Ett mycket överflödigt nummer

Ett mycket redundant tal eller ett mycket redundant tal är ett naturligt tal vars summa av divisorer (inklusive själva talet) är större än summan av divisorerna för något mindre naturligt tal.

Högredundansnummer och några liknande klasser av nummer introducerades av Pillai [2] , och tidigt arbete på detta ämne gjordes av Alaoglu och Erdős [3] . Alaoglu och Erdős listade alla höga redundanstal upp till 10 4 och visade att antalet höga redundanta nummer mindre än N är åtminstone proportionellt mot log 2N .

Formell definition och exempel

Formellt sägs ett naturligt tal n vara mycket redundant om och endast om för alla naturliga tal m < n

där σ betyder "summan av divisorer" funktion . De första få mycket redundanta siffrorna

Till exempel är 5 inte mycket redundant eftersom σ(5) = 5+1 = 6 är mindre än σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, medan 8 är mycket redundant eftersom σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 är större än alla tidigare värden på σ.

Förutom siffrorna 1 och 3, finns det inga andra mycket redundanta udda nummer [4]

Relation med andra uppsättningar nummer

Även om de första åtta factorialerna är mycket överflödiga, kommer inte alla factorials att vara det. Till exempel,

men det finns ett mindre tal med en större summa av divisorer,

alltså 9! inte särskilt överflödig.

Alaoğlu och Erdős märkte att alla superredundanta tal är mycket redundanta och ställde frågan om det finns ett oändligt antal högredundanta tal som inte är superredundanta. Denna fråga besvarades jakande av Jean-Louis Nicholas [5] .

Tvärtemot terminologin är inte alla mycket redundanta nummer redundanta . I synnerhet är inget av de första sju mycket redundanta numren redundant.

7200 är det största hela multipeltalet som också är mycket redundant, alla stora höga redundanta tal har en primtalsfaktor som bara delar talet en gång. Av samma anledning är 7200 det största högst redundanta talet med en udda summa av divisorer [6] .

Anteckningar

1. ↑ Kuizener-stavar är räknestavar för grundskolan, designade för att lära ut att räkna och förstå division. Pinnarna har olika längd och är målade i olika färger. Pinnar uppfanns av den belgiske läraren Georg Cuisener.
2. ↑ Pillai, 1943 .
3. ↑ Alaoglu, Erdős, 1944 .
4. ↑ Se artikel av Alaoglu och Erdős ( Alaoglu, Erdős 1944 ), sid. 466. Alaoglu och Erdős gör ett starkare påstående att alla mycket redundanta tal större än 210 är delbara med 4, men detta påstående är felaktigt - 630 är mycket överflödigt, men är inte delbart med 4. (Faktum är att endast detta nummer 630 är ett motexempel , alla stora höga redundanta tal är delbara med 12.)
5. ↑ Nicholas, 1969 .
6. ↑ Alaoglu, Erdős, 1944 , sid. 464–466.

Litteratur

• Leonidas Alaoglu , Paul Erdős . Om mycket sammansatta och liknande siffror  // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - T. 56 , nr. 3 . — S. 448–469 . - doi : 10.2307/1990319 . — .
• Jean-Louis Nicholas. Ordre maximal d'un élément du groupe S n des permutations et "högt sammansatta tal"  // Bull. soc. Matematik. Frankrike. - 1969. - T. 97 . — S. 129–191 .
• Subbayya Sivasankaranarayana Pillai. Mycket rikligt antal // Bull. Calcutta matematik. Soc.. - 1943. - T. 35 . — S. 141–156 .