). ${\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{k))$ $r=0,1,2,...$ $p_{1},\dots ,p_{k}$
Bland talen i formen kan bara Fermat-talen vara primtal (det vill säga talet n måste vara en potens av 2). Ja, om n har en udda divisor och , då $2^{n}+1$ $d>1$ $n/d=m$

2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{{2m}}-\cdots +2^{{nm}}),

och därför är det inte enkelt.

2^{n}+1

Primaliteten för vissa Fermat-nummer kan fastställas effektivt med Pepins test . Fermatsiffrorna växer dock kraftigt, och detta test användes framgångsrikt endast för 8 nummer, vars sammansättning inte tidigare bevisats. Enligt Mayer, Papadopoulos och Crandall kommer det att ta flera decennier att utföra Pepin-testerna på efterföljande Fermat-nummer [3] .
Decimalnotationen för Fermat-tal större än 5 slutar på 17, 37, 57 eller 97.
Varje divisor av talet vid har formen ( Euler , Lucas , 1878). $F_{n}$ $n>2$ $k\cdot 2^{{n+2}}+1$
Fermat-siffrorna växer mycket snabbt: det 9:e talet är större än en googol och det 334:e numret är större än ett googolplex .

Nedbrytning till primtal

Totalt, från och med juni 2022, har 360 primtalsdelare av Fermat-tal hittats. För 316 Fermat-tal har det bevisats att de är sammansatta, medan för 2 av dem ( F 20 och F 24 ) är ingen divisor känd än så länge [4] . Flera nya delare av Fermats siffror hittas varje år.

Nedan är nedbrytningen av Fermat-talen i enkla faktorer, med $n\in \{5,6,7,8,9\}\colon$

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;

F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;

{\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(1316\,5 ,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2 }+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721; \end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\ cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1) 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{9}=2^{2^{9}}+1=2^{512}+1&=&13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\&=&(37\cdot 2^ {9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\&&\times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\&=&2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}}

Generaliserade Fermat-tal

Det generaliserade Fermat-numret är ett nummer av formen. Fermat-nummer är deras speciella fall föroch $a^{{2^{n}}}+b^{{2^{n}}}$ $a=2$ $b=1.$

Anteckningar

↑ V. Serpinsky . 250 problem i talteori . - Upplysningen, 1968.
↑ OEIS - sekvens A019434 _
↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), Det tjugofjärde Fermat-numret är sammansatt
↑ Fermat factoring status

Litteratur

Golomb, SW (1 januari 1963), On the summa of the reciprocals of the Fermat-tal och relaterade irrationaliteter , Canadian Journal of Mathematics vol. 15: 475–478 , DOI 10.4153/CJM-1963-051-0
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), Another not on the greatest prim factors of Fermat numbers , Southeast Asian Bulletin of Mathematics vol 25 (1): 111–115 , DOI 10.1007/s10012-0101-401
Guy, Richard K. (2004), Olösta problem i talteori , vol. 1 (3:e upplagan), Problem Books in Mathematics, New York: Springer Verlag , sid. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0- 387-26677-0 >
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 föreläsningar om Fermat-tal: Från talteori till geometri , vol. 10, CMS-böcker i matematik, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8 > — Den här boken innehåller en omfattande lista med referenser.
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), Om konvergensen av serier av reciproka primtal relaterade till Fermat-talen , Journal of Number Theory vol . 97(1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782 , < http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1 >
Luca, Florian (2000), The anti-social Fermat nummer , American Mathematical Monthly vol. 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441 , < http://www.maa.org/publications/periodicals/american -mathematical-monthly/american-mathematical-monthly-februari-2000 >
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3:e upplagan), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers /book/978-0-387-94457-9 >
Robinson, Raphael M. (1954), Mersenne och Fermat Numbers , Proceedings of the American Mathematical Society vol 5 (5): 842–846 , DOI 10.2307/2031878
Yabuta, M. (2001), A simple proof of Carmichaels theorem on primitive divisors , Fibonacci Quarterly T. 39: 439–443 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf >

Länkar

Leonid Durman. Vertikal racing. Fermatnummer från Euler till idag: 1 , 2 , 3 // Computerra , 2001, nr 393-395.
TOP-20 största delare av Fermat- tal
Leonid Durman , Luigi Morelli. FERMATSEARCH koordinerande projekt (engelska) (italienska) (ryska)
Wilfrid Keller. Primära faktorer för Fermat-tal

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4672709-7 NKC : ph195830