Superkompositnummer

Ett supersammansatt tal är ett naturligt tal med fler delare än något mindre naturligt tal.

Historik

Termen föreslogs av Ramanujan 1915. Jean - Pierre Cahane övervägde dem dock tidigare, och de kan redan ha varit kända för Platon , som beskrev siffran 5040 som det ideala antalet invånare i staden, eftersom 5040 har fler delare än något mindre antal. [ett]

Exempel

Tabellen visar de första 38 supersammansatta talen (sekvens A002182 i OEIS ).

rum	superkomposit	sönderfall till enkla	siffra divisorer	expansion i primorials
ett	ett		ett
2	2	$2$	2	$2$
3	fyra	$2^{2}$	3	$2^{2}$
fyra	6	$2\cdot 3$	fyra	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	åtta	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	$6^{2}$
åtta	48	$2^{4}\cdot 3$	tio	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
tio	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16	$2^{2}\cdot 30$
elva	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	arton	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	tjugo	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
fjorton	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	trettio	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
femton	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
arton	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
tjugo	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
trettio	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Nedbrytning till primtal

Nedbrytningen av supersammansatta tal involverar de minsta primtalsfaktorerna, och samtidigt inte för många av samma.

Enligt aritmetikens grundläggande sats har varje naturligt tal en unik nedbrytning till primtal: $n$

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1 )

där primtal och potenser är positiva heltal. Antalet delare av ett tal kan uttryckas på följande sätt: ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k))$ $c_{i}$ $d(n)$ $n$

d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)

För ett supersammansatt nummer gäller alltså följande: $n$

Talen är de första primtalen. ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k))$ $k$
Sekvensen av befogenheter måste vara icke-ökande, det vill säga . ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k))$
- Den här egenskapen motsvarar att säga att ett supersammansatt tal är en produkt av primorialer .
Förutom två specialfall, n = 4 OCH N = 36, är den sista potensen ett. $c_{k}$

I synnerhet är 1, 4 och 36 de enda superkomposita kvadraterna.

Även om de ovan beskrivna villkoren är nödvändiga är de inte tillräckliga. Till exempel, 96 = 2 5 × 3 uppfyller alla ovanstående villkor och har 12 divisorer, men är inte superkomposit eftersom det finns ett mindre tal 60 som har samma antal divisorer.

Asymptotisk tillväxt och täthet

Det finns konstanter a och b båda större än 1 så att

\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},

Där anger antalet supersammansatta tal mindre än eller lika med . $Q(x)$ $x$

Den första delen av ojämlikheten bevisades av Pal Erdős 1944; den andra bevisades av Jean-Louis Nicholas 1988.

Det är också känt att

1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}44

och

\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}71.

Egenskaper

Alla supersammansatta tal större än 6 är redundanta .

Inte alla supersammansatta tal är Harshad-tal i bas 10;
- det första motexemplet är 245044800 , detta nummer har en summa av 27 siffror, men är inte delbart med 27.

Se även

Anteckningar

↑ Kahane, Jean-Pierre (februari 2015), Bernoulli-falsningar och självliknande åtgärder efter Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society vol. 62 (2): 136–140 .

Länkar

Ramanujan, S. Mycket sammansatta tal (neopr.) // Proc. London Math. soc. (2). - 1915. - T. 14 . - S. 347-409 . - doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . ( onlinearkiverad 3 september 2014 på Wayback Machine )
Handbok i talteori I (neopr.) . - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - S. 45-46. — ISBN 1-4020-4215-9 .
Erdös, P. Om mycket sammansatta tal (neopr.) // London Mathematical Society . - 1944. - T. 19 . - S. 130-133 . - doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130 .
Alaoglu, L. Om sammansatta högst och liknande siffror // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Vol. 56 , nr. 3 . - s. 448-469 . - doi : 10.2307/1990319 .
Ramanujan, Srinivasa Mycket sammansatta siffror (engelska) // Ramanujan Journal : journal. - 1997. - Vol. 1 , nej. 2 . - S. 119-153 . - doi : 10.1023/A:1009764017495 . Kommenterad och med förord av Jean-Louis Nicolas och Guy Robin.

Länkar

Litteratur

O. Ore. En inbjudan till talteori . - M. : Nauka, 1980. - 128 sid. — (Utgåva 3 av Quantum Library-serien). — 150 000 exemplar.

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga nummer offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer