Sammansatt tal

Ett sammansatt tal är ett naturligt tal som har andra delare än en och sig själv. Varje sammansatt tal är produkten av två eller flera naturliga tal större än ett [1] . Alla naturliga tal är indelade i tre icke-överlappande kategorier: primtal , sammansatt och en [2] .

Start av sekvens av sammansatta nummer ( A002808 )::

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 69, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100,. .

Relaterade begrepp

Varje naturligt tal större än ett har minst två delare, som kallas triviala : en och sig själv. Ett tal är sammansatt om det har icke-triviala delare.

Ett sammansatt naturligt tal kallas:

semisimple , om det kan representeras som en produkt av två primtal (inte nödvändigtvis distinkt);
sphenic , om den kan representeras som en produkt av tre primtal (inte nödvändigtvis olika);
full multipel om den kan representeras som en produkt där är naturliga tal. En ekvivalent definition: ett tal är en hel multipel om talet för någon av dess primtalsdelare också är en divisor ; $a^{2}b^{3},$ $a,b$ $N$ $sid$ $p^{2}$ $N$
superkomponent , om den har fler divisorer än något mindre tal (de två första superkomponenttalen är inte sammansatta, de är 1 och 2).

Egenskaper

Den grundläggande aritmetikens sats säger att vilket sammansatt tal som helst kan delas upp till en produkt av primtalsfaktorer och på ett unikt sätt (upp till faktorernas ordning).

Låt oss visa att man i den naturliga serien kan hitta sekvenser av på varandra följande sammansatta tal av vilken längd som helst. Låt n vara ett godtyckligt naturligt tal. Beteckna:

N=(n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot (n+1).

Då innehåller n på varandra följande tal bara sammansatta tal: delbart med 2, delbart med 3 osv. $N+2,N+3,N+4\dots N+(n+1)$ $N+2$ $N+3$

Faktorering av ett tal

För att avgöra om ett givet naturligt tal är primtal eller sammansatt måste man hitta dess icke-triviala divisorer eller bevisa att det inte finns några. När det gäller ett litet antal är det en enkel uppgift att hitta dess divisorer; för detta kan du använda delbarhetskriterierna [3] eller speciella algoritmer som anges i artiklarna Enkelhetstest och Faktorisering av heltal . Att hitta divisorer för stora antal (ett verkligt problem inom kryptografi ) kan vara ett problem som överskrider kapaciteten hos moderna datorer. $N$ $N$

Variationer och generaliseringar

Begreppen primtal och sammansatt tal kan definieras inte bara för naturliga tal, utan även för andra algebraiska strukturer; vanligast är kommutativa ringar utan nolldelare ( integritetsdomäner ).

Exempel 1. Heltalsringen innehåller två enhetsdelare (inverterbara element): och därför har alla heltal , med undantag för enhetsdelare, inte två utan minst fyra triviala divisorer; till exempel har talet 7 divisorer. I detta avseende måste formuleringen av aritmetikens huvudsats korrigeras: vilket sammansatt tal som helst kan dekomponeras till en produkt av primtalsfaktorer och på ett unikt sätt upp till storleksordningen faktorer och delar av enhet. $+1$ $-ett.$ $1;7;-1;-7.$

Prime heltal, som tidigare, är de som inte har några icke-triviala divisorer. Således är ringen av heltal uppdelad i tre icke-överlappande delar: primtal, kompositer och enhetsdelare.

Exempel 2 . Ringen av Gaussiska heltal bildas av komplexa tal som är vanliga heltal. För tal av detta slag kan man definiera division med heltal enligt allmänna regler. Det finns fyra enhetsdelare: $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$

Gaussiska primtal är en del av vanliga primtal och "primtal Gausser" (t.ex. ). Se Gaussiskt talprimalitetskriterium . Ett naturligt primtal är kanske inte ett enkelt Gaussiskt tal; till exempel är talet 5 som ett gaussiskt tal sammansatt: Aritmetikens grundsats är formulerad på exakt samma sätt som ovan för heltal [4] . $1+i$ $5=(2+i)(2-i).$

Exempel 3 . Ringen av polynom bildas av polynom med reella koefficienter. Enhetsdelare här är numeriska konstanter som inte är noll (betraktade som polynom med nollgrad). Analogerna av primtal här kommer alla att vara oupplösliga ( oreducerbara ) polynom, det vill säga polynom av 1: a graden och de polynom av 2: a graden som inte har reella rötter (eftersom deras diskriminant är negativ). Följaktligen fungerar alla polynom av grad som är större än den andra, såväl som polynom av andra graden med en icke-negativ diskriminant, som en analog av sammansatta tal. Och här utspelar sig aritmetikens huvudsats och är formulerad på exakt samma sätt som anges ovan för heltal [5] . $R[x]$

Anteckningar

↑ BDT, 2004-2017 .
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 20-21.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 21-22.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra och aritmetik för komplexa tal. En guide för lärare. - M . : Uchpedgiz, 1939. - S. 147-149. — 187 sid.
↑ Vinberg E. B. Polynomens algebra. - M . : Education, 1980. - S. 122-124, 67-68. — 176 sid.

Litteratur

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Sammansatt nummer // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk resurs]. - 2004-2017.

Länkar

Listor över primtal och faktoriserade sammansatta tal

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga siffror offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer