Fjärde graden (algebra)

Den fjärde potensen av ett tal ( ) är ett tal lika med produkten av fyra identiska tal [1] .

Den fjärde graden av ett tal kallas ofta dess biquadrate [2] , från andra grekiska. δίς , ( bis ), "två gånger", eftersom det är produkten av två kvadrater och även kvadraten av en kvadrat:

Egenskaper

Den fjärde potensen av ett reellt tal , liksom kvadraten på ett tal, tar alltid icke-negativa värden [3] .

Operationen omvänd till att höja till fjärde potensen är utvinningen av roten av fjärde graden [4] .

En ekvation av fjärde graden , till skillnad från en ekvation av femte graden , kan alltid lösas genom att skriva svaret i radikaler ( Abels sats [5] , Ferraris metod [5] ).

Biskvadratnummer

Definition

Den fjärde potensen av naturliga tal kallas ofta biquadratic , eller hyperkubiska tal (den senare termen kan också tillämpas på makter högre än den fjärde). Biskvadratnummer är en klass av figurativa tal som representerar fyrdimensionella kuber ( tesseracts ). Biskvadratnummer är en fyrdimensionell generalisering av platta kvadrat- och rymdkubiska tal [6] .

Början av en sekvens av bi-kvadratnummer:

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ... (sekvens A000583 i OEIS ).

Den allmänna formeln för det n:te bi-kvadrattalet är:

Från Newtons binomialformel :

det är lätt att härleda den rekursiva formeln [6] :

Egenskaper för biquadratiska tal

Den sista siffran i ett bi-kvadratnummer kan bara vara 0 (faktiskt 0000), 1, 5 (faktiskt 0625) eller 6.

Varje biquadratisk tal är lika med summan av de första " rombo-dodekaedriska numren " [7] i formen [8] .

Varje naturligt tal kan representeras som en summa av högst 19 bi-kvadratnummer [9] . Det angivna maxvärdet (19) har uppnåtts för siffran 79:

Varje heltal större än 13792 kan representeras som summan av högst 16 bi-kvadratnummer (se Warings problem ).

Enligt Fermats sista sats kan summan av två bi-kvadratnummer inte vara ett bi-kvadratnummer [10] . Eulers gissning angav att summan av tre bi-kvadratnummer inte heller kan vara ett bi-kvadratnummer; 1986 hittade Noam Elkis det första motexemplet som motbevisar detta påstående [11] :

Anteckningar

  1. ↑ Grad // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 221.
  2. ↑ Chernyshev V.I. Ordbok för det moderna ryska litterära språket: A-B. M .: Institutet för det ryska språket vid USSR:s vetenskapsakademi, 1950, s. 451.
  3. ↑ Stephen Wolfram, Wolfram Alpha LLC. Wolfram|Alpha  (engelska) . www.wolframalpha.com . Tillträdesdatum: 4 april 2021.
  4. ↑ Rot // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
  5. ↑ 1 2 Rybnikov K. A. Matematikens historia . - Moscow Universitys förlag, 1963. - 346 sid.
  6. ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 131-132.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedral Number  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  8. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 132.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Warings problem  på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
  10. ↑ Fermats teorem // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
  11. ↑ Noam Elkies . På A 4 + B 4 + C 4 = D 4  // Mathematics of Computing [  . - 1988. - Vol. 51 , nr. 184 . - s. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .

Litteratur

Länkar